Непрерывная случайная величина

Рис.4. Определение квантилей распределения хи-квадрат.	Рис. 5. Определение  квантилей распределения Стьюдента.	Рис. 6. Определение  квантилей распределения Фишера.

 

Пример 5. Случайная величина Х распределена по закону Стьюдента с числом степеней свободы равным 30. Найти симметричный интервал, в который случайная величина попадает с вероятностью 0,98.

Р(- х < t < х) = Р(< x) = 0,98  и P() = P(x)  = (1-0,98) /2 = 0,01 (см. рис. 5).

По Приложению 6 для двусторонней области находим  x = = 2,75. Следовательно, значение случайной величины, распределенной по закону Стьюдента с числом степеней свободы k = 30, с вероятностью 0,98 принадлежит интервалу [-2,75; 2,75] .

Пример 6. Случайная величина Х распределена по закону Фишера с числом степеней свободы m = 10 и n =12. Найти значение квантиля уровня 0,99 (см. рис. 6).

Р(F > x) = 1 – 0,99 = 0,01. По Приложению 7 находим х = = 4,30. Следовательно, квантиль уровня 0,99 случайной величины, распределенной по закону Фишера с числом степеней свободы m = 10 и n =12, равен значению 4,30.

Мастер функций пакета Exel содержит среди статистических функций функции случайной величины, распределенной по законам:

• Распределение Пирсона: функция ХИ2РАСП(х; степени __ свободы) рассчитывает -распределение для значения х. Функция ХИ2ОБР(вероятность; степени __ свободы) рассчитывает по вероятности значение .

ХИ2РАСП(5,57; 10) = 0,85 и ХИ2ОБР(0,85; 10) = 5,57.

• Распределение Стьюдента: функция СТЬЮДРАСП(х; степени __ свободы; 1) рассчитывает одностороннее t-распределение для значения х, функция СТЬЮДРАСП(х; степени __ свободы;2) рассчитывает двустороннее t-распределение. Функция СТЬЮДРАСПОБР(вероятность; степени __свободы) рассчитывает по вероятности значение t. СТЬЮДРАСП(2,78; 4; 2) = 0,05 и СТЬЮДРАСПОБР(0,05; 4) = 2,78.
• Распределение Фишера: функция ФРАСП(х; степени _ свободы1; степени _ свободы2) рассчитывает F-распределение для значения х. Функция ФРАСПОБР(вероятность; степени __ свободы1; степени __ свободы2) рассчитывает по вероятности значение F.

ФРАСП(9,55; 2; 3) = 0,05 и ФРАСПОБР(0,05; 2; 3) = 9,55.

Задачи для самостоятельной  работы

Задача 1. Случайная величина Х распределена по закону Симпсона (закону равнобедренного треугольника) на интервале от [–1; +1]. Определить неизвестный параметр а, записать и нарисовать дифференциальную функцию распределения, если в закон имеет вид:

 

 

Задача 2. Цена деления шкалы амперметра равна 0,1 А. Показания амперметра округляют до ближайшего целого деления.

а) Выбрать вид распределения случайной величины Х - показаний прибора.

б) Найти вероятность того, что при отсчете будет сделана ошибка, превышающая 0,02 А;

в) Найти основные числовые характеристики случайной величины Х, используя свойства распределения.

 

Задача 3. Испытывают два независимо работающих элемента. Длительность времени безотказной работы первого элемента имеет показательное распределение с параметром , второго элемента с параметром . Найти вероятность того, что за время длительностью t = 6 ч :

а) оба элемента откажут;  

б) оба элемента не откажут;

в) только один элемент откажет;  

г) хотя бы один элемент откажет.

 

Задача  4. Случайная величина Х распределена нормально. Математическое ожидание и среднее квадратичное отклонение этой величины соответственно равны 6 и 2. Найти вероятность того, что в результате испытания Х примет значение, заключенное в интервале [4, 8].

 

Задача  5. Вычислить вероятность того, что отклонение нормально распределенной случайной величины Х по абсолютной величине меньше заданного положительного числа Δ для вариантов: Δ = σ, Δ = 2σ, Δ = 3σ.

 

Задача  6. Производится измерение диаметра вала (без систематических ошибок). Случайные ошибки измерения Х подчинены нормальному закону со средним квадратичным отклонением 10 мм. Найти вероятность того, что измерение будет произведено с ошибкой, не превосходящей по абсолютной величине 15 мм.

 

Задача  7. Прогноз экспертов относительно величины банковской процентной ставки в будущем году подчиняется нормальному распределению с параметрами = 10% годовых и = 2% годовых. Определить вероятность того, что в будущем году банковская процентная ставка превысит 15% годовых.

 

Задача  8. а) Случайная величина распределена по закону Пирсона (хи-квадрат) с числом степеней свободы равным 16. Найти значение квантиля уровня 0,99.

б) Случайная величина распределена по закону Пирсона (хи-квадрат) с числом степеней свободы 10. Найти интервал, в который случайная величина попадает с вероятностью 0,9. 

 

Задача  9. а) Найти симметричный интервал, в который случайная величина, распределенная по закону Стьюдента с 12-ю степенями свободы, попадает с вероятностью 0,9.

б) Найти значение x из условия P(t > x)=0,995, где t – случайная величина, распределенная по закону Стьюдента с 12-ю степенями свободы.

 

Задача  10. а) Случайная величина Х распределена по закону Фишера с числом степеней свободы m = 7 и n =12. Найти значение квантиля уровня 0,99.

б) Найти значение x из условия P(F< x)=0,95, где F – случайная величина, распределенная по закону Фишера со степенями свободы m = 23 и n =35.