Нормальный закон распределения

 

СОДЕРЖАНИЕ

 

ВВЕДЕНИЕ 3

1. ИНТЕГРАЛЬНАЯ И ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНАЯ ФУНКЦИЯ РАСПРЕДЕЛЕНИЯ. ВЕРОЯТНОСТЬ ПОПАДАНИЯ В ЗАДАННЫЙ ИНТЕРВАЛ 5

2. ВЫЧИСЛЕНИЕ ВЕРОЯТНОСТИ ЗАДАННОГО ОТКЛОНЕНИЯ 9

3. ПРАВИЛО ТРЕХ СИГМ. 11

4. НОРМАЛЬНОЕ РАСПРЕДЕЛЕНИЕ КАК ЗАМЕНА РАСПРЕДЕЛЕНИЯ ПУАССОНА 10

5. ИСПОЛЬЗОВАНИЕ НОРМАЛЬНОГО РАСПРЕДЕЛЕНИЯ В КАЧЕСТВЕ АППРОКСИМАЦИИ БИНОМИАЛЬНОГО РАСПРЕДЕЛЕНИЯ 16

ЗАКЛЮЧЕНИЕ 20

СПИСОК ИСПОЛЬЗОВАННЫХ ИСТОЧНИКОВ 21

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

ВВЕДЕНИЕ

Одним из наиболее часто  встречающихся распределений является нормальное распределение. Оно играет большую роль в теории вероятностей и занимает среди других распределений  особое положение. Нормальный закон  распределения является предельным законом, к которому приближаются другие законы распределения при часто  встречающихся аналогичных условиях.

Если предоставляется  возможность рассматривать некоторую  случайную величину как сумму  достаточно большого числа других случайных  величин, то данная случайная величина обычно подчиняется нормальному  закону распределения. Суммируемые  случайные величины могут подчиняться каким угодно распределениям, но при этом должно выполняться условие их независимости (или слабой зависимости). При соблюдении некоторых не очень жестких условий указанная сумма случайных величин подчиняется приближенно нормальному закону распределения и тем точнее, чем большее количество величин суммируется.

Ни одна из суммируемых  случайных величин не должна резко  отличаться от других, т. е. каждая из них  должна играть в общей сумме примерно одинаковую роль и не иметь исключительно  большую по сравнению с другими  величинами дисперсию.

Данная курсовая работа посвящена  теме «Нормальный закон распределения и его приближение к другим законам».

Объектом исследования данной курсовой работы является теория вероятностей и математическая статистика.

Предметом исследования данной работы является нормальный закон распределения.

Цель данной курсовой работы: изучить нормальный закон распределения и показать, что к нему приближаются другие законы распределения при часто встречающихся аналогичных условиях.

Для достижения поставленной цели необходимо решить следующие задачи:

- изучить и проанализировать учебно – методическую литературу по теме «Нормальный закон распределения»;

- раскрыть основные понятия темы «Нормальный закон распределения»;

- выявить связи и отношения между основными понятиями и положениями темы «Нормальный закон распределения»;

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

1. ИНТЕГРАЛЬНАЯ И ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНАЯ ФУНКЦИЯ РАСПРЕДЕЛЕНИЯ. ВЕРОЯТНОСТЬ ПОПАДАНИЯ В ЗАДАННЫЙ ИНТЕРВАЛ

Так как нормальному закону подчиняются только непрерывные  случайные величины, то это распределение  можно задать в виде плотности  распределения вероятности.

  Определение: Непрерывная случайная величина Х имеет нормальное распределение (распределена по нормальному закону), если плотность распределения вероятности f() имеет вид

 

где и - некоторые постоянные, называемые параметрами нормального распределения. Функция распределения F() в рассматриваемом случае принимает вид

 

Параметр - есть математическое ожидание, имеющий нормальное распределение, - среднее квадратическое отклонение, тогда дисперсия равна

 

Выясним геометрический смысл  параметров распределения и . Для этого исследуем поведение функции f(). График функции f()называется нормальной кривой.

 Рассмотрим свойства  функции f():

1. Областью определения функции f() является вся числовая ось.

2. Функция f() может принимать только положительные значения, т. е.  f()>0.

3. Предел функции f() при неограниченном возрастании || равен  нулю, т. е. ось ОХ является горизонтальной асимптотой графика  функции.

4. Функция f() имеет в точке = максимум, равный

5. График функции f() симметричен относительно прямой = .

6. Нормальная кривая в  точках  имеет перегиб,

 

На основании свойств  построим график плотности нормального  распределения f().

Рис. 1           

Как видно из риcунка, нормальная кривая имеет колоколообразную форму. Эта форма является отличительной чертой нормального распределения. Иногда нормальную кривую называют кривой Гаусса.

При изменении параметра  форма нормальной кривой не изменяется. В этом случае, если математическое ожидание уменьшилось или увеличилось, график нормальной кривой сдвигается влево или вправо.

Рис. 2           

При изменении параметра  изменяется форма нормальной кривой. Если этот параметр увеличивается, то максимальное значение  функции f() убывает, и наоборот. Так как площадь, ограниченная кривой распределения и осью Ox, должна быть постоянной и равной 1, то с увеличением параметра  кривая приближается к оси Oх и растягивается вдоль нее, а с уменьшением   кривая стягивается к прямой .

Рис. 3

Использование формул  f() и F() для практических расчетов затруднительно. Но решение задач по этим  формулам  можно упростить, если от нормального распределения с произвольными параметрами и перейти к нормальному распределению с параметрами =0, = 1.

Функция плотности нормального  распределения f() с параметрами =0, =1 называется плотностью стандартной нормальной случайной величины.

Функция плотности и интегральная функция стандартной нормальной случайной величины будут иметь вид:

 

 

Для вычисления вероятности попадания случайной величины в интервал () воспользуемся функцией Лапласа: 

 

Перейдем к стандартной  нормальной случайной величине

 

Тогда

 

Значения функции  необходимо взять из таблицы приложений "Таблица значений функции ".

Пример.

Случайная величина распределена по нормальному закону. Математическое ожидание и среднее квадратическое отклонение этой величины соответственно равны 30 и 10. Найти вероятность того, что примет значение, принадлежащее интервалу (10, 50).

Решение:

 По условию: =10, =50, =30, =10, следовательно,

 

По таблице  находим  (2) = 0,4772. Отсюда, искомая вероятность:

Р(10 < < 50) =2×0,4772=0,9544.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

2. ВЫЧИСЛЕНИЕ ВЕРОЯТНОСТИ ЗАДАННОГО ОТКЛОНЕНИЯ

Часто требуется вычислить  вероятность того, что отклонение нормально распределенной случайной величины по абсолютной величине меньше заданного положительного числа , т. е. требуется найти вероятность осуществления неравенства ||<.

Заменим это неравенство  равносильным ему двойным неравенством

, или  .

Тогда получим:

 

Приняв во внимание равенство:

 

(функция Лапласа—нечетная), окончательно имеем

Вероятность заданного отклонения равна

 

На рисунке наглядно показано, что если две случайные величины нормально распределены и = 0, то вероятность принять значение, принадлежащее интервалу (-), больше у той величины, которая имеет меньшее значение . Этот факт полностью соответствует вероятностному смыслу параметра .

Рис. 4

Пример.

Случайная величина распределена нормально. Математическое ожидание и среднее квадратическое отклонение соответственно равны 20 и 10. Найти вероятность того, что отклонение по абсолютной величине будет меньше трех.

Решение:

Воспользуемся формулой

По условию

0

Тогда

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

3. ПРАВИЛО ТРЕХ СИГМ

Преобразуем формулу 

 

Введем обозначение

,

Тогда получим: 

Если=3, то 

т. е. вероятность того, что  отклонение по абсолютной величине будет  меньше утроенного среднего квадратического  отклонения, равна 0,9973.

Другими словами, вероятность  того, что абсолютная величина отклонения превысит утроенное среднее квадратическое отклонение, очень мала, а именно равна  0,0027=1-0,9973. Это означает, что  лишь в 0,27% случаев так может произойти. Такие события, исходя из принципа невозможности  маловероятных событий, можно считать практически невозможными. В этом и состоит сущность правила трех сигм: если случайная величина распределена нормально, то абсолютная величина ее отклонения от математического ожидания не превосходит утроенного среднего квадратического отклонения.

На практике правило трех сигм применяют так: если распределение  изучаемой случайной величины неизвестно, но условие, указанное в приведенном  правиле, выполняется, то есть основание  предполагать, что изучаемая величина распределена нормально; в противном  случае она не распределена нормально.

Пример.

Есть некоторые  основания полагать, что рост случайно выбранного студента подчиняется нормальному распределению, параметр

которого, являясь математическим ожиданием, приближенно равен среднему значению роста по студенческому контингенту; пусть m = 174 см. Параметр же определим также приближенно, полагая, что практически все

студенты имеют  рост в промежутке от 156 до 192 см, тогда по правилу «трех

сигм» получаем, что  = 6.

Итак, рост T N(174, 6). Найдем вероятности P(T > 180), P(T < 190),

P(160 < T < 190).

Решение:

Для вычисления указанных  вероятностей применяем формулу    

P( < T < ) = Ф(( – 174)/6) – Ф(( – 174/6)

и получаем:

P(180 < T) = P(180 < T < ) = 1/2 – Ф((180 – 174)/6) ≈ 1/2 – 0,34 = 0,16;

P(T < 190) = Ф((190 – 174/6) – Ф(–) = Ф(16/6) + 1/2 ≈ 0,996;

P(160 < T < 190) = Ф((190 – 174)/6) – Ф((160 – 174/6) =

=Ф(16/6) +  Ф(14/6) 0,496 + 0,489 = 0,985.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

4. НОРМАЛЬНОЕ РАСПРЕДЕЛЕНИЕ КАК ЗАМЕНА РАСПРЕДЕЛЕНИЯ ПУАССОНА

Нормальное распределение может использоваться как замена распределения Пуассона. Ошибка нормального приближения мала при большом Если   мало, то применима лишь приближенная формула Пуассона. Однако при большом мы можем пользоваться как нормальным, так и пуассоновским приближением. Так как нормальное распределение оперирует с непрерывными случайными величинами, а пуассоновское с дискретными, то для замещения дискретной случайной величины на непрерывную применяется поправка на непрерывность с учетом среднего и стандартного отклонения . Чем больше , тем точнее результат, но в приведенном ниже примере при меньшем значении среднего получен вполне приемлемый итог.

Пример 1.  

В среднем при установке компьютеров  происходят две неполадки в неделю. Найдите вероятность, что в течение 4-х недель будет не больше 10 неполадок.

Решение:

Среднее равно восьми неполадкам в месяц. Вероятность неполадок в месяц вычисляется по распределению Пуассона:

P( неполадок в месяц) = ; r=0,1,2,3…

Требуется найти:

Р (10) = 1 - {Р(0) + Р(1) + Р(2) + ... + Р(10)}.

По распределению Пуассона:

Р (  10) = 1 - 0,816 = 0,184.

Вероятность того, что произойдет более чем 10 неполадок в течение месяца равна 0,184. Несмотря на то, что среднее меньше 10, мы будем использовать нормальное распределение.

В соответствии с поправкой на непрерывность находим вероятность более, чем 10,5 неполадок в месяц. Для использования нормального распределения при среднем, равном 8, стандартном отклонении  , для более чем 10,5 неполадок в месяц получаем значение :

 

(значение случайной величины  на 0,884 стандартных отклонения больше среднего). По таблице стандартного нормального распределения получаем вероятность:

Р (  0,884) = 0,1894.

Таким образом, вероятность более, чем 10,5 неполадок в месяц с использованием нормального распределения, равна 0,1894.

По распределению Пуассона эта  же вероятность равна 0,184.

Пример 2.

Задача о телефонных линиях. Телефонная станция А, обслуживающая 2000 абонентов, должна соединять их с соседней станцией В. Было бы слишком дорого и бессмысленно проводить 2000 линий из А в В. Достаточно сделать число линий настолько большим, чтобы при нормальных условиях лишь на один из каждой сотни вызовов не нашлось бы немедленно свободной линии. Предположим, что в течение наиболее напряженного часа дня каждый абонент разговаривает с В в среднем 2 минуты. Мы, естественно, можем сравнить положение в фиксированный момент наиболее напряженного часа с группой из 2000 испытаний с вероятностью «успеха» =1/30 (вероятность того, что потребуется линия). Эти испытания при нормальных условиях можно считать независимыми. Итак, мы имеем 2000 испытаний Бернулли с =1/30, требуется найти наименьшее число , такое, что вероятность более чем «успехов» меньше 0,01; в наших обозначениях