Нормальный закон распределения

 

При использовании приближенной формулы  Пуассона мы должны были бы взять  По таблицам находим, что вероятность 87 или более успехов равна примерно 0,0097, тогда как вероятность 86 и более успехов примерно 0,013. Это показывает, что было бы достаточно 87 линий. При использовании нормального приближения мы прежде всего находим по таблицам корень уравнения 1 – = 0,01, равный 2,327. Далее, должно иметь место неравенство (

Так как = 2000, =1/30, то                Таким образом, нормальное приближение показывает, что достаточно 86 линий.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

5. ИСПОЛЬЗОВАНИЕ НОРМАЛЬНОГО РАСПРЕДЕЛЕНИЯ В КАЧЕСТВЕ АППРОКСИМАЦИИ БИНОМИАЛЬНОГО РАСПРЕДЕЛЕНИЯ

Возникает небольшая проблема в связи с тем, что нормальное распределение оперирует с непрерывными случайными величинами, в то время  как биномиальное и пуассоновское  — с дискретными. Но ее можно легко  решить при помощи поправочного коэффициента, называемого "поправка на непрерывность".

Например, при помощи биномиального  распределения можно вычислить  вероятность существования двух бракованных образцов в выборке, состоящей из штук. Используя нормальное распределение как замену биномиального, мы делаем допущение, что значение дискретной случайной величины 2 является значением непрерывной случайной величины на промежутке от 1,5 до 2,5. Это и называется поправкой на непрерывность. Нормальное распределение, которое мы использовали, имеет ту же среднюю, и стандартное отклонение, что и обычное биномиальное распределение. Площадь, покрываемая кривой нормального распределения на промежутке от 1,5 до 2,5, представляет собой приблизительное значение дискретной вероятности появления двух бракованных образцов.

Замена распределений  производится только, если обычное  биномиальное распределение очень  трудоемко и к тому же существуют определенные предпосылки.

Среднее и стандартное  отклонение биномиального распределения  имеют вид:

Е () = = m  и s = 

Эти величины используются для вычисления при применении нормального распределения.

Пример 1.  

Каждый день завод производит огромное количество чипсов, 40% из которых  бракованные. Для проверки качества отбираются 20 образцов из произведенных за день чипсов. Какова вероятность, что 14 или больше из 20 бракованные?

Решение:

Произведем расчеты, используя  обычное нормальное распределение:

Р ( дефектов в 20 образцах) = (0,4)^r x(0,6)^20-r x²⁰С_r; r = 0, 1, ..., 20;

Р (14 или больше дефектов)= Р(14) + Р(15) + Р(16) + Р(17) + Р(18)+ +Р(19) + Р(20);

P(14)==0,004854

P(14)==0,001294

P(14)==0,000270

P(14)==0,000042

P(14)==0,000005

P(14)==0,000000

P(14)==0,000000

Р (14 или больше чипсов в выборке из 20 — бракованные) = 0,006465.

Расчеты с заменой биномиального  распределения нормальным чрезвычайно просты. Сначала проверим, можно ли произвести замену: = 20  0,4 = 8;    = 20 0,6 = 12. Полученные результаты показывают, что применение нормального распределения в качестве приближения биномиального распределения возможно.

Теперь произведем проверку на непрерывность. Дискретное значение, равное 14, заменяем непрерывной случайной  величиной на промежутке от 13,5 до 14,5. Вместо того, чтобы находить вероятность дискретной величины 14 и более дефектов, мы найдем вероятность значения непрерывной случайной величины более чем 13,5 дефектов. Среднее нормального распределения:, отсюда стандартное отклонение равно:

==2,19

Рассчитаем значение для 13,5:

 

(значение случайной величины  на 2,51 стандартных отклонения больше среднего). По таблице стандартного нормального распределения находим:

P(2,51) = 0,0060.

Следовательно, Р(число дефектов13,5) = 0,0060.

Очевидно, что полученный с малыми затратами труда результат Р (число дефектов  13,5) = 0,0060, почти ничем не отличается от результата расчетов с биномиальным распределением Р(14 и более дефектов в выборке из 20 образцов) = 0,0065.

Рис.  Вероятность того, что бракованных чипсов более  чем 13.5

Пример 2.  

Рассмотрим пример замены биномиального распределения нормальным для определения вероятности пропорции (доли). Из прошлого опыта аудиторы "ABC и Со Ltd" знают, что в среднем из 1000 бухгалтерских проверок 35 бывают с ошибками. Какова вероятность, что при ближайшей проверке ошибок будет больше 5%?

Решение:

Средняя доля  =   = 0,035;

Стандартное отклонение = = 0,0058

В данном случае доля ошибок в общем числе проверок является непрерывной случайной величиной  и поэтому можно использовать нормальное распределение без поправки на непрерывность.

Рис. Вероятность доли ошибок

Вычислим значение для = 0,05:

 

(на 2,586 стандартных отклонения выше средней доли). По таблицам стандартного нормального распределения вероятность равна:

P( > 2,586) = 0,0048.

Следовательно, Р(доля ошибок > 0,05) = 0,0048.

 

 

 

 

ЗАКЛЮЧЕНИЕ

 

Данная курсовая работа состоит  из 5 параграфов. В первом, втором, третьем  параграфе раскрыты основные теоретические  положения  нормального закона распределения. Даны основные определения, и получены основные формулы, относящиеся к  данной теме, показана взаимосвязь  понятий.

В четвертом и пятом  параграфе курсовой работы,  с  помощью примеров,  показана связь  нормального закона распределения  с другими законами.

Данная курсовая работа раскрывает нормальный закон распределения. Ее можно использовать как учебное пособие по приведенной теме. А практическая часть работы может служить примером решения типичных задач.

Изучив математическую литературу по теме курсовой работы, рассмотрен нормальный закон распределения, показано, что к нему приближаются другие законы распределения при часто встречающихся аналогичных условиях, также выполнена практическая часть. Таким образом,  цель курсовой работы считается достигнутой.

 

 

 

 

 

 

 

 

СПИСОК ИСПОЛЬЗОВАННЫХ ИСТОЧНИКОВ

1. Вентцель, Е.С. Теория вероятностей: Учеб. для вузов. - 6-е изд. стер. — М.: Высш. шк., 1999. – 576 с.
2. Гмурман, В.Е. Теория вероятностей и математическая статистика. - М.: Высш. шк., 1977. - 479 с.
3. Кочетков, П.А. Краткий курс теории вероятностей и математической статистики: Учебное пособие. – М.: МГИУ, 1999. – 51с.
4. Сёмочкина, О.А. Теория вероятностей и элементы математической статистики: учебное пособие для студентов вузов/ О.А.Сёмочкина. – Благовещенск: Изд-во БГПУ, 2009.- 163 с.
5. Феллер, В. Введение в теорию вероятностей и ее применение. – М.: Мир, 1984. – 1008 с.