Ознакомление с элементами матричного исчисления

 

Пример 3. Для матрицы А найти обратную матрицу А^-1

 

Решение. Записываем матрицу А и справа приписываем единичную матрицу Е. Используя преобразования Жордана, приводим матрицу А к единичной матрице Е. Вычисления приведены в таблице

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Проверим правильность вычислений умножением исходной матрицы А и  обратной матрицы А^-1.

 

 

 

 

 

В результате умножения матриц получилась единичная матрица. Следовательно, вычисления произведены правильно. Ответ:

 

3.4 Решение матричных уравнений

 

Матричные уравнения могут иметь  вид:

 

АХ = В,       ХА = В,      АХВ = С,

 

где А,В,С – заданные матрицы, Х  – искомая матрица.

Матричные уравнения  решаются с помощью умножения  уравнения на обратные матрицы.

Например, чтобы найти матрицу Х из уравнения АХ = В, необходимо умножить это уравнение на А^–1 слева. Тогда:

 

Следовательно, чтобы найти решение Х уравнения АХ = В, нужно найти обратную матрицу А^–1 и умножить ее на матрицу В, стоящие в правой части уравнения.

Аналогично решаются другие уравнения.

 

Пример 4. Решить уравнение АХ = В, если

Решение. Так как обратная матрица равняется (см. пример 3)

 

3.5 Применение матриц в экономике

 

Пример 1. В таблице указано количество единиц продукции, отгружаемой ежедневно на молокозаводах 1 и 2 в магазины М₁, М₂ и М₃, причем доставка единицы продукции с каждого молокозавода в магазин М₁ стоит 50 ден. ед., в магазин М₂ - 70, а в М₃ - 130 ден. ед. Подсчитать ежедневные транспортные расходы каждого завода.

 

Молокозавод	Магазин
	М 1	М 2	М 3
1	20	35	10
2	15	27	8

Решение. Обозначим через А матрицу, данную нам в условии, а через В - матрицу, характеризующую стоимость доставки единицы продукции в магазины, т.е.,

Тогда матрица затрат на перевозки  будет иметь вид:

Итак, первый завод ежедневно тратит на перевозки 4750 ден. ед., второй - 3680 ден.ед.

Пример 2. Швейное предприятие производит зимние пальто, демисезонные пальто и плащи. Плановый выпуск за декаду характеризуется вектором X = (10, 15, 23). Используются ткани четырех типов Т₁, Т₂, Т₃, Т₄. В таблице приведены нормы расхода ткани (в метрах) на каждое изделие. Вектор С = (40, 35, 24, 16) задает стоимость метра ткани каждого типа, а вектор P = (5, 3, 2, 2) - стоимость перевозки метра ткани каждого вида.

Изделие	Расход ткани
	Т 1	Т 2	Т 3	Т 4
Зимнее пальто	5	1	0	3
Демисезонное пальто	3	2	0	2
Плащ	0	0	4	3

1. Сколько метров ткани каждого  типа потребуется для выполнения плана ?

2. Найти стоимость ткани, расходуемой  на пошив изделия каждого вида.

3. Определить стоимость всей  ткани, необходимой для выполнения  плана. 

4. Подсчитать стоимость всей  ткани с учетом ее транспортировки. 

Решение. Обозначим через А матрицу, данную нам в условии, т.е.

тогда для нахождения количества метров ткани, необходимой для выполнения плана, нужно вектор X умножить на матрицу А:

Стоимость ткани, расходуемой на пошив  изделия каждого вида, найдем, перемножив матрицу А и вектор C ^T:

.

Стоимость всей ткани, необходимой  для выполнения плана, определится  по формуле:

Наконец, с учетом транспортных расходов вся сумма будет равна стоимости ткани, т. е. 9472 ден. ед., плюс величина

 

                         X ·А ·P ^T =

 

 

 

Итак, X ·А ·C ^T + X ·А ·P ^T = 9472 + 1037 = 10509 (ден. ед).

 

3.6 Вопросы для самопроверки

 

1. Что называется матрицей и  каков ее общий вид?

2. Что называется размером матрицы?

3. Какая матрица называется нулевой,  квадратной, диагональной, единичной?

4. Какие матрицы называются равными?

5. Какая матрица называется транспонированной?

6. Линейные операции над матрицами:  сумма матриц, умножение матрицы на число.

7. Какое условие должно выполняться  для существования суммы, разности  двух матриц?

8. Что называется произведением  двух матриц?

9. При каком условии существует  произведение двух матриц?

10. Какая матрица называется  вырожденной (невырожденной)?

11. Что называется рангом матрицы?

12. Когда ранг матрицы равен  нулю?

13. Когда ранг квадратной матрицы  равен ее порядку?

14. Какая матрица называется  обратной?

15. Каково условие существования  обратной матрицы?

16. Какая матрица называется присоединенной?

17. Формула для вычисления обратной  матрицы через присоединенную  матрицу

18. Опишите метод  Жордано-Гаусса  для вычисления обратной матрицы

 

3.7 Решение задач

 

1.1	Найти сумму матриц  А+В,  если а) A= и В=        б) A= и В=
1.2	Найти разность матриц   А - В, если   А =   и В =
1.3	Вычислив линейную комбинацию матриц , найти ее элемент
1.4	Вычислив линейную комбинацию матриц , найти ее элемент
1.5	Вычислить элемент  линейной комбинации матриц
2	Вычислить сумму диагональных элементов матрицы
2.1	, если  и
2.2	, если  и
2.3	, если  и
3	Укажите произведение матриц, которое не имеет смысла
3.1	A)       B)      C) D)       E)
3.2	A)   B)         C) D)    E)
3.3	A)     B)      C) D)  E)
4	Найти произведение матрицы А на матрицу В, если:
4.1	А = ,  В =					4.2		А= ,В =
4.3	А = , В =					4.4		А = ,  В =
4.5	А = ,    В =					4.6		А= ,  В =
5	Найти  А2 для матрицы A
5.1	A =					5.2		A =
5.3	A =					5.4		A =
6	Вычислить указанный  элемент  матрицы
6.1	, если					6.2		, если
6.3	, если					6.4		, если
7	Найти указанный элемент  матрицы С = А·В
7.1	, если					7.2		, если
7.3	, если					7.4		, если
	Найти сумму диагональных элементов произведения матриц
7.5						7.6
7.7						7.8
8.1	Вычислить произведение А'.В, если  А = ,   В =
8.2	Вычислить произведение А'.В', если А = ,   B =
8.3	Вычислить произведение (А.В)', если  А = ,  B =
8.4	Вычислить элемент  a12 произведения матриц А'.В, если    А = ,       В=
8.5	Вычислить элемент  a23 произведения матриц А'.В, если   А = ,     В=
8.6	Вычислить элемент  a22 произведения  матриц А.В', если     А = , B=
8.7	Вычислить элемент  a22 произведения матриц (А.В)', если  А = ,       B =
9	Найти обратную матрицу А-1 для матрицы А
9.1	А =		9.2			А =
9.3	А =		9.4			А =
10.1	При каком значении х матрица А =   является вырожденной
10.2	При каком значении х матрица А =   является вырожденной
10.3	При каком значении х матрица А = не имеет обратной
10.4	При каком значении х матрица А = не имеет обратной
	Найти обратную матрицу А-1 для матрицы А
10.5	А =	10.6		А =
10.7	А =	10.8		А =
10.9	А =	10.10		А =
10.11	А =	10.12		А =
10.13	А =	10.14		А =
10.15	А =	10.16		А =
10.17	А =
11	Найти ранг матрицы
11.1					11.2
11.3					11.4
11.5