Ознакомление с элементами матричного исчисления

Тема №3. Матрицы

 

Цель лекции: Ознакомление с элементами матричного исчисления

Перечень вопросов, выносимых для рассмотрения:

1. Определение матрицы, ее виды  и линейные операции над ними.

2. Элементарные преобразования  матриц.

3. Ранг матрицы.

4. Обратная матрица.

 

3.1 Матрицы и операции над ними

 

Матрицей размера m×n называется любая прямоугольная таблица чисел вида

 

 

Здесь a_ij - действительные числа (i=1,2,…,m; j=1,2,…,n), называемые элементами матрицы, i и j - соответственно индексы строки и столбца. Матрицу можно записать в сокращенном виде:

 

А = (а_ij) (i=1,2,…,m;  j=1,2,…,n).

 

Матрица, все элементы которой равны  нулю, называется нулевой матрицей.

Если число строк  матрицы равно числу ее столбцов, то матрица А называется квадратной:

Упорядоченная совокупность элементов а_ii (i=1,2,…n) называется главной диагональю квадратной матрицы.

Квадратная матрица  называется диагональной, если ее элементы удовлетворяют условию:

 

Матрица в этом случае имеет вид:

Единичной матрицей называется диагональная матрица, у которой все элементы главной диагонали равны единице:

или 

Две матрицы  А и В называются равными (А=В), если они имеют одинаковые размеры и их соответствующие элементы равны: а_ij = b_ij (i=1,…, m; j=1,…, n).

Суммой матриц А и В одинакового размера называется матрица С = А+В, элементы которой для   i=1,…,m;   j=1,…,n.

 

 

Произведением матрицы А на число a называется  матрица С, где с_ij = a·а_ij

 

Линейные операции над матрицами удовлетворяют  следующим свойствам:

1⁰.  А+В = В+А   4⁰.  (a+b)А = aА+bА  7⁰.  0∙А = 0

2⁰.  (А+В)+С = А+(В+С)    5⁰.  (ab)А = (aА)b  

3⁰.  a(А+В) = aА+aВ  6⁰.  А+0 = А

Здесь А, В и С – матрицы, имеющие одинаковый размер, а a и b – некоторые действительные числа,  0 – нулевая матрица.

 

Транспонированием матрицы называется замена строк матрицы на ее столбцы с сохранением их порядка. Обозначение транспонированной матрицы или A^T.

 

 

Свойства операции транспонирования матрицы:

1⁰  

2⁰  

3⁰  

4⁰ При транспонировании не меняются элементы главной диагонали квадратных матриц.

Определение 1. Произведением матриц А и В называется матрица С, элементы c_ij которой равны скалярным произведениям векторов-строк матрицы А на векторы-столбцы матрицы В:

Иначе говоря, элементы матрицы-произведения определяются следующим образом: элемент i-й строки и j-го столбца матрицы С равен сумме произведений элементов i-й строки матрицы А на соответствующие элементы j-го столбца матрицы В.

Замечание. Умножение матрицы А на матрицу В определено, когда число столбцов первой матрицы равно числу строк второй.

Если размеры умножаемых матриц m n и n k, то размер полученной матрицы будет m k .

Пример 1. Найти произведение матриц А и В

 

 

 

 

Решение. Имеем: матрица А размера 2 3, матрица В размера 3 3, тогда произведение АВ = С существует и элементы матрицы С равны:

с₁₁ = 1×1 +2×2 + 1×3 = 8,    с₂₁ = 3×1 + 1×2 + 0×3 = 5,    с₁₂ = 1×2 + 2×0 + 1×5 = 7,

с₂₂ =3×2 + 1×0 + 0×5 = 6,   с₁₃ = 1×3 + 2×1 + 1×4 = 9,    с₂₃ = 3×3 + 1×1 + 0×4 = 10.

Следовательно, AB существует и

а произведение BA не существует.

 

Произведения  матриц удовлетворяют  следующим  свойствам:

 

1⁰.  (АВ)С=А(ВС)    4⁰. a(АВ)=(aА)В=А(aВ), где a - любое действительное число

2⁰.  (А+В)С=АС+ВС    5⁰. АЕ=А

3⁰. А(В+С)=АВ+АС    6⁰. ЕА=А

3.2 Вырожденные и невырожденные матрицы. Ранг матрицы

 

Определение 2. Квадратная матрица называется вырожденной (невырожденной), если ее определитель равен (не равен) нулю.

 

Матрица А – вырожденная <=> |А| = 0

Матрица А  – невырожденная  <=>   |А| ≠ 0

 

Рассмотрим прямоугольную матрицу А размера m×n. Если в этой матрице выделить произвольно k строк и k столбцов, то элементы, стоящие на пересечении выделенных строк и столбцов, образуют квадратную матрицу k-го порядка. Определитель этой матрицы называется минором k-го порядка матрицы А.

Определение 3. Минором k-го порядка матрицы А называется определитель, составленный из элементов, расположенных на пересечении k строк и k столбцов.

Очевидно, что матрица А обладает минорами любого порядка от 1 до наименьшего из чисел m и n. Среди всех отличных от нуля миноров матрицы А найдется по крайней мере один минор, порядок которого будет наибольшим. Наибольший из порядков миноров данной матрицы, отличных от нуля, называется рангом матрицы.

Определение 4. Рангом матрицы А называется наивысший порядок отличных от нуля  миноров этой матрицы.

Ранг матрицы А обозначается  r (А). Очевидно, что выполняется соотношение

 

0 ≤ r (A) ≤ min (m, n).

Из определения следует:

а) ранг матрицы  Аm×n не превосходит меньшего из ее размеров; б) r (А) = 0   тогда и только тогда, когда все элементы матрицы равны нулю, т.е. когда А – нулевая  матрица; в) для квадратной матрицы n-го порядка     r (А) = n     тогда и только тогда, когда матрица  А – невырожденная.

 

Элементарные  преобразования матриц:

 

1. Перестановка любых двух строк (или столбцов).

2. Умножение  всех элементов строки (столбца)  матрицы на число, не равное  нулю.

3. Прибавление к каждому элементу одной строки (столбца) соответствующих элементов другой строки (столбца), умноженных на любое число.

4. Транспонирование матрицы.

5. Отбрасывание нулевой строки (столбца).

 

Две матрицы называются эквивалентными, если одна из них получается из другой с помощью конечного множества элементарных преобразований. Эквивалентные матрицы не являются, вообще говоря, равными, но их ранги равны.

Теорема. Ранг матрицы не изменяется при элементарных преобразованиях матрицы.

Теорема. Ранг матрицы равен максимальному числу ее линейно независимых строк или столбцов, через которые линейно выражаются все остальные ее строки (столбцы).

Пример 2. Методом элементарных преобразований найти ранг матрицы А вида

Решение. Из второй строки вычтем первую и переставим эти строки:

.

Теперь из второй и третьей строк  вычтем первую, умноженную соответственно на 2 и 5:

Из третьей строки вычтем первую; получим матрицу В =

,

которая эквивалентна матрице А, так как получена из нее с помощью конечного множества элементарных преобразований. Очевидно, что ранг матрицы В равен 2, и следовательно, и r (A) = 2.

Пример 3. Методом элементарных преобразований найти ранг матрицы А вида

 

 

Решение. Для нахождение ранга матрицы, преобразуем исходную матрицу в трапециевидную равного ранга. При этом стремимся, чтобы все элементы, стоящие ниже главной диагонали, были равны нулю, а все элементы, стоящие на главной диагонали, были отличны от нуля (возможно кроме последних, стоящих в полностью нулевых строках). Требуемый вид матрицы получен и ее ранг совпадает с рангом исходной.

 

Проанализируем последнюю матрицу. В ней легко выделить невырожденную  квадратную подматрицу (минор порядка 3). Этот минор располагается с 1-й  по 3-ю строку и с 1-го по 3-й столбец (см. ниже):

 

 

Данный минор невырожденный (его определитель не равен нулю) т.к. определитель треугольной матрицы равен произведению диагональных элементов. Кроме того, из конечной матрицы нельзя выделить невырожденную подматрицу порядка больше чем 3. Следовательно, ранг матрицы |A| равен 3 (Ответ: rang |А| = 3).

 

 

3.3 Обратная матрица

 

Определение 5. Квадратная матрица А^-1 называется обратной по отношению к квадратной матрице А, если при их перемножении получается единичная матрица:

 

 

 

Теорема.  Для существования обратной матрицы А^-1 необходимо и достаточно, чтобы матрица А была невырожденной.

С учетом определения невырожденной  матрицы получается

Теорема.  Для того, чтобы матрица А имела обратную, необходимо и достаточно, чтобы ее определитель был отличен от нуля.

В заключение приведем ряд связей между некоторыми понятиями, рассмотренными в данном разделе

Квадратная  матрица А порядка n  невырожденная     <=>   ее определитель  |А| ≠ 0 <=> ранг матрицы r (А) = n    <=>    для матрицы А существует обратная  матрица  А-1

Квадратная  матрица А порядка n  вырожденная     <=>   ее определитель  |А| = 0 <=> ранг матрицы r (А) < n    <=>    для матрицы А не существует обратной  матрицы А-1

 

Определение 6. Квадратную матрицу  n-го порядка называют присоединенной, если ее элементы являются алгебраическими дополнениями элементов матрицы .

Таким образом, чтобы найти присоединенную матрицу  , надо сначала записать транспонированную матрицу и потом ее элементы заменить на их алгебраические дополнения.

 

Обратная матрица вычисляется  по формуле  , где -    присоединенная матрица

Пример 1. Найти обратную матрицу для матрицы

Решение. Находим сначала определитель матрицы А:

значит, обратная матрица существует и мы ее можем найти по формуле:

,

где А_ij (i,j=1,2,3) - алгебраические дополнения элементов а_ij исходной матрицы.

  

  

   

   

откуда

.

 

Вычисление обратной матрицы  с помощью присоединенной матрицы для матриц высокого порядка очень трудоемко, поэтому на практике бывает удобно находить обратную матрицу с помощью метода элементарных преобразований (ЭП).

Существует более простой способ нахождения обратной матрицы, называемый методом Жордано-Гаусса.

 

Для этого  к матрице А приписывается  справа единичная матрица Е. Потом  путем преобразований над строками расширенной матрицы (А/Е) матрица А приводится к виду единичной матрицы. После окончания указанного вычислительного процесса, т.е. когда на месте исходной матриц А будет получена единичная матрица, на месте приписанной справа единичной матрицы Е будет находиться обратная матрица А-1. Другими словами, вместо расширенной матрицы (А/Е) в итоге получается расширенная матрица (Е/А-1).

 

Отметим еще раз, что  при отыскании канонического  вида матрицы с целью нахождения ее ранга можно пользоваться преобразованиями строк и столбцов. Если нужно найти обратную матрицу, в процессе преобразований следует использовать только строки или только столбцы.

Пример 2. Методом элементарных преобразований найти обратную матрицу для матрицы А, равной

Решение.

Приписываем к исходной матрице  справа единичную матрицу того же порядка:
С помощью элементарных преобразований столбцов приведем левую “половину” к единичной, совершая одновременно точно такие преобразования над  правой матрицей. Для этого поменяем местами первый и второй столбцы:	~
К третьему столбцу прибавим первый, а ко второму - первый, умноженный на -2:
Из первого столбца вычтем удвоенный  второй, а из третьего - умноженный на 6 второй:
Прибавим третий столбец к первому  и второму:
Умножим последний столбец на -1:
Полученная справа от вертикальной черты квадратная матрица является обратной к данной матрице А. Итак: