Ознакомление со множеством

1.МНОЖЕСТВО — это совокупность объектов, которые рассматриваются как единое целое. Мир, в котором живет человек, представлен разнообразными множествами: множество звезд на небе, растений, животных вокруг него, множество разных звуков, частей собственного тела.  
 
Множества состоят из элементов. Элементами множества называют объекты, составляющие множества. Это могут быть реальные предметы (вещи, игрушки, рисунки), а также звуки, движения, числа и др.  
 
Элементами множества могут быть не только отдельные объекты, но и их совокупности. Например, при счете парами, тройками, десятками. В этих случаях элементами множества выступает не один предмет, а два, три, десять - совокупность. 
Таким образом, множества рассматривают как набор, совокупность, собрание каких-либо предметов и объектов, объединённых общим, для всех характерным свойством. 
Всякое свойство можно рассматривать как принадлежность некоторым предметам. 
 
Например, свойством быть красным обладают некоторые цветы, ягоды, автомашины и другие предметы. Свойством быть круглым обладают луна, мяч, колеса велосипедов и автомашин, детали различных машин и станков и др. 
 
Таким образом, с каждым свойством связывается множество (предметов), обладающих этим свойством. Говорят также, что множество характеризуется данным свойством — или множество задано указанием характеристического свойства. 
Под характеристическим свойством множества подразумеваются такое свойство,которым обладают все объекты, принадлежащие данному множеству (элементы этого множества), и не обладает ни один предмет, который не принадлежит ему, т.е. этот предмет не является его элементом. 

Некоторым свойством может обладать бесконечное множество предметов, другим — лишь конечное множество. Поэтому множества подразделяются на конечные и бесконечные. 
Конечное множество может быть задано непосредственным перечислением всех его элементов в произвольном порядке. Например, множество детей данной группы, живущих на Садовой улице, может быть задано описанием с помощью характеристического свойства:{х | х - живет на Садовой улице) или перечислением всех его элементов в произвольном порядке: {Лена, Саша, Витя, Ира, Коля}. 
Вполне понятно, что бесконечное множество нельзя задать перечислением всех его элементов. 
 
Математика в большей мере имеет дело с бесконечными множествами (числа, точки, фигуры и другие объекты), но основные математические идеи и логические структуры могут быть смоделированы на конечных множествах.

Естественно, что в предматематической подготовке обычно имеют дело с конечными множествами.

ЧИСЛО – это общая неизменная категория множества, которая является показателем мощности множества. Это лишь звуковое обозначение. 
Теоретические основы формирования элементарных математических представлений у дошкольников включают детальное изучение лишь системы натуральных чисел. Поэтому, говоря «числа», мы имеем в виду натуральные числа. 
ЦИФРЫ — система знаков (“буквы”) для записи чисел (“слов”) (числовые знаки).Слово “цифра” без уточнения обычно означает один из следующих десяти знаков: 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 (т.н. “арабские цифры”). Сочетания этих цифр порождают дву-(и более) значные числа. 
Число имеет 2 значения: количественное и порядковое. 
При количественном значении нас интересует количество элементов во множестве. Мы используем вопрос СКОЛЬКО? и счёт начинаем с количественного числительного ОДИН.  
При порядковом значении числа нас интересует место числа среди других или порядковый номер элемента во множестве. Используется вопрос КОТОРЫЙ ПО СЧЁТУ? и задаётся направление счёту. Используются порядковые числительные, счёт начинается со слова ПЕРВЫЙ. 
Когда мы говорим о количестве, не имеет значения направление счёта, предмет, с которого начали счёт. Итоговое число не меняется. При порядковом счёте – итоговое число может меняться.

2. Натуральными числами называются числа, которые появились в результате счета. Числа один, два, три, четыре и так дальше, являются натуральными. Отрицательные и дробные числа не принадлежат к натуральным числам. Ноль, чаще всего, не принято считать натуральным числом.      

Натуральные числа - это числа, которые используются для счета предметов или для указания порядкового номера того или иного предмета среди однородных предметов.            

В первом веке нашей эры древнегреческий математик Никомаха в своем математическом труде "Введение в математику" говорит о "естественном ряде" чисел. В шестом веке римский автор Боэций перевел эту арифметику на латинский язык и впервие употребил при этом термин "натуральное число". Позже д'Аламбер начал употреблять понятие "натуральное число" в современном виде.      

Натуральные числа образуют натуральный ряд чисел: 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12, ... Наименьшим числом в натуральном ряду является число 1 (один, единица), наибольшего числа в натуральном ряду нет. Натуральный ряд чисел является бесконечным. Натуральный ряд построен так, что каждое следующее число на 1 (единицу) больше предыдущего. Какое число надо прибавить к натуральному числу, чтобы назвать следующее натуральное число? Нужно прибавить число 1 (один), тогда получится следующее натуральное число.      

Натуральный ряд чисел можно легко представить визуально. Для этого пройдите на страницу "Таблица натуральных чисел", где представлены натуральные числа от 1 (одного) до 120 (ста двадцати).      

Любое натуральное число можно записать при помощи десяти арабских цифр: 1 (один), 2 (два), 3 (три), 4 (четыре), 5 (пять), 6 (шесть), 7 (семь), 8 (восемь), 9 (девять), 0 (ноль). Одно число может обозначаться несколькими цифрами. Например, число 18 (восемнадцать) обозначается двумя цифрами: 1 (один) и 8 (восемь). В записи натурального числа значение каждой цифры определяется местом (позицией), которое цифра занимает в записи числа.      

Натуральные числа обозначаются латинской буквой N (множество натуральных чисел).      

Для натуральных чисел определены следующие арифметические действия: сложение, вычитание, умножение, деление, возведение в степень, извлечение корня. Результаты некоторых арифметических действий представлены в виде таблицы сложения, таблицы вычитания, таблицы умножения, таблицы деления.       

Это школьный курс математики. Если я еще найду где-то что-то интересное о натуральных числах, обязательно добавлю к вышеизложенному. Столь глубокие познания в области натуральных чисел почерпнуты мною из «Справочника по математике», авторами которого являются А.А. Рывкин, А.З. Рывкин, Л.С. Хренов, издан справочник в 1970 году. Отдаю должное авторам и издателям – этот справочник не раз выручал меня в студенческие годы, да и сейчас является моим главным экскурсоводом в мире математики.       

.      

Теперь немного добавлю от себя. Что и как я понимаю.      

Получить натуральные числа очень легко. Для этого существует самая древняя вычислительная машина – рука человека. Пересчитаем по очереди пальцы на одной руке. В результате пересчета мы получим пять натуральных чисел: 1 – один, 2 – два, 3 – три, 4 – четыре, 5 – пять.       

Результат наших вычислений не зависит от того, какую руку мы используем – правую или левую, и с какого пальца мы начинаем отсчет – с большого или мизинца.       

Если на помощь привлечь еще одну руку, то количество доступных натуральных чисел удвоится. Теперь мы сможем получить уже десять натуральных чисел: 1, 2, 3, 4, 5, 6 – шесть, 7 – семь, 8 – восемь, 9 – девять, 10 – десять. Если для пересчета добавить пальцы ног, руки и ноги соседей, то получится очень большое количество чисел, и все эти числа будут натуральными. Можно поступить несколько иначе: считать пальцы на одной руке в произвольном порядке, не обращая внимания на то, сколько раз посчитан каждый палец. В этом случае количество полученных натуральных чисел будет ограничено только нашим терпением.      

Натуральное число 2 мы использовали по меньшей мере два раза. Первый раз – для обозначения количества пальцев на руке, второй раз – для обозначения количества рук. Одно и то же натуральное число может применяться для обозначения количества самых разных предметов.      

Почему отрицательные числа не принадлежат к натуральным? Отрицательные числа получают более сложным способом, чем простой пересчет. Точно так же, как и дробные числа. Для получения отрицательных и дробных чисел используют арифметические операции вычитания и деления. Когда, как и к чему применяются арифметические операции, и что же это такое, рассмотрим в отдельной статье.      

Еще пару слов о нуле и натуральных числах. Поскольку число – это виртуальное отображение количества чего-либо, невозможно произвести физический эксперимент или анатомическое вскрытие для выяснения истины. Является ли ноль числом? Этот вопрос требует дополнительных раскопок в Google. Принадлежит ли ноль к натуральным числам? В начале этой страницы я написал «ноль, чаще всего, не принято считать натуральным числом». Поясню смысл этой фразы.      

В заключение маленькая рубрика вопрос-ответ.

Какие числа являются натуральными? - целые положительные числа.

Ноль натуральное число? - ноль не является натуральным числом. Натуральный ряд чисел начинается с еденицы.

Какое самое большое натуральное число? - Самого большого натурального числа не существует. Какое бы самое большое, на ваш взгляд, натуральное число вы не взяли, к нему всегда можно прибавить еденицу и получить натуральное число еще больше. Натуральный ряд чисел бесконечен.

В старшей группе детей начинают впервые учить пользоваться порядковыми числительными. В обиходе пятилетние дети хотя и пользуются порядковыми числительными, но употребляют их Часто неверно, подменяя ими количественные числительные. Поэтому необходимо раскрыть значение порядковых числительных. Раскрыть порядковое значение числа позволяет сопоставление его с количественным значением. Когда хотят узнать, сколько предметов, их считают: один, два, три, четыре и т. д., т. е., считая так, находят ответ на вопрос сколько? Но когда нужно найти очередность, место предмета среди других, считают по-иному. Отвечая на вопросы который? какой по счету?, считают: первый, второй, третий и т. д. 
Дети часто путают вопросы который? и какой? Последний требует выделения качественных свойств предметов: цвета, размера и др. Чередование вопросов сколько? который? какой по счету? какой? позволяет раскрыть их значение. 
Детям уже не раз показывали, что для ответа на вопрос сколько? не имеет значения, в каком порядке считать предметы. Теперь они узнают, что для определения порядкового места предмета среди других направление счета имеет существенное значение. Педагог демонстрирует это, пересчитывая одни и те же предметы в разных направлениях. Он выясняет, например, что среди 7 флажков синий — на 5 месте, если вести счет слева направо, а если считать справа налево, то он на 3 месте. Дети пробуют определить место предмета среди других, ведя счет в разных направлениях. Делают вывод, что, определяя, на каком по счету месте предмет, надо указывать направление счета (третий слева, пятый справа и т. д.). 
В качестве счетного материала сначала используют однородные предметы, отличающиеся цветом или размерами, например разноцветные флажки или кружки, елочки разной высоты и пр., а позднее — совокупности предметов разного вида, например игрушки (персонажи сказки «Теремок» и т. п.). В порядковом счете детей упражняют и на бессюжетном материале, например на моделях геометрических фигур, полосках разных размеров и т. п. 
Тренируясь в порядковом счете, они определяют место предмета среди других, находят предмет, занимающий определенное порядковое место («Какой предмет на третьем месте?»), располагают предметы в указанном порядке. 
Некоторые дети, определяя место предмета, заменяют порядковые числительные количественными. Педагог прислушивается к тому, как дети ведут счет, и указывает на ошибки. Особенно эффективны так называемые комбинированные упражнения, в которых порядковый счет сочетается с сопоставлением двух и более совокупностей предметов, группировкой геометрических фигур, упорядочиванием предметов по размеру. 
Обучение порядковому счету является основной задачей 3—4 занятий, в дальнейшем навыки порядкового счета закрепляют в ходе работы над новым материалом.

3. Основная цель измерительной деятельности детей в детском саду -- формирование представлений о величинах. Большая подготовительная работа предшествует простейшим измерениям, которыми дети овладевают дошкольники. Она включает обучение измерению размера, объема, массы путем непосредственного сравнения предметов по данным признакам. Чувственно-практическая деятельность, позволяющая определить, какой из нескольких сравниваемых предметов больше (меньше), шире (уже), выше (ниже), толще (тоньше), глубже (мельче), тяжелее (легче) и т. д., является первоосновой для введения измерения условными, а затем и общепринятыми мерами

Деятельность измерения довольно сложна. Она требует специфических умений, знакомства с системой мер, применения измерительных приборов. Использование условных мер делает доступным измерение маленьким детям. Термин «измерение условными мерами» означает возможность использовать средства измерения.

Условная мера (мерка) -- предмет, используемый в качестве средства измерения, своеобразное орудие измерения. В то же время она выступает как мера (единица измерения) в данном конкретном случае. Лентой, веревкой, палочкой, шагом может быть измерена длина дорожки в саду. Ложкой, чашкой, банкой, стаканом определяется объем жидких и сыпучих веществ. Измерение объектов условными мерами своеобразно: единица измерения выбирается произвольно, в зависимости от ситуации и конкретных условий (при этом не требуется знания общепринятой системы мер), оценка величины носит частный и менее точный характер, чем при измерении общепринятыми единицами.

Использование условных мерок хотя и упрощает деятельность измерения, но не изменяет ее сущности, которая заключается в сравнении какой-либо величины с определенной величиной того же рода, называемой единицей измерения. Условная мерка подбирается с учетом особенностей измеряемого объекта. При этом ребенку предоставляется достаточная, но не безграничная свобода выбора. Однородность, «родственность» того, что и чем измеряется, является необходимым условием, на котором основывается выбор конкретной мерки. Итак, в детском саду измерительная деятельность носит элементарный, пропедевтический характер. Ребенок вначале учится измерять объекты условными мерками, и лишь в результате этого создаются предпосылки для овладения «настоящим» измерением .

Потребность в простейших измерениях возникает у детей в практических делах: сделать одинаковые по длине и ширине грядки, встать друг за другом по росту на занятиях гимнастикой, определить, чья постройка оказалась выше, кто на занятиях по физкультуре прыгнул дальше и т. д. Наиболее часто требуется произвести измерение для выполнения различных заданий конструктивного характера, в строительных играх, на занятиях по изобразительной деятельности и физкультуре, в быту. В повседневной жизни детского сада и в домашних условиях возникают самые разнообразные по характеру ситуации, требующие элементарных навыков измерительной деятельности. Чем лучше ребенок овладеет ими, тем результативнее и продуктивнее протекает эта деятельность. Научившись правильно измерять на специальных занятиях, дети смогут использовать эти умения в процессе ручного труда, создавая аппликации, конструируя, при разбивке грядок, клумб, дорожек и т. д. Целенаправленное формирование элементов измерительной деятельности в дошкольном возрасте закладывает основы навыков и умений, необходимых для будущей трудовой жизни.