Понятие первообразной функции

 - (8)

при λ→0, не зависящий  от способа разбиения τ_n отрезка [a; b] на частичные отрезки и выбора промежуточных точек ξ_k, то этот предел называют определенным интегралом (или интегралом Римана) от функции f(x) на отрезке [a; b] и обозначают:

           

 Если указанный предел  существует, то функция f(x) называется интегрируемой на отрезке [a; b] (или интегрируемой по Риману). При этом f(x)dx называется подынтегральным выражением, f(x) – подынтегральной функцией, х – переменной интегрирования, a и b – соответственно нижним и верхним пределами интегрирования.           

 Определенный  интеграл есть число, равное  пределу, к которому стремится  интегральная сумма, в случае, когда диаметр разбиения λ  стремится к нулю.            

Геометрический  смысл определенного интеграла. Пусть функция y=f(x) непрерывна на отрезке [a; b] и f(x) ≥ 0. Фигура, ограниченная графиком АВ функции y=f(x), прямыми x=a, x=b и осью Ох (рис. 1), называется криволинейной трапецией.

            Интегральная сумма и ее слагаемые  имеют простой геометрический смысл: произведение   равно площади прямоугольника с основанием   и высотой  , а сумма   представляет собой площадь заштрихованной ступенчатой фигуры (изображенной на рис. 1). Очевидно, что эта площадь зависит от разбиения τ_n отрезка [a; b] на частичные отрезки и выбора точек ξ_k.           

 Чем меньше  , k=1, n, тем площадь ступенчатой фигуры ближе к площади криволинейной трапеции. Следовательно, за точную площадь Sкриволинейной трапеции принимается предел интегральной суммы при λ→0:

           

 Таким образом, с геометрической точки зрения определенный интеграл от неотрицательной функции численно равен площади соответствующей криволинейной трапеции. 

 

10.  Основные свойства определенного интеграла.                  

Рассмотрим свойства определенного  интеграла.

1.         Если нижний и верхний пределы интегрирования равны (a=b), то интеграл равен нулю:

           

 Это свойство следует  из определения интеграла.

2.         Если f(x)=1, то

           

 Действительно, так  как f(x)=1, то

3.         При перестановке пределов интегрирования определенный интеграл меняет знак на противоположный:

4.         Постоянный множитель можно выносить за знак определенного интеграла:

  R.

5.         Определенный интеграл от алгебраической суммы конечного числа интегрируемых на [a; b] функций f₁(x), f₂(x), …, f_n(x) равен алгебраической сумме определенных интегралов от слагаемых:

6          (аддитивность определенного интеграла). Если существует интегралы  и   то существует также интеграл   и для любых чисел a, b, c;

           

7.         Если f(x) ≥ 0  [a; b], то

 a < b.

8          (определенность определенного интеграла). Если интегрируемые функции f(x) и φ(x) удовлетворяют неравенству f(x) ≥ φ(x)  [a; b], то

 a >b.

9          (об оценке определенного интеграла). Если m и М – соответственно нименьшее и наибольшее значения функции f(x), непрерывной на отрезке [a; b], то

 a < b.

10        (теорема о среднем). Если функция f(x) непрерывна на отрезке [a; b], то существует такая точка  [a; b], что

т. е. определенный интеграл от переменной функции равен  произведению значения подынтегральной  функции в некоторой промежуточной  точке ξ отрезка интегрирования  [a; b] и длины b-a этого отрезка.

11.  Теорема о среднем.             

Если функция f(x) непрерывна на отрезке [a; b], то существует такая точка  [a; b], что

т. е. определенный интеграл от переменной функции равен  произведению значения подынтегральной  функции в некоторой промежуточной  точке ξ отрезка интегрирования  [a; b] и длины b-a этого отрезка. 

 

12.  Производная определенного интеграла по верхнему пределу. Формула Ньютона-Лейбница.            

До сих пор мы рассматривали  определенный интеграл с постоянными  пределами интегрирования a и b. Если оставить постоянным нижний предел интегрирования a, а верхний хизменять так, чтобы x є [a; b], то величина интеграла будет изменяться. Интеграл вида:

 x є [a; b],

называется определенным интегралом с переменным верхним пределом и является функцией верхнего предела х. Здесь для удобства переменная интегрирования обозначена буквой t, а верхний предел интегрирования – буквой х.            

Теорема. Производная определенного интеграла от непрерывной функции f(x) по его переменному верхнему пределу существует и равна подынтегральной функции, в которой вместо переменной интегрирования подставлено значение верхнего предела:

            

Формула Ньютона-Лейбница. Формула Ньютона-Лейбница дает правило вычисления определенного интеграла: значение определенного интеграла на отрезке [a; b] от непрерывной функции f(x) равно разности значений любой ее первообразной, вычисленной при x=b и x=a.

 - (9)

13.  Замена переменной и интегрирования по частям в определенном интеграле.            

Замена  переменной в определенном интеграле. Этот метод, как и в случае неопределенного интеграла, позволяет упростить вычисления, т. е. привести подынтегральное выражение к соответствующей табличной форме. Применение замены переменной в определенном интеграле базируется на следующей теореме.            

Теорема. Если функция f(x) непрерывная на отрезке [a; b], а функция x=φ(t) непрерывно дифференцируема на отрезке [t₁; t₂], причем φ([t₁; t₂])=[a; b] и φ(t₁)=a, φ(t₂)=b, то справедлива формула:

- (10)            

Интегрирование  по частям в определенном интеграле. Пусть u(x) и v(x) – дифференцируемые на отрезке [a; b] функции переменной х. Тогда d(uv)=udv+vdu. Проинтегрируем обе части последнего равенства на отрезке [a; b]:

- (11)           

 С другой стороны,  по формуле Ньютона-Лейбница

           

 Следовательно, формула  (11) принимает вид:

 - (12)           

 Формула (12) называется формулой интегрирования по частям в определенном интеграле.

15.  Вычисление площадей плоских фигур.            

Площадь криволинейной трапеции, ограниченной кривой y=f(x) [f(x) ≥ 0], прямымиx=a и x=b и отрезками [a; b] оси Ох, вычисляется по формуле:

           

 Площадь фигуры, ограниченной  кривыми y=f₁(x) и y=f₂(x)[f₁(x) ≤ f₂(x)] и прямымиx=a и x=b, находится по формуле:

           

 Если кривая задана  параметрическими уравнениями x=x(t), y=y(t), то площадь криволинейной трапеции, ограниченной этой кривой, прямыми x=a, x=b и отрезком [a; b] оси Ох, выражается формулой:

где t₁ и t₂ определяются из уравнений a=x(t₁), b=x(t₂) [y(t) ≥ 0 при t₁ ≤ t ≤ t₂].            

 Площадь криволинейного  сектора, ограниченного кривой, заданной  в полярных координатах уравнением ρ=ρ(θ) и двумя полярными радиусами θ=α, θ=β (α < β), выражается интегралом:

16.  Определение и вычисление длины кривой, дифференциал кривой.           

 Если кривая y=f(x) на отрезке [a; b]  - гладкая (т. е. производная y’=f’(x)непрерывна), то длина соответствующей дуги этой кривой находится по формуле:

           

 При параметрическом  задании кривой x=x(t), y=y(t) [x(t) и y(t) – непрерывно дифференцируемые функции] длина дуги кривой, соответствующая монотонному изменению параметра tот t₁ до t₂, вычисляется по формуле:

           

 Если гладкая кривая  задана в полярных системах  координатах уравнением ρ=ρ(θ),     α ≤ θ ≤ β, то длина дуги равна:

           

 Дифференциал  длины дуги. Длина дуги кривой определяется формулой:

где y=f(x)   [a; b]. Предположим, что в этой формуле нижний передел интегрирования остается постоянным, а верхний изменяется. Обозначим верхний предел буквой х, а переменную интегрирования буквой t. Длина дуги будет функцией верхнего предела:

Практические задания  

 

1.   Найти неопределенный интеграл, результат проверить дифференцированием:  

 

1)  .

Решение:

Проверка:

 - верно.

___________________________________________________________________________

2)  .

Решение:

Проверка:

 - верно.

__________________________________________________________________________________

3)  .

Решение:

Проверка:

 - верно.

___________________________________________________________________________

4)  .

Решение:

Проверка:

 - верно.

___________________________________________________________________________

5)  .

Решение:

Проверка:

 - верно.

___________________________________________________________________________

6)  .

Решение:

Проверка:

 - верно.

___________________________________________________________________________

7)  .

Решение:

Проверка:

 - верно.

___________________________________________________________________________

8) 

Решение:

Проверка:

 - верно.

__________________________________________________________________________________

9)  .

Решение:

Проверка:

 - верно.

___________________________________________________________________________

2.   Найти неопределенные интегралы:

1)  .

Решение:

___________________________________________________________________________

2)  .

Решение:

___________________________________________________________________________

3)  .

Решение:

___________________________________________________________________________

4)  .

Решение:

___________________________________________________________________________

5)  .

Решение:

 

___________________________________________________________________________

6)  .

Решение:

___________________________________________________________________________

7)  .

Решение:

___________________________________________________________________________

8)   .

Решение:

___________________________________________________________________________

9)  .

Решение:

___________________________________________________________________________

10)  .

Решение:

__________________________________________________________________________________

11)  .

Решение:

___________________________________________________________________________

12)  .

Решение:

___________________________________________________________________________

13)  .

Решение:

___________________________________________________________________________

14)  .

Решение:

___________________________________________________________________________

15)  .

Решение:

___________________________________________________________________________

3.   Вычислить определенный интеграл: 

 

1)  .

Решение:

___________________________________________________________________________

2)  .

Решение:

___________________________________________________________________________

3)  .

Решение:

____________________________________________________________________________

4.   Найти несобственные интегралы или доказать их расходимость:  

 

1)  .

Решение:

 - интеграл I рода.

 - сходящийся.

____________________________________________________________________________

2)  .

Решение:

 - интеграл II рода.

 - расходящийся.

____________________________________________________________________________

3)  .

Решение:

___________________________________________________________________________________