Последовательности в курсе алгебры 9-ти летней школы

Лемма 1.

Если , есть решение уравнения (1.5), а произвольное число, то последовательность , т.е. последовательность есть также решение уравнения (1.4)

Доказательство:

Так как последовательность , является решением уравнения (1.4), то если умножить почленно равенство на , то получаем: =+ следовательно последовательность является решением уравнения (1.4).

Лемма 2.

Если последовательность (), () является решением          уравнения (1.5), то и их сумма (т.е. последовательность           является решением уравнения (1.4)

Доказательство.

Из условия леммы имеем:

;

 

Сложив эти два равенства  почленно, получим:

 

Следовательно последовательность является решением уравнения (1.5).

Пусть теперь и – два непропорциональных, т.е. два таких решения уравнения (1.4), что при любом постоянном c найдётся такой номер , для которого . Такую последовательность являющуюся решением уравнения (1.4) можно представить в виде: ( (1.6), где и – некоторые постоянные. Решение (1.5) называется общим решения уравнения (1.4).

 

 

2.2. Методические рекомендации

Массовый многолетний психолого-педагогический эксперимент В.В.Давыдова, Л.В.Занкова и других психологов убедительно доказывают, что даже младшие школьники в состоянии усваивать - причем в обобщенной форме - гораздо более сложный материал, чем это представлялось ранее. Мышление школьников, несомненно, имеет еще очень большие и недостаточно используемые резервы и возможности, которые необходимо до конца вскрыть и на их основе сделать обучение более эффективным и творческим [10].

Поэтому очень важно правильно  найти способы и приемы отбора, организации, ограничения, упрощения  или усложнения научного содержания урока, то есть расчленения учебного материала на составные элементы, в своей совокупности образующие нечто целое, легко поддающееся  усвоению.

Исследованием проблемы обобщений  давно занимаются философия, педагогика, психология, уделяя ей большое значение. Так исследователи, работающие в  области психологии усвоения математических знаний, Н.А.Менчинская, В.В.Давыдов, М.Д.Брейтерман и другие подчеркивают важную роль обобщений в развитии математического мышления, но проблема реализации этих обобщений на уроках повторения, обобщения и систематизации знаний по конкретной теме, методика проведения и структура этих уроков является актуальной и требует больших исследований.

Проведение уроков повторения, обобщения  и систематизации знаний по теме «Последовательности. Арифметическая прогрессия» является целесообразным, так как они помогают учащимся углубить изучаемые понятия, связи между ними и раскрыть какие-то новые стороны этих связей и, таким образом, привести все полученные школьниками знания в систему, а также разобраться во взаимосвязи этих знаний, почувствовать необходимость их изучения. При подготовке таких уроков нужен творческий подход к выбору логических путей (индукции, дедукции или их сочетания) и методических приемов обобщений (использование наглядности, применение эвристической беседы, логических схем и т.д.).

Процессы активной познавательной деятельности зависят и от того, какими методами осуществляется весь процесс учения. Учитывая цели обобщающих уроков по теме «Последовательности. Арифметическая прогрессия», в процессе учения необходим исследовательский подход, поисковая и творческая деятельность учащихся, ведь тогда создаются предпосылки для успешных уроков повторения, обобщения и систематизации.

Рассматривая структуру уроков повторения, обобщения и систематизации знаний, по методике необходимо сказать, что здесь очень важно учитывать  сочетание методов, которые применяются  на этих уроках: применение беседы с  использованием различных средств  наглядности; приемы проблемного обучения (создать проблемную ситуацию и направить  проблемное мышление учащихся). Относительно содержания, обобщение опирается  на повторение, но не в той последовательности, как рассматривался материал при  изучении темы, а происходит некоторое  изменение порядка в целях  обобщения и более глубокого  понимания связей. Что касается активности учащихся, такие уроки требуют  активной самостоятельной мыслительной работы, поэтому вызывают большой  интерес у учащихся [13].

Уроки повторения, обобщения и систематизации знаний по теме «Последовательности. Арифметическая прогрессия» требуют четкого логического мышления, строятся на более высоком его уровне. Оно сложнее и труднее для учеников, но полезнее для их развития. Такие уроки доставляют интеллектуальное удовлетворение учащимся, так как они проверяют здесь свои способности; чувствуют, что уроки повторения, обобщения и систематизации знаний развивают их ум.

Поэтому принцип активизации познавательной деятельности учащихся с наибольшей глубиной выражается на уроках повторения, обобщения и систематизации знаний. Конечно, не все учащиеся бывают удовлетворены  этими уроками, так как не все  оказываются на том уровне развития, который требует этот урок. Поэтому  подготовка урока должна строиться  с учетом индивидуальных способностей учащихся и уровня развития их логического  мышления.

Такие уроки повышают интерес к  прогрессиям и к тому значению, какое они имеет в практической жизни. Их ценность и в воспитательном плане больше, чем у обычных  уроков. Обобщения знаний позволяют  выделить ведущие мировоззренческие  идеи урока. Через обобщения идейный, философский смысл знаний выступает  более отчетливо.

Таким образом, повторение пройденного  материала должно проходить на каждом уроке. Задача повторения заключается не только в закреплении знаний и умений, но и в пополнении, углублении и систематизации их.

Целью уроков повторения, обобщения  и систематизации знаний по теме «Последовательности. Арифметическая прогрессия» является восстановление, закрепление и систематизация накопленных учениками знаний.

Примерная структура стандартных  таких уроков имеет следующий  вид.

1.Проверка домашнего задания.

2.Ознакомление учеников с планом  повторения, записанным на доске.

- Повторение по намеченному плану.

- Постановка домашнего задания.

- В конце урока, после просмотра всех вычислений, выполненных на уроке, повторяются определения, формулы и свойства, изученные в теме «Последовательности. Арифметическая прогрессия».

Итак, уроки повторения, обобщения  и систематизации знаний призваны подготовить  учащихся к контрольной работе по теме «Последовательности. Арифметическая прогрессия». В этом заключается их значимость в процессе обучения.

Рассмотрим один из таких уроков, который проводится с использованием дидактической игры «Восхождение на пик Знаний».

Особенностью игры является её многоцелевой характер, поскольку в ней реализуется  комплекс дидактических задач, и  постоянно присутствует дух соревнования - ведь никому не хочется в глазах одноклассников оказаться несостоятельным  и показать им своё незнание или  неумение. Организуя подобные уроки, учителю необходимо стремиться полнее учитывать возрастные особенности  школьников и, в частности, удовлетворять  их естественную тягу к играм и  разнообразить виды учебной деятельности, так как известно, что подростки  любят играть и занимаются этим с  большим желанием и удовольствием. Игра - это вид деятельности, которому можно придать обучающий, развивающий  и воспитывающий характер.

При проведении подобного урока  ставятся следующие задачи:

-повторить учебный материал  темы «Последовательности. Арифметическая прогрессия»;

-отработать умения решать задачи  по данной теме и показать  практическую значимость приобретённых  умений;

-прививать учащимся интерес  к решению задач, используя  при этом нестандартные формы  и методы;

-воспитывать у школьников чувства  коллективизма, личной ответственности  перед товарищами по команде  и перед общим делом;

-способствовать формированию эстетических  вкусов школьников, развивать их  творческую деятельность.

Для организации работы необходимо обеспечить следующее оборудование:

-планшет с изображением горного  пейзажа и нанесенными на него  маршрутом восхождения и пронумерованными  десятью привалами, по сторонам  которого размещено десять пронумерованных  карманов для заданий к привалам,

-два съёмных флажка: жёлтый и  синий;

-игровой кубик, на шести гранях  которого расположено шесть заданий,  получающиеся ответы к ним  представляют собой ряд чисел  от 1 до 6 .

Ребят необходимо заранее разделить  на две команды, примерно равные по силам, стараясь полнее учесть пожелания  учеников. Каждая команда выбирает себе название и капитана. Кроме  того, вместе с ребятами учитель  выбирает жюри из двух человек. На их плечи  возлагается подготовительная работа и непосредственное участие, и контроль за правильностью выполнения учебных заданий в ходе урока.

В начале урока ребятам необходимо сообщить правила игры и то, что  во время игры будет учитываться  активность каждого участника и  всей команды в целом.

Капитан команды, которому по жребию выпало начинать игру, бросает игровой  кубик (далее капитаны бросают кубик  по очереди). Команда выполняет задание, оказавшееся на верхней грани  кубика, и получает число, указывающее  номер привала, на который может  перейти команда в случае правильного  выполнения задания. Задание команда  берет из соответствующего кармана (например, на привале 3 - из кармана 3). Дождавшись вновь своей очереди, команда  имеет право на следующий бросок кубика.

Выигрывает та команда, которая  раньше другой достигает пика Знаний и устанавливает на нём свой флажок (цветные флажки в ходе игры отмечают продвижение команды по маршруту).

Привалы могут быть организованы следующим  образом.

Привал №1 - «Математические определения»

Здесь проверяют знание формулировок темы «Последовательности. Арифметическая прогрессия». и умение красиво их произносить.

Привал №2 - «Составь формулу»

Команде вручают пакет, в котором  на плотных листах написаны обозначения  математических величин из данной темы и арифметические знаки. Используя  этот набор, ребята должны составить  формулы.

Привал №3 - «Кроссворд»

Команде выдают лист с сеткой кроссворда и вопросами, в которых зашифрованы  понятия темы и имена людей, связанных  с историей развития прогрессий.

Привал №4 - «Третий лишний»

Здесь проверяются умения учащихся составлять аналогии, выделять признаки, по которым можно судить о принадлежности данного числа к тому или иному  ряду чисел, образующему арифметическую или геометрическую прогрессию.

Привал №5 - «История прогрессий»

На этом привале у команды  отдых, умственная разрядка, снятие усталости. В тоже время ребята могут проявить свои творческие способности для  интересного представления истории  развития темы.

Привал №6 - «Капитаны, вперёд!»

На этом привале капитанам команд предоставляется возможность подтвердить  своё высокое звание. Для этого  им предлагается решить задачу достаточно высокого уровня по теме.

Привал №7 - «Математическая эстафета»

Эстафета посвящена основным формулам темы, но здесь учащиеся поочерёдно записывают пропущенные величины в  формулы, связанные в общую цепочку.

Привал №8 - «Ромашка»

Здесь ученикам предлагается решить несколько задач по теме, записанных на обратной стороне лепестков ромашки. Каждый член команды отрывает лепесток и решает задачу.

Привал № 9 - «Математическая электровикторина»

Электровикторина посвящен, основным формулам темы, но здесь учащиеся поочерёдно читают вопросы и отвечают на них.

Привал №10 - «Составьте прогрессию»

На данном привале проверяются  умения учащихся самостоятельно составлять арифметическую и геометрическую прогрессии.

После того как выявился победитель игры, ребята отдыхают. В это время  учитель может предложить учащимся отгадать несколько ребусов, в которых  зашифрованы математические понятия.

В конце урока учитель должен отметить особо активных учащихся, оценить их старания, выставляя отметки  в классный журнал и дневники.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Заключение

В данной курсовой работе рассмотрена тема «Последовательности в курсе алгебры 9-ти летней школы».

Числовые последовательности, являясь  одним из важных классов  числовых функций, начиная с глубокой древности  выступали самостоятельным объектом изучения.

Среди числовых последовательностей, в рамках нашего исследования, важное место занимают арифметическая и  геометрическая прогрессии, числа Фибоначчи, поскольку они являются предметом  изучения в школьном курсе математики.

Поэтому в работе были рассмотрены  характеристические свойства прогрессий, формулы члена и формулы суммы первых членов арифметической и геометрической прогрессий. Последовательность чисел Фибоначчи также рассматривается в школьном курсе математики, она имеет множество интересных свойств. Это свойства связанные с тождествами, выражающими зависимости между членами данной последовательности. Другим важным вопросом в изучении чисел Фибоначчи является вывод формулы n-го члена этой последовательности. Изучила этот вопрос на основе книги [4], выполнив при этом все необходимые преобразования. Числа Фибоначчи связаны также с геометрией и имеют практические применения.

Эффективность изучения числовой последовательности в школьном курсе математики зависит  от многих факторов, в частности  от учёта особенностей данной темы.

В результате проведения работы были решены все поставленные задачи, и, тем самым, достигнута основная цель.

В  работе предлагаются:

-теоретическая часть, подкрепленная  примерами с подробным решением;

-методические рекомендации к  изучению теоретического материала,  урокам решения задач, а также  к урокам повторения, обобщения,  систематизации и проверке знаний  по теме «Последовательности.  Арифметическая прогрессия», позволяющие  активизировать познавательную деятельность учеников.