Практическое применение интеграла Стилтьеса

Содержание

 

Введение

Глава I. Развитие понятия интеграла

Глава II. Интеграл Стилтьеса

2.1 Определение интеграла Стилтьеса

2.2 Интеграл Стилтьеса от непрерывной функции.

2.3 Свойства интеграла Стилтьеса

2.4 Физическая интерпретация.

2.5 Интегрирующая функция ограниченной вариации.

2.6 Существование интеграла Стилтьеса.

2.7 Геометрическая иллюстрация интеграла Стилтьеса.

Глава III. Практическое применение интеграла Стилтьеса

3.1 Примеры.

Заключение

Список литературы

 

 

 

 

 

 

 

Введение

 

Понятие интеграла Римана, известное из элементарного курса  анализа, применимо лишь к таким  функциям, которые или непрерывны или имеют "не слишком много" точек разрыва. Для измеримых  функций, которые могут быть разрывны всюду, где они определены (или  же вообще могут быть заданы на абстрактном  множестве, так что для них  понятие непрерывности просто не имеет смысла), римановская конструкция  интеграла становится непригодной. Вместе с тем для таких функций  имеются аналоги в теории измерений: это интегралы Лебега и Стилтьеса. Так как интеграл Стилтьеса охватывает более широкий класс функций, мы остановимся на рассмотрении этого  интеграла.

Выбор темы обусловлен тем, что изучению интеграла Стилтьеса  уделяется меньше внимания, чем интегралам Римана и Лебега, хотя именно идея стилтьесовского  интегрирования богаче и плодотворней предыдущих, определение интеграла  Стилтьеса шире классического и  в некотором отношении удобнее  его.

Цель работы - рассмотреть  необходимость введения понятия  интеграла Стилтьеса, дать точное, компактное, сравнительно полное изложение теории интеграла Стилтьеса.

Задачи, которые нужно  выполнить для достижения цели:

изучить литературу по теме работы;

отобрать из изученного материла необходимый;

привести примеры использования  интеграла.

Работа состоит из трёх глав. Первая посвящена развитию данного  понятия, проблеме моментов, которая  и привела к необходимости  введения нового понятия интеграла.

Во второй главе рассмотрены  основные понятия, определение самого интеграла, свойства, способы вычисления.

Третья глава посвящена  прорешиванию примеров.

 

Глава I. Развитие понятия интеграла

 

 Одной из первых проблем, решенных интегралом Стилтьеса, была проблема измерения моментов.

Представим себе, что на прямой, которую мы примем за ось  абсцисс, распределена некоторая масса, и поставим себе задачей измерить моменты этой массы (момент статический, момент инерции или же моменты  высших порядков) относительно начала координат. Если бы интересующая нас  масса  была вся сосредоточена в одной точке , то названные моменты были бы равны и т. д. Когда же массы распределены по различным точкам прямой, речь будет идти об определении приращений моментов при возрастании от определенного значения до определенного значения — приращений в интервале . Такое приращение момента мы будем обозначать через

Можно принять в качестве аксиом два свойства приращений моментов.

1°. Приращение момента  пропорционально приращению массы,  и потому приращение на интервале, составленном из конечного числа меньших интервалов, складывается из приращений на этих последних.

Таким образом, если подразделить интервал точками деления

 

 

 (1.1)

 

2°. Обозначим через  массу, распределенную в интервале . Переместим всю эту массу в одну точку интервала ближайшую к началу координат. В этой точке любая из функций и т. д. достигает нижней грани m, тех значений, которые она принимает в интервале И после перемещения в эту точку всей массы мы получим момент во всяком случае не превосходящий первоначального момента (поскольку вся масса будет теперь ближе к началу координат, чем до перемещения). Наоборот, если переместить всю массу в одну точку интервала наиболее отдалённую от начала координат, где любая из функций и т. д. достигает верхней грани , ее значений на  интервале то мы получим момент не меньший, чем первоначальный момент.

Таким образом:

 

 

Эти неравенства можно написать и в другой форме, в которой аналогия будет еще полнее. Обозначим через величину т. е. массу, распределенную на полупрямой от до включительно. (Если эта масса бесконечна, то вместо мы будем брать какое-нибудь значение , лежащее левее всех интересующих нас значений.) Так как

 

 

 

то

 

 

Теперь написанные выше неравенства  могут быть переписаны так:

 

 (1.2)

 

Далее возьмем любое подразделение интервала точками деления

 

 

 

и определим нижние и верхние  грани  значений функции на интервалах Составим суммы

 

 

 

и обозначим через  верхнюю грань первых сумм и через — нижнюю грань вторых. Если и равны между собой, то их общее значение называется интегралом Стилтьеса функции с интегрирующей функцией , взятым в пределах от a до b, что обозначается так:

 

 

 

Обратимся к приращению момента . В силу (1.2):

 

 

 

и отсюда в силу (1.1):

 

 

 

Следовательно и

 

 

 

Таким образом если , то и приращение момента равно I, иначе говоря, равно написанному выше интегралу Стилтьеса.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Глава II. Интеграл Стилтьеса

 

Определение интеграла Стилтьеса

 

Интеграл Стилтьеса — это обобщение понятия интеграла Римана. Если мера Лебега и интеграл Лебега вводились для того, чтобы расширить класс измеримых множеств и класс интегрируемых функций, то введением интеграла Стилтьеса мы решаем другую задачу. Дело в том что на интеграл

 

 

 

можно посмотреть вот с  какой стороны. При фиксированном  отрезке  интеграл — это число, которое ставится в соответствие каждой интегрируемой функции. Тем самым, интеграл Римана задает некоторую числовую функцию, определенную на множестве всех функций, интегрируемых на отрезке . Сузим класс функций и будем рассматривать непрерывные функции, определённые на отрезке . Множество всех таких функций принято обозначать символом , причем для каждой функции определяют величину называемую нормой функции f(x) в пространстве . Пусть , тогда, как мы знаем,   — интегрируема но Риману на отрезке и

 

 

 

 — линейная числовая функция, т.е. для любых   и любых  справедливо равенство

Напомним, что числовые функции, определенные на множестве, элементами которого являются функции, во избежание  путаницы, называют функционалами. Более  того, функционал I, ставящий всякой функции в соответствие число , называется линейным функционалом, если выполняются следующие свойства:

1°.  Аддитивность:

2°.  Однородность:

3°. Ограниченность: существует М > 0 такое, что для любой функции справедливо неравенство. Наименьшее из таких чисел M называется нормой линейного функционала и обозначается .

Таким образом, интеграл Римана задает линейный функционал на пространстве . С помощью интеграла Римана на пространстве можно построить много других линейных функционалов. Например, для любой фиксированной интегрируемой по Риману функции на пространстве можно задать линейный функционал

 

 

 

Заметим, что, если функция  такова, что для всякого справедливо равенство , то  можно представить в виде

 

 

Для развития теории интегрирования и для некоторых ее приложений, например, для теории вероятностей, вариационного исчисления, теоретической механики, важно иметь ответ на вопрос: любой ли линейный функционал на пространстве можно представить в таком виде, т.е. всегда ли найдется такая функция ,что

 

 

 

Легко понять, что если мы имеем дело с обычным интегралом Римана, то ответ отрицательный, так  как тогда, например, функционал,  где   — фиксированная точка отрезка   (в частности ) в таком виде представить нельзя.   Но можно расширить понятие интеграла Римана таким образом, что уже любой линейный функционал на пространстве можно будет представить в виде

 

 

 

Расширение понятия интеграла  Римана в указанном направлении  и достигается введением понятия  интеграла Стилтьеса. Для этого  нам потребуется определить новый  класс функций.

Определение. Функция называется функцией с ограниченным изменением или, что то же самое, функцией ограниченной вариации   на   отрезке ,   если   существует   вещественное  число такое, что для любого разбиения Т : выполняется неравенство

 

 

 

Величина, равная , называется полным изменением или полной вариацией функции на отрезке

Отметим следующие свойства функций с ограниченным изменением на отрезке.

1°. Сумма двух функций с ограниченным изменением есть функция с ограниченным изменением.

Действительно, пусть . Тогда для любого разбиения Т отрезка справедливо неравенство . Отсюда следует, что полное изменение функции не превосходит суммы полных изменений функций и

2°. Ограниченная монотонная функция на отрезке — функция с ограниченным изменением.

Рассмотрим только случай неубывающей функции  на отрезке Имеем

 

 

 

 

3°. Пусть и функция имеет ограниченное изменение на отрезке , тогда имеет место равенство

Возьмем любые разбиения  и отрезков [а, с] и [с, b] и положим Тогда Так как

 

 

 

то, переходя в предыдущем равенстве к супремумам по разбиениям и , получим

 

 

 

Возьмем теперь любое разбиение отрезка и добавим к нему точку . Получим разбиения отрезка и отрезка . Тогда

 

 

 

Переходя в этом неравенстве  к супремумам по всем разбиениям , получим

 

 

 

Вместе с ранее доказанным противоположный неравенством это  дает

 

 

 

4°. Каждая функция с ограниченным изменением на отрезке может быть представлена как разность двух ограниченных монотонно возрастающих функций

Положим . Тогда функция не убывает и неотрицательна на отрезке . Далее, положим При x₁ >x₂ имеем

 

 

 

так как

 

 

5°. Функция с конечным числом максимумов к минимумов на отрезке является функцией с ограниченным изменением.

Пусть отрезки , задают участки монотонности функции на отрезке . Тогда

, где  

 

Пример. Найти полное изменение функции при

Разобьем отрезок  на отрезки монотонности функции . Тогда согласно свойствам 5° и 3° будем иметь:

 

 

 

Пусть — непрерывная функция и — функция с ограниченным изменением на отрезке , и пусть - размеченное разбиение отрезка и — соответствующее ему неразмеченное разбиение.   Пусть, кроме того,

 

 

 

Тогда называется интегральной суммой Стилтьеса. Если существует предел

 

 

то функция  называется интегрируемой по функции на отрезке , а величина — интегралом Стилтьеса от функции по функции (или относительно функции в обозначается так:

 

 

 

Этот предел можно рассматривать  как предел по базе В, окончаниями которой служат множества, состоящие из размеченных разбиении с диаметром . Следовательно, предел единственен.

Докажем теперь одно достаточное  условие существования интеграла  Стилтьеса.

Теорема. 1) (достаточное условие интегрируемости) Пусть функция имеет ограниченное изменение на отрезке . Тогда для  существования  интеграла  Стилтьеса   достаточно, чтобы функция была непрерывной на .

2) Пусть функция имеет ограниченное изменение на отрезке . Тогда интеграл Стилтьеса

 

 

 

является линейным функционалом в пространстве .

 

 

Основные свойства интеграла Стилтьеса

 

1°. Если функции  дифференцируема, то имеет место равенство

 

 

 

где последний интеграл понимается как интеграл Римана

 2°. Свойство линейности:

 

 

 

 

3°. При  имеем

 

 

(свойство аддитивности).

4°. Если  интегрируемы по Риману, то имеет место следующее правило интегрирования по частям:

 

 

 

где последний интеграл понимается как интеграл Римана.

5°. Если монотонно возрастает на отрезке на этом отрезке, то

 

 

 

Приведем примеры вычислении интегралов Стилтьеса.

1. Пусть — дробная часть числа, т.е. где — целая часть числа . Найти значение интеграла  .

Имеем:

 

2. Пусть

 

 

Вычислить интеграл .

 Имеем:

 

 

 

 

Интеграл Стилтьеса  от непрерывной функции

 

Теорема 1. Если непрерывна на конечном промежутке и — неубывающая ограниченная функция, то интеграл Стилтьеса от по на промежутке существует.

Принимая во внимание неравенство и , можем написать

 

(2.1)

 

Пусть — заданное положительное число. В силу равномерной непрерывности  , на промежутке существует такое положительное число , что , если наибольшая из разностей не превышает . При этом неравенство (1) дает нам , и, следовательно при беспредельном измельчании   промежутков. Совершенно так же можно показать, что , и, следовательно, . Бесконечность промежутка интегрирования не играет существенной роли в случае интеграла Стилтьеса. Надо только выяснить, что мы понимаем под беспредельным измельчанием частичных промежутков при разбиении бесконечного промежутка на части. Рассмотрим, например, промежуток . Мы будем говорить, что для последовательности разбиений этого промежутка на конечное число частичных промежутков эти последние беспредельно измельчаются, если при любом заданном положительном наибольшая из разностей для тех промежутков , которые имеют общие точки с стремится к нулю. Если непрерывна в промежутке и строго возрастает, т.е. при , то замена переменной преобразует промежуток в конечный промежуток , причем и . Разбиения с беспредельным измельчанием частичных промежутков для сводятся к обычным разбиениям с беспредельным измельчанием частичных промежутков для конечного промежутка .