Практическое применение интеграла Стилтьеса

Если, например, непрерывна в замкнутом промежутке , a  ограничена и не убывает, то интеграл по-прежнему существует. Для того чтобы убедиться в этом, достаточно, например, ввести вместо новую переменную . Полагая мы выразим интеграл по бесконечному промежутку через интеграл по конечному промежутку ;

 

 

 

причем  непрерывна и ограничена и не убывает в промежутке .

Укажем один практически  важный случай видоизменения основной теоремы существования интеграла Стилтьеса:

Теорема 2. Если непрерывна внутри промежутка интегрирования и ограничена, а неубывающая функция непрерывна на концах промежутка, то интегрируема по

Положим, что промежутком  интегрирования является бесконечный  промежуток .Оценим слагаемые, стоящие в правой части формулы (2.1). В силу ограниченности мы имеем , где — определенное положительное число, и, следовательно, . Те слагаемые суммы (2.1), которые соответствуют промежуткам , не имеющим общих точек  дадут сумму, не большую, чем

 

 (2.2)

 

В силу предположенной непрерывности , в точках можно выбрать настолько большим, чтобы выражение (2.2) было меньше любого заданного положительного . Фиксируем таким образом и рассмотрим остальные слагаемые суммы (2.1). Соответствующие им промежутки , или целиком укладываются в , или крайние два из них могут выходить из , причем длина выходящих частей не больше , где — наибольшая из разностей для промежутков, имеющих общие точки с . При беспредельном измельчании частичных промежутков это число стремится к нулю, и, начиная с некоторого этапа подразделения, оно будет во всяком случае меньше единицы. Таким образом, все промежутки , которые мы сейчас рассматриваем, начиная с некоторого этапа подразделения, будут принадлежать промежутку на котором функция равномерно непрерывна. В силу этого для всех достаточно малых значений будем иметь , и при этом для тех слагаемых суммы (2.1), которые соответствуют промежуткам , имеющим общие точки с , мы будем иметь оценку

 

 

 

 и сумма этих слагаемых будет не больше, чем

 

 

 

 

откуда, ввиду произвольности , и следует, что , и теорема доказана.

 

Физическая интерпретация

 

Дадим физическую интерпретацию  функции  и интеграла Стилтьеса. Предположим, что на промежутке распределена материя, и пусть — масса, находящаяся на промежутке , и — масса, находящаяся в точке , если такая сосредоточенная масса существует. В противном случае полагаем . Разность дает массу, содержащуюся на промежутке . При стремлении положительного числа к нулю промежуток сжимается, и любая точка выйдет из промежутка при достаточно малом , так как левый конец не принадлежит этому промежутку. Функция является возрастающей функцией (масса — положительна), и, в силу сказанного выше, естественно подчинить функцию , характеризующую распределение масс, условию или , т. е. функция должна быть непрерывна справа во всех точках разрыва непрерывности, кроме . Не имеет смысла говорить о непрерывности на правом конце промежутка, ибо при функция не определена. Внутри промежутка сосредоточенные массы имеются в точках разрыва непрерывности , и величина сосредоточенной массы определяется разностью . Тоже и для правого конца промежутка. Общее количество материи на промежутке равно . Все сказанное годится как для конечного, так и для бесконечного промежутка. Характерным в предыдущих рассуждениях был тот факт, что мы не пользовались понятием плотности распределения. Центр тяжести распределенной материи будет определяться формулой

 

 

Эта формула годится для  конечного промежутка. В случае бесконечного промежутка интегрируемая функция перестает быть ограниченной, и надо использовать определение несобственного интеграла.

В теории вероятностей функция  выражает обычно вероятность распределения некоторой случайной величины, а именно равно вероятности того, что случайная величина принадлежит промежутку . При этом, как и выше, непрерывна справа. Понятие интеграла Стилтьеса от непрерывной функции непосредственно распространяется, как мы увидим, на тот случай, когда есть разность двух неубывающих функций: . Легко дать физическую интерпретацию в этом случае. Положим, что на промежутке распределены положительные и отрицательные заряды. При этом определяет общий положительный заряд на промежутке , а   — общий отрицательный заряд на этом промежутке.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Интегрирующая функция  ограниченной вариации

 

Если  — непрерывная функция на и — ограниченной вариации, то, пользуясь представлением в виде разности двух возрастающих функций, можем написать

 

 

 

Суммы, стоящие справа, имеют  определенный предел при беспредельном измельчании промежутков, и, следовательно, то же можно утверждать и относительно суммы, стоящей слева, т. е. непрерывная функция интегрируема по функции ограниченной вариации. Предельный переход в формуле (2.3) дает;

 

 

 

Укажем на те изменения, которые  надо внести в формулировку свойств  интеграла Стилтьеса, если  есть функция ограниченной вариации.

Мы имеем

 

 

 

Если . Предельный переход дает

 

 

 

 

Если  — ограниченной вариации, то и их линейная комбинация   есть также функция ограниченной вариации.

Рассмотрим интеграл Стилтьеса  с переменным верхним пределом для  того случая, когда  непрерывна и — ограниченной вариации:

 

 

 

Покажем, что функция  есть функция ограниченной вариации. Составим для сумму :

 

 

 

Применяя формулу (2.5), получим

 

 

 

откуда и следует наше утверждение. В тех точках, где  непрерывна, и функция непрерывна, и из неравенства

 

 

 

непосредственно вытекает, что в этих точках и  непрерывна. Докажем еще следующее утверждение: если и непрерывны на и — ограниченной вариации, то имеет место формула

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Существование интеграла  Стилтьеса

 

До сих пор мы рассматривали интеграл Стилтьеса от непрерывной функции по функции ограниченной вариации . Из формулы интегрирования по частям следует, что функция ограниченной вариации интегрируема по непрерывной функции . Ниже мы укажем некоторые простые условия, касающиеся существования интеграла Стилтьеса в других случаях. Будем предполагать, что и ограничены на конечном промежутке и — неубывающая функция. Поскольку в дальнейшем мы будем пользоваться интегралом Стилтьеса лишь в случае непрерывности , приведем указанные ниже результаты без доказательства.

I. Для существования интеграла Стилтьеса необходимо, чтобы была непрерывна во всех точках разрыва .

Если выполнено указанное  необходимое условие интегрируемости, то вопрос об интегрируемости  по сводится к вопросу об интегрируемости по непрерывной неубывающей функции . Если, например,  — функция ограниченной вариации, то, как указано выше, интегрируемость имеет место. Приведем необходимое и достаточное условие интегрируемости по .

II. Для интегрируемости по необходимо и достаточно выполнение следующего условия: при любом заданном положительном можно покрыть точки разрыва непрерывности конечным или счетным множеством промежутков (которые могут и перекрываться) так, что имеет место неравенство

 

 

 

Положим   теперь,   что  — функция  ограниченной вариации. Пусть

имеется   каноническое   разбиение   этой   функции  и какое-либо другое разбиение. Составим разность для

 

 

 

 

Мы видели выше, что

 

 

 

и, следовательно, если при  беспредельном измельчании промежутков , то и подавно , т. е. если интегрируема по , то она интегрируема и по . Совершенно аналогично, если интегрируема по , то она интегрируема и по . Но из интегрируемости по не следует интегрируемость по . Таким образом, для испытания интегрируемости по надо испытать интегрируемость по и . Если интегрируема по   и то будет существовать интеграл от по , и он будет выражаться формулой

 

.

 

III. Интегрируемость по и равносильна интегрируемости по полной вариации

Это утверждение, как и  утверждение I, доказывается просто. Значительно более сложным является доказательство утверждения II.

Геометрическая  иллюстрация интеграла Стилтьеса

 

 

Рассмотрим интеграл

 

(2.9)

 

предполагая функцию  непрерывной интеграл положительной, а - лишь монотонно возрастающей (в строгом смысле); функция может иметь и разрывы (скачки).

Система параметрических  уравнений

 

(2.10)

 

выражает некоторую кривую , вообще говоря, разрывную (рис). Если при некотором функция испытывает скачок, так что , то этим предельным значениям отвечает одно интеграл то же предельное значение , равное . Дополним кривую всеми горизонтальными отрезками, соединяющими пары точек

 и 

 

отвечающие всем скачкам  функции  (см. рис). Таким образом, составится уже непрерывная кривая . Покажем, что интеграл (2.9) представляет площадь фигуры под этой кривой, точнее, площадь фигуры, ограниченной кривой , осью и двумя крайними ординатами, отвечающими абсциссам и .

С этой целью разложим промежуток на части точками

 

 

 

и в соответствии с этим промежуток на оси - на части точками

 

 

 

Введя наименьшее и наибольшее значения и функции в -м промежутке , составим нижнюю интеграл верхнюю суммы Стилтьеса-Дарбу

 

 

 

Легко видеть теперь, что  они представляют площади фигур, составленных из входящих интеграл из выходящих прямоугольников, между  которыми содержится рассматриваемая  криволинейная фигура.

Так как при стремлении к 0 всех обе суммы стремятся к общему пределу (2.10), то отсюда следует, что наша фигура квадрируема и площадью её служит действительно интеграл (2.9).

Глава III. Практическое применение интеграла Стилтьеса

 

Примеры

 

I. Вычислить по формуле интегралы:

а)

б)

в)

Решение:

а)

б)

в)

Вычислить по формуле 

 
  (3.1)

( - точки разрыва функции и её производной )

 

интегралы:

а) где

б) где

Решение:

а) Функция  имеет скачок 1 при и скачок - 2 при ; в остальных точках . Поэтому

 

 

 

б) Скачок 1 при  и - 2 при (значение функции при не влияет на результат); в прочих точках .

Имеем:

 

 

 

Вычислить по формуле (3.1) интегралы:

 

а) б) в)

 

где

 

 

 

Решение:

Функция имеет скачки, равные 1, при и . Производная

 

 

 

Поэтому

а)

Аналогично,

б)

в)

 

II. Предположим, что вдоль отрезка оси расположены массы, как сосредоточенные в отдельных точках, так интеграл распределенные непрерывно. Не делая различия между ними, обозначим для через сумму всех масс, расположенных в промежутке ; сверх того, положим, . Очевидно, - монотонно возрастающая функция. Поставим себе задачей найти статический момент этих масс относительно начала координат.

Разобьем промежуток на части точками

 

 

 

На отрезке  при содержится, очевидно, масса . Точно так же на отрезке содержится масса . Считая массу во всех случаях сосредоточенной, например, на правом конце промежутка, получим для искомого статического момента приближенной выражение

 

 

 

При стремлении к 0 всех , в пределе придем к точному результату:

 

. (3.2)

 

Можно было бы здесь сначала  установить "элементарный" статический  момент , отвечающий отрезку оси от до , а затем "просуммировать" эти элементы.

Аналогично для момента  инерции  тех же масс относительно начал найдем формулу

 

(3.3)

 

Важно подчеркнуть, что интеграл Стилтьеса дал возможность объединить одной интегральной формулой разнородные  случаи непрерывно распределенных интеграл сосредоточенных масс!

Пусть непрерывно распределенные массы имеют линейную плотность  ; кроме них пусть в точках расположены сосредоточенные массы . Тогда, исключая эти точки, функция имеет производную

 

 

 

В каждой же точке  функция испытывает скачок, равный именно массе , в этой точке сосредоточенной.

Если теперь разложить  интеграл (3.2) по формуле (3.1), то получим

 

 

 

Всмотревшись в правую часть, легко в первом члене узнать статический момент непрерывно распределенных масс, а во втором - статический момент сосредоточенных масс. Аналогичный  результат получится для интеграла (3.3).

а) Составить выражение  и построить график его для следующего распределения масс: массы величины 1 в точках и непрерывно распределенные массы с плотностью 2 в промежутке .

Решение:

В промежутке имеем:

 

 

 

б) То же самое - для такого распределения: массы величины 2 при  и 4 и непрерывно распределенные массы с плотностью в промежутке .

Решение:

 

В промежутке имеем

 

 

 

 

 

 

Заключение

 

Интеграл, который мы рассмотрели  в данной работе, был введен Стилтьесом. Новое понятие ему было нужно  в разрабатывавшейся им теории цепных дробей; он ввел его и применил в  интересовавших его вопросах. Разработка же выпала на доли других математиков, таких, как Кёниг, А.А. Марков, А.М. Ляпунов, Г.Ф. Вороной, Рисс, Гильберт, Хеллингер.

Совершенно необозримо поле приложений различных типов интеграла  Стилтьеса. Разумеется, та исходная проблема, из которой родилось само понятие  интеграла Стилтьеса, проблема моментов, не перестала быть связанной с этим понятием. После работ Стилтьеса, Маркова, Юнга и других ученых, поток применений интеграла Стилтьеса вырос в трудно обозримый комплекс. Применения интеграла Стилтьеса в настоящее время уже настолько проникли в некоторые области математики, физики и квантовой механики, что достаточно серьезное изучение этих областей без интеграла Стилтьеса немыслимо и активно применяется в теории вероятностей, теории функций, а так же в функциональном анализе. В данной курсовой работе было приведено компактное понятие интеграла Стилтьеса, изучена соответствующая литература, проведён анализ основной проблемы интеграла Стилтьеса, а именно проблема измерения моментов, прорешаны примеры.