Предел последовательности. Теорема Штольца

^{Если  последовательности {x_n} и {у_n} сходятся к числам а и b соответственно, и если b ≠ 0, предел частного} существует, конечен и равен частному пределов.

Доказательство:

Т.к. последовательность ^{{у_n} сходится к b, то по определению сходящейся последовательности, для любого ε > 0, найдётся N(ε), такой что для всех n > N, будет выполнятся неравенство |b – y_n|< ε.}

^{Тогда положив}  , видим, что

,

откуда  следует

следовательно

.

 

 

Т.к., согласно условию ^{b ≠ 0, то из последнего неравенства следует, что для всех}

^{n > N элементы последовательности {у_n} не равны 0, значит именно с этого номера N можно определить последовательность}

^{x_n = a + α_n}

^{у_n = b + β_n, следовательно}

^{обозначим γ_n = α_пb – aβ_n, γ_n элемент бесконечно малой последовательности.}

,

а тогда из последнего равенства, следует

, откуда

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

^{Характерные примеры нахождения пределов последовательности}

 

^{Числовая  последовательность задана общим членом x_п, рассмотрим его:}

 

 

 

 

           

 

                                   при нахождении такого предела говорят, что будем раскрывать неопределённость вида .

при нахождении такого предела, говорят, что будем раскрывать неопределенность вида .

Для раскрытия неопределённости доделим числитель и знаменатель на наибольшую степень n.

Таким образом, имеет место правило:

Предел  отношения двух многочленов равен  бесконечности, если степень числителя  больше степени знаменателя, нулю, если степень числителя меньше степени  знаменателя и отношению коэффициентов  при старших членах, если степени  числителя и знаменателя равны.

Для упрощения задачи нахождения предела  последовательности, вышеуказанного вида, мы прибегаем к помощи теоремы  Штольца.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Теорема Штольца

^{Для определения  пределов неопределённых выражений  типа часто бывает полезна следующая теорема, принадлежащая Штольцу (O. Stolz).}

^{Теорема: Пусть варианта,                 причём – хотя бы начиная с некоторого места – с возрастанием n и у_n возрастает: т.е. у_п+1 > y_n. Тогда}

^{если  только существует предел справа (конечный или  даже бесконечный).}

^{Доказательство: Допустим сначала, что  этот предел равен  конечному числу  L:}

^{Тогда по любому заданному  найдется такой номер N, что для n > N будет}

^или

^.

^{Значит, какое бы n > N ни взять, все дроби}

^{лежат между этими границами. Так как знаменатели  их, ввиду возрастания  у_п вместе с номером п, положительны, то между теми же границами содержится и дробь}

^{числитель которой есть сумма всех числителей, написанных выше дробей, а знаменатель – сумма всех знаменателей. Итак, при n > N}

^{запишем тождество}

 

^откуда

^.

^{Второе  слагаемое справа, как мы видели выше, при n > N становится < .}

^{Первое  же слагаемое, ввиду  того, что, также будет < , скажем, для n > N’. Если при этом взять N’ > N, то для n > N’ очевидно}

^,

^{что и доказывает наше утверждение.}

^{Случай  бесконечного предела  приводится к выше рассмотренному. Пусть, например,}

^{Отсюда, прежде всего, вытекает, что (для достаточно больших n)}

^{следовательно, вместе с у_n и , причем варианта х_п возрастает с возрастанием номера п. В таком случае, доказанную теорему можно применить к обратному отношению :}

^{(ибо  здесь предел уже  конечен), откуда  и следует, что}

^,

^{что и требовалось  доказать.}

 

 

 

 

 

 

^{Рассмотрим  несколько примеров на применение данной теоремы}

^{1. Вычислить} 

Установим одно вспомогательное неравенство (неравенство Як. Бернулли):

если  n – натуральное число, большее единицы, и γ>1, то

(*)

Действительно, положив γ =1+λ, где λ > 0, по формуле  Бинома Ньютона будем иметь:

так как ненаписанные члены положительны, то

,

что равносильно неравенству (*).

так же и в нашей задаче, положив а = 1+λ, так что λ > 0, имеем по формуле Бинома Ньютона

.

Так как для n > 2, очевидно, , то окончательно,

При k = 1, получаем сразу

так что

Так как этот результат верен при  любом а > 1, то, взяв k > 1, можем утверждать (по крайней мере, для достаточно больших n)

так что

(а > 1).

Доказанный, таким образом, для k = 1, этот результат тем долее будет верен и

для k < 1.

Этот  результат с помощью теоремы  Штольца получается сразу

                 

^{2. Применим теорему  Штольца к доказательству следующего интересного предложения (Коши):}

^{Если  варианта а_n имеет предел (конечный или бесконечный), то тот же предел имеет и варианта}

^{(«среднее  арифметическое»  первых n значений варианты а_n).}

^{Действительно, полагая по теореме  Штольца}

^имеем:

^{Например, если мы знаем, что  , то и}

^{3. Рассмотрим теперь  варианту (считая  k – натуральным)}

^,

^{которая представляет неопределённость вида .}

^{Полагая в теореме Штольца}

^{будем иметь}

^но 

^{так что} 

^{используя следующее утверждение}

 

_,

^{Второй  множитель здесь  имеет конечный предел . Если степени многочленов равны k = l, то предел отношения многочленов равен пределу отношения коэффициентов при старших степенях многочленов.}

^{Если  k < l, то рассматриваемое отношение стремится к}

^{Если k > l, то рассматриваемое отношение стремится к}

^{в итоге мы получаем}

 

 

 

^{Заключение}

 

^{В данной работе мы рассмотрели  теорему Штольца и её применение на практике. Рассмотренные примеры показывают, что данная теорема достаточной мере облегчает процесс нахождения пределов неопределённых выражений} , помогая вычислить искомый предел, не прибегая к вспомогательным неравенствам.

 

 

 

Список  литературы

 

1. Г.М. Фихтенгольц, Курс дифференциального и интегрального исчисления, т. 1, М., 1969.
2. Б.П. Демидович, Сборник задач и упражнений по математическому анализу. М., 1977.
3. Л.Д Кудрявцев, Курс математического анализа, т. 1, М., 1988.