Приближенные числа

ПРИБЛИЖЕННЫЕ  ЧИСЛА

Кто незнаком с правилами  действий над приближенными числами, тому, вероятно, интересно будет  хотя бы вкратце с ними ознакомиться тем более, что знание этих простых приемов оказывается и практически полезным, сберегая труд и время при вычислениях.

Объясним прежде всего, что такое «приближенное число» и откуда такие числа получаются.

Данные, входящие в технические  расчеты, получаются путем измерения. Но никакое измерение не может  быть выполнено совершенно точно. Прежде всего уже самые меры, которыми пользуются для измерения, обычно заключают в себе погрешность. Изготовить сокершенно точные метровые линейки, килограммовую гирю, литровую кружку — чрезвычайно трудно, и закон допускает при их изготовлении некоторую погрешность. Например, при изготовлении метровой линейки допускается законом погрешность до 1 миллиметра; для 10-метровой землемерной цепи или ленты — до 1 сантиметра; для килограммовой гири — до 1 грамма (Помимо погрешности в гирях, закон допускает погрешность и в устройстве весов, доходящую, например, в столовых весах до 1 грамма на каждый килограмм отвешиваемого груза); для разновески в 1 грамм — до 0,01 грамма; для литровой кружки — до 5 куб. см.

Кроме того, выполнение измерения  также вводит неточности. Пусть вы измеряете какое-нибудь расстояние, например ширину улицы. Мера, метр, отложилась в ее ширине, допустим, 13 раз, и еще  остался кусочек меньше метра. Вы можете сказать, что ширина улицы 13 метров; на самом деле, однако, она  равна 13 целым метрам и еще некоторому числу десятых, сотых и т. д. долей  метра, которых вы не учли. Следовательно, результат нашего измерения можно  изобразить так:

ширина улицы = 13, ??? метра,

где вопросительные знаки  означают неизвестные нам цифры  десятых, сотых и т. д. долей.

Если бы вы пожелали измерить ширину улицы точнее, вы узнали бы, сколько  в остающемся кусочке содержится дециметров (десятых долей метра). Допустим, что дециметров содержится 8 и еще имеется некоторый остаток, меньший дециметра. Результат нового измерения, 13,8 м, будет точнее предыдущего, но и он не строго точен, потому что, кроме 8 десятых метра, в ширине улицы  заключается еще некоторое неизвестное  нам число сотых, тысячных и т. д. долей метра. Следовательно, полученный сейчас более точный результат мы можем выразить так:

13,8?? метра.

При еще более тщательном измерении вы учтете сотые доли метра (сантиметры) в откинутом остатке, но пренебрежете остатком, меньшим  сантиметра; значит, и этот результат  не будет безусловно точен. Вообще, как бы аккуратно вы ни мерили, вы никогда не можете быть твердо уверены, что далее последней полученной вами цифры не находятся еще другие, вам неизвестные.

Дело, конечно, нисколько  не меняется от того, что при измерениях остатки, большие половины единицы меры, обычно считаются за целые. Если бы при первом измерении улицы мы считали ее ширину не 33 метров, а 14,— это также был бы лишь приближенный результат. Его можно было бы выразить так:

14,??? метров,

где вопросительные знаки  означают отрицательные цифры (т. е. показывают, на сколько десятых, сотых  и т. д. долей число 14 больше истинной ширины улицы).

Итак, результат даже самого тщательного измерения не может быть рассматриваем как совершенно точный: он выражает истинную величину лишь более или менее приближенно. Такие числа называются приближенными.

Арифметика приближенных чисел не во всем сходна с арифметикой  чисел точных. Покажем это различие на примере.

Пусть требуется вычислить  площадь прямоугольного участка, длина  которого 68 м, а ширина — 42 м. Если бы числа 68 и 42 были точные, площадь участка  в точности равнялась бы

68 * 42 = 2856 кв. м.

Но числа 68 и 42 не точные, а приближенные: в длине не ровно 68 м, а немного больше или меньше, так как невероятно, чтобы метр укладывался в ней в точности 68 раз. Да и самая длина метровой линейки едва ли в точности была равна 1 м. Мы можем, согласно предыдущему, выразить длину участка в метрах так:

68,?

Подобным же образом и  ширину участка выразим через

42,?

Проделаем теперь умножение  приближенных чисел:

68,? X 42,?

Выполнение действия видно  из следующей схемы:

	Х	6	8	,	?
		4	2	,	?
			?	?	?
	1	3	6	?
2	7	2	?
2	8	5	?,	?	?

Мы видим, что четвертая  цифра результата нам неизвестна: она должна получиться от сложения трех цифр (? + 6+?), из которых две неизвестны. Недостоверна также и третья цифра  результата: мы записали 5, но ведь от сложения столбца ? + 6 + ? могло получиться число больше 10 и даже 20; значит, вместо 5 может оказаться и 6, и 7. Вполне надежны только первые две цифры результата (28). Поэтому, желая быть добросовестными, мы должны утверждать лишь, что искомая площадь заключает около 28 сотен кв. метров. Каковы цифры десятков и единиц в числе кв. метров, — нам неизвестно.

Итак, правильный ответ на вопрос задачи — 2800, причем ноли здесь  означают не заведомое отсутствие единиц соответствующих разрядов, а лишь отсутствие достоверных знаний о них. Иначе говоря, ноли означают здесь то же, что и вопросительные знаки в предыдущих обозначениях.

Ошибочно думать, что ответ 2856, полученный по правилам арифметики точных чисел, вернее ответа 2800.

Ничуть: ведь мы видели, что  последние две цифры результата (56) доверия не заслуживают: поручиться за них нельзя. Ответ 2800 предпочтительнее, чем 2856, потому что он не вводит в  заблуждение; он прямо утверждает, что  Достоверны лишь цифры 2 и 8 на месте  тысяч и сотен, а какие цифры  идут дальше — неизвестно. Ответ  же 2856 обманчив: он внушает неверную мысль, будто последние две цифры  столь же надежны, как и первые две.

«Нечестно писать больше цифр, чем столько, за сколько мы можем  ручаться ... Мне очень грустно  признаться, что немало таких чисел, ведущих к превратным представлениям, встречается в лучших сочинениях о паровых машинах... Когда я  учился в школе, нам сообщали, . что среднее расстояние от Земли до Солнца 95 142 357 англ. миль. Я удивляюсь, почему не было упомянуто, сколько еще футов и дюймов. Наиболее точные современные измерения позволяют лишь утверждать, что это расстояние не больше 93 и не меньше 92,5 миллионов миль», — писал по этому поводу английский математик Перри.

Итак, при выкладках с  приближенными числами надо Принимать во внимание не все цифры результата, а только некоторые. О том, какие именно цифры следует в этих случаях удерживать и какие заменять нолями, мы будем говорить особо. Остановимся сначала на том, как надо округлять числа.

 

ОКРУГЛЕНИЕ ЧИСЕЛ

1)Округление числа при выкладках состоит в том, что одну или несколько цифр на его конце заменяют нолями. Так как ноли, стоящие после запятой, не имеют значения, то их отбрасывают вовсе. Например:

числа округляют в

3734 ..................... 3730 или 3700

5,314 ................. 5,31 или 5,3

0,00731 ............... 0,0073 или 0,007.

2)Если первая из отбрасываемых при округлении цифр есть 6 или больше, то предыдущую увеличивают на единицу. Например:

числа округляют в

4867....................... 4870 или 4900

5989....................... 5990 или 6000

3,666...................... 3,67 или 3,7.

3)Так же поступают, если отбрасывается цифра 5 с последующими за нею значащими цифрами. Например:

числа округляют в

4552 .................................. 4600

38,1506 ............................. 38,2.

4)Но если отбрасывается только цифра 5, то увеличивать на единицу предшествующую цифру условились лишь тогда, когда она нечетная; четную же цифру оставлять без изменения. Например:

числа округляют в

735................................................. 740

8645............................................... 8640

37,65……………………………....... 37,6

0,0275 …………………………....... 0,028

70,5 ……………………………....... 70 (Ноль рассматривают как четную цифру).

При обработке результатов  действий над приближенными числами  руководствуются теми же правилами  округления.

ЦИФРЫ ЗНАЧАЩИЕ И  НЕЗНАЧАЩИЕ

Под значащими цифрами  в учении о приближенных вычислениях  разумеют все цифры, кроме ноля, а  также и ноль в том случае, если он стоит между другими значащими  цифрами. Так, в числах 3700 и 0,0062 все  ноли — незначащие цифры; в числах же 105 и 2006 ноли значащие. В числе 0,0708 первые два ноля — незначащие, третий же ноль — значащая цифра.

В некоторых случаях значащий ноль может находиться и в конце  числа; округляя, например, числа 2,540002, мы получаем число 2,54000, в котором  все ноли на конце — значащие, так как указывают на заведомое  отсутствие единиц в соответствующих  разрядах. Поэтому, если в условии  задачи или в таблице мы встречаем  числа 4,0 или 0,80, то должны рассматривать  их, как двузначные. Округляя число 289,9 в 290, мы также получаем на конце  значащий ноль.

СЛОЖЕНИЕ И  ВЫЧИТАНИЕ ПРИБЛИЖЕННЫХ ЧИСЕЛ

Результат сложения или вычитания  приближенных Чисел не должен оканчиваться значащими цифрами в тех разрядах, которые отсутствуют хотя в одном  из данных чисел. Если такие цифры  получились, их следует отбросить  посредством округления.

		+	3400				28,3			176,	3
			275			+	146,85		-	0,	46
			3700				108			175,	8
							283
а не 3675					а не 283,15			а не 175,84

Нетрудно понять основание  этого правила. Пусть требуется  к 3400 м прибавить 275 м. В числе 3400 мерщик, очевидно, пренебрег десятками метров; ясно, что, прибавив к этому числу 7 десятков метров и еще 5 м, мы получим  в сумме не 3675 м, а скорее всего  результат с иными цифрами  на месте десятков и единиц. Поэтому  на месте десятков и единиц мы пишем  в сумме ноли, которые в данном случае указывают, что вычислителю  неизвестно, какие именно цифры должны здесь стоять

УМНОЖЕНИЕ, ДЕЛЕНИЕ  И ВОЗВЫШЕНИЕ В СТЕПЕНЬ ПРИБЛИЖЕННЫХ ЧИСЕЛ

Результат умножения, а .также деления приближенных чисел не должен заключать больше значащих цифр, чем имеется их в более коротком данном. (Из двух чисел то «короче», которое содержит меньше значащих цифр.) Лишние цифры заменяют нолями.

Примеры:

Х		3	7			57,8 : 3,2 = 18 (а не 18,06);
	2	4	5
9	1	0	0			25 : 3,14 = 8,0 (а не 7,961).
а не 9065

При подсчете числа цифр не обращают на запятую внимания; так, 4,57 есть число трехзначное и т. п.

Число значащих цифр степени  приближенного числа не должно превышать  числа их в основании степени. Излишние цифры заменяются нолями Примеры:

1572 = 24 600 (а не 24 649); 5,81»= 196 (а не 196,122941).

 

 

 

 

 

 

 

 

Свойство множества действительных чисел.

Действительные числа  образуют совокупность элементов, обладающую следующими свойствами.

1. Свойство упорядоченности. Для любых двух чисел а и 6 определено соотношение порядка, т. е. два любых Д. ч. а и b удовлетворяют одному и только одному из следующих соотношений: а<b, а=b или а>b; при этом, если а<bи b<с, то а<с(транзитивность упорядоченности).

2.Свойство непрерывности. Для всякой системы вложенных отрезков

существует хотя бы одно число, которое принадлежит всем отрезкам данной системы. Это свойство называется также принципом вложенных  отрезков Кантора. Если длины b п- а п вложенных отрезков стремятся к нулю при  то существует единственная точка, принадлежащая всем этим отрезкам. Из перечисленных свойств Д. ч. следуют многие другие; так, из свойств I - V можно получить, что 1>0, правила действий с рациональными дробями, правила знаков при умножении и делении Д. ч., свойства абсолютной величины Д. ч., правила преобразования равенств и неравенств и т. п. Свойства I - VI полностью описывают свойства множества Д. ч. и только их, иначе говоря, если эти свойства назвать аксиомами, то окажется, что Д. ч. - совокупность элементов, удовлетворяющая аксиомам I - VI. Это означает, что аксиомы I - VI определяют множество Д. ч. с точностью до изоморфизма: если имеются две совокупности X и Y, удовлетворяющие свойствам I - VI, то всегда существует изоморфное относительно упорядоченности и операций сложения и умножения отображение X на Y, т. е. указанное отображение, обозначим его через   (здесь   является элементом, соответствующим элементу  взаимно однозначно отображает X на У так, что если

то