Приближенные числа

Отсюда следует, что множество  Д. ч. (в отличие, например, от множества  рациональных чисел) невозможно расширить  с сохранением свойств I - V, т. е. не существует множества, в котором  было бы введено соотношение порядка, операции сложения и умножения, удовлетворяющие  свойствам I - V, и которое содержало  бы подмножество, изоморфное множеству  Действительных чисел и не совпадало  бы с ним. Действительных  чисел существенно больше, чем рациональных чисел, именно рациональные числа составляют счетное подмножество множества Действительных чисел, которое само несчетно.

Как рациональные, так и  иррациональные числа обладают свойством плотности во множестве всех Д. ч.: каковы бы ни были два Действительных числа а и b, а<b, найдутся такое рациональное r, что а<r<b, и такое иррациональное x, что a<x<b.

Со свойством непрерывности  Действительные числа тесно связано  свойство их полноты, состоящее в том, что всякая фундаментальная последовательность Действительных чисел является сходящейся. Следует отметить, что множество одних только рациональных чисел уже не обладает свойством полноты: в нем существуют фундаментальные последовательности, не сходящиеся ни к какому рациональному числу.

Свойство непрерывности  множества (их полнота) связано с  их применением для измерения  тех или иных непрерывных величин, например для измерения длин геометрических отрезков: если выбрать отрезок единичной  длины, то в силу непрерывности множества  Действительных чисел  каждому отрезку  сопоставляется определенное положительное - его длина. Образно говоря, непрерывность  множества Действительных чисел  означает, что в нем нет "пустых мест". Из непрерывности множества  Действительных чисел следует, что  из всякого положительного числа  можно извлечь корень я-и степени (п- натуральное число) и что всякое положительное число имеет логарифм по любому основанию а>0,

Расширение понятия  Числа.        

важнейшее математическое понятие. Возникнув в простейшем виде ещё  в первобытном обществе, понятие  Ч. изменялось на протяжении веков, постепенно обогащаясь содержанием по мере расширения сферы человеческой деятельности и  связанного с ним расширения круга  вопросов, требовавшего количеств. описания и исследования. На первых ступенях развития понятие Ч. определялось потребностями счёта и измерения, возникавшими в непосредственной практической деятельности человека. Затем Ч. становится основным понятием математики, и дальнейшее развитие понятия Ч. определяется потребностями этой науки.         

 Понятие натурального  числа, вызванное потребностью  счёта предметов, возникло ещё  в доисторические времена. Процесс  формирования понятия натурального  Ч. протекал в общих чертах  следующим образом. На низшей  ступени первобытного общества  понятие отвлечённого Ч. отсутствовало.  Это не значит, что первобытный  человек не мог отдавать себе  отчёта о количестве предметов  конкретно данной совокупности, например о количестве людей,  участвующих в охоте, о количестве  озёр, в которых можно ловить  рыбу, и т.д. Но в сознании  первобытного человека ещё не  сформировалось то общее, что есть в объектах такого рода, как, например, «три человека», «три озера» и т.д. Анализ языков первобытных народностей показывает, что для счёта предметов различного рода употреблялись различные словесные обороты. Слово «три» в контекстах «три человека», «три лодки» передавалось различно. Конечно, такие именованные числовые ряды были очень короткими и завершались неиндивидуализированным понятием («много») о большом количестве тех или других предметов, которое тоже являлось именованным, т. е. выражалось разными словами для предметов разного рода, такими, как «толпа», «стадо», «куча» и т.д.        

 Источником возникновения  понятия отвлечённого Ч. является  примитивный счёт предметов, заключающийся  в сопоставлении предметов данной  конкретной совокупности с предметами  некоторой определённой совокупности, играющей как бы роль эталона.  У большинства народов первым  таким эталоном являются пальцы («счёт на пальцах»), что с несомненностью  подтверждается языковедческим  анализом названий первых чисел.  На этой ступени Ч. становится  отвлечённым, не зависящим от  качества считаемых объектов, но  вместе с тем выступающим во  вполне конкретном осуществлении,  связанном с природой эталонной  совокупности. Расширяющиеся потребности  счёта заставили людей употреблять  другие счётные эталоны, такие,  как, например, зарубки на палочке.  Для фиксации сравнительно больших Ч. стала использоваться новая идея — обозначение некоторого определённого Ч. (у большинства народов — десяти) новым знаком, например зарубкой на другой палочке.        

 С развитием письменности  возможности воспроизведения Ч.  значительно расширились. Сначала  Ч. стали обозначаться чёрточками  на материале, служащем для  записи (папирус, глиняные таблички  и т.д.). Затем были введены другие  знаки для больших Ч. Вавилонские  клинописные обозначения Ч., так  же, как и сохранившиеся до  наших дней «римские цифры», ясно  свидетельствуют именно об этом  пути формирования обозначений  для Ч. Шагом вперёд была индийская позиционная система счисления позволяющая записать любое натуральное Ч. при помощи десяти знаков — цифр. Т. о., параллельно с развитием письменности понятие натурального Ч. принимает всё более отвлечённую форму, всё более закрепляется отвлечённое от всякой конкретности понятие Ч., воспроизводимого в форме слов в устной речи и в форме обозначения специальными знаками в письменной.        

 Важным шагом в развитии  понятия натурального Ч. является  осознание бесконечности натурального  ряда Ч., т. е. потенциальной  возможности его безграничного  продолжения. Отчётливое представление  о бесконечности натурального  ряда отражено в памятниках  античной математики (3 в. до н. э.), в трудах Евклида и Архимеда. В «Началах» Евклида устанавливается даже безграничная продолжаемость ряда простых Ч., в книге Архимеда «Псаммит» — принципы для построения названий и обозначений для сколь угодно больших Ч., в частности бо́льших, чем «число песчинок в мире».        

 С развитием понятия  натурального Ч. как результата  счёта предметов в обиход включаются  действия над Ч. Действия сложения  и вычитания возникают сначала  как действия над самими совокупностями  в форме объединения двух совокупностей  в одну и отделения части  совокупности. Умножение, по-видимому, возникло в результате счёта  равными частями (по два, по  три и т.д.), деление — как  деление совокупности на равные  части . Лишь в многовековом опыте сложилось представление об отвлечённом характере этих действий, о независимости количественного результата действия от природы предметов, составляющих совокупности, о том, что, например, два предмета и три предмета составят пять предметов независимо от природы этих предметов. Тогда стали разрабатывать правила действий, изучать их свойства, создавать методы для решения задач, т. е. начинается развитие науки о Ч. — арифметики. В первую очередь арифметика развивается как система знаний, имеющая непосредственно прикладную направленность. Но в самом процессе развития арифметики проявляется потребность в изучении свойств Ч. как таковых, в уяснении всё более сложных закономерностей в их взаимосвязях, обусловленных наличием действий. Начинается детализация понятия натурального Ч., выделяются классы чётных и нечётных Ч., простых и составных и т.д. Изучение глубоких закономерностей в натуральном ряду Ч. продолжается и составляет раздел математики, носящий название Чисел теория.         

Натуральные Ч., кроме основной функции — характеристики количества предметов, несут ещё другую функцию  — характеристику порядка предметов, расположенных в ряд. Возникающее  в связи с этой функцией понятие  порядкового Ч. (первый, второй и т.д.) тесно переплетается с понятием количественного Ч. (один, два и т.д.). В частности, расположение в ряд считаемых предметов и последующий их пересчёт с применением порядковых Ч. является наиболее употребительным с незапамятных времён способом счёта предметов (так, если последний из пересчитываемых предметов окажется седьмым, то это и означает, что имеется семь предметов).        

 Вопрос об обосновании  понятия натурального Ч. долгое  время в науке не ставился. Понятие натурального Ч. столь привычно и просто, что не возникало потребности в его определении в терминах каких-либо более простых понятий. Лишь в середине 19 в. под влиянием развития аксиоматического метода  в математике, с одной стороны, и критического пересмотра основ математического анализа — с другой, назрела необходимость обоснования понятия количественного натурального Ч. Отчётливое определение понятия натурального Ч. на основе понятия множества (совокупности предметов) было дано в 70-х гг. 19 в. в работах Г. Кантора. Сначала он определяет понятие равномощности совокупностей. Именно, две совокупности называются равномощными, если составляющие их предметы могут быть сопоставлены по одному. Затем число предметов, составляющих данную совокупность, определяется как то общее, что имеет данная совокупность и всякая другая, равномощная ей совокупность предметов, независимо от всяких качественных особенностей этих предметов. Такое определение отражает сущность натурального Ч. как результата счёта предметов, составляющих данную совокупность. Действительно, на всех исторических уровнях счёт заключается в сопоставлении по одному считаемых предметов и предметов, составляющих «эталонную» совокупность (на ранних ступенях — пальцы рук и зарубки на палочке и т.д., на современном этапе — слова и знаки, обозначающие Ч.), Определение, данное Кантором, было отправным пунктом для обобщения понятия количеств. Ч. в направлении количественной характеристики бесконечных множеств.        

 Другое обоснование  понятия натурального Ч. базируется  на анализе отношения порядка  следования, которое, как оказывается, может быть аксиоматизировано. Построенная на этом принципе система аксиом была сформулирована Дж. Пеано.         

Следует отметить, что перенесение  понятия порядкового Ч. на бесконечные  совокупности [порядковые Трансфинитные числа и более общо́ — порядковые типы резко расходится с обобщённым понятием количественного Ч.; это обусловлено тем, что количественно одинаковые (равномощные) множества могут быть упорядочены различными способами.        

 Исторически первым  расширением понятия Ч. является  присоединение к натуральным Ч. дробных чисел. Введение в употребление дробных Ч. связано с потребностью производить измерения. Измерение какой-либо величины заключается в сравнении её с другой, качественно однородной с ней и принятой за единицу измерения. Это сравнение осуществляется посредством специфической для способа измерения операции «откладывания» единицы измерения на измеряемой величине и счёта числа таких откладываний. Так измеряется длина посредством откладывания отрезка, принятого за единицу измерения, количество жидкости — при помощи мерного сосуда и т.д. Однако не всегда единица измерения укладывается на измеряемой величине целое число раз, и этим обстоятельством, даже в самой примитивной практической деятельности, не всегда можно пренебречь. Здесь и содержится источник происхождения наиболее простых и «удобных» дробей, таких, как половина, треть, четверть и т.д. Но лишь с развитием арифметики как науки о Ч. созревает идея рассмотрения дробей с любым натуральным знаменателем и представление о дробном Ч. как о частном при делении двух натуральных Ч., из которых делимое не делится нацело на делитель (см. Дробь).         

Дальнейшие расширения понятия  Ч. обусловлены уже не непосредственными  потребностями счёта и измерения, но явились следствием развития математики.         

 Введение отрицательных  чисел было с необходимостью  вызвано развитием алгебры как  науки, дающей общие способы  решения арифметических задач,  независимо от их конкретного  содержания и исходных числовых  данных. Необходимость введения  в алгебру отрицательного Ч. возникает уже при решении задач, сводящихся к линейным уравнениям с одним неизвестным. Возможный отрицательный ответ в задачах такого рода может быть истолкован на примерах простейших направленных величин (таких, как противоположно направленные отрезки, передвижение в направлении, противоположном выбранному, имущество — долг, и т.д.). В задачах же, приводящихся к многократному применению действий сложения и вычитания, для решения без помощи отрицательного Ч. необходимо рассмотрение очень многих случаев; это может быть настолько обременительным, что теряется преимущество алгебраического решения задачи перед арифметическим. Т. о., широкое использование алгебраических методов для решения задач весьма затруднительно без пользования отрицательного Ч. В Индии ещё в 6—11 вв. отрицательные Ч. систематически применялись при решении задач и истолковывались в основном так же, как это делается в настоящее время.        

 В европейской науке  отрицательные Ч. окончательно вошли в употребление лишь со времени Р. Декарта, давшего геометрическое истолкование отрицательного Ч. как направленных отрезков. Создание Декартом аналитической геометрии, позволившее рассматривать корни уравнения как координаты точек пересечения некоторой кривой с осью абсцисс, окончательно стёрло принципиальное различие между положительными и отрицательными корнями уравнения, их истолкование оказалось по существу одинаковым.         

 Ч. целые, дробные  (положительные и отрицательные)  и нуль получили общее название  рациональных чисел. Совокупность  рациональных Ч. обладает свойством замкнутости по отношению к четырём арифметическим действиям. Это значит, что сумма, разность, произведение и частное (кроме частного при делении на нуль, которое не имеет смысла) любых двух рациональных Ч. является снова рациональным Ч. Совокупность рациональных Ч. упорядочена в отношении понятий «больше» и «меньше». Далее, совокупность рациональных Ч. обладает свойством плотности: между любыми двумя различными рациональными Ч. находится бесконечно много рациональных Ч. Это даёт возможность при помощи рациональных Ч. осуществлять измерение (например, длины отрезка в выбранной единице масштаба) с любой степенью точности. Т. о., совокупность рациональных Ч. оказывается достаточной для удовлетворения многих практических потребностей. Формальное обоснование понятий дробного и отрицательного Ч. было осуществлено в 19 в. и не представило, в отличие от обоснования натурального Ч., принципиальных затруднений.        

 Совокупность рациональных  Ч. оказалась недостаточной для  изучения непрерывно изменяющихся  переменных величин. Здесь оказалось  необходимым новое расширение  понятия Ч., заключающееся в переходе  от множества рациональных Ч.  к множеству действительных (вещественных) чисел. Этот переход состоит  в присоединении к рациональным Ч. т. н. иррациональных чисел. Ещё в Древней Греции было сделано в геометрии открытие огромной принципиальной важности: не всякие точно заданные (что само по себе является присущей геометрии идеализацией) отрезки соизмеримы, т. е. не всегда длина отрезка может быть выражена рациональным Ч., если за единицу принят другой отрезок. Классическим примером несоизмеримых отрезков является сторона квадрата и его диагональ. Факт существования несоизмеримых отрезков не явился тормозом для развития геометрии. Греками была разработана (изложенная в «Началах» Евклида) теория отношений отрезков, учитывающая возможность их несоизмеримости. Они умели сравнивать такие отношения по величине, производить над ними арифметические действия (в чисто геометрической форме), т. е. греки обращались с такими отношениями, как с Ч. Однако идея о том, что отношение длин несоизмеримых отрезков может рассматриваться как Ч., у них не была осознана до конца. Это может быть объяснено культивировавшимся в школе, к которой принадлежал Евклид, идеалистическим отрывом теоретической математики от прикладных вопросов. В работах Архимеда мы находим значительно бо́льшую близость к прикладным вопросам, в частности приближённые вычисления отношений несоизмеримых отрезков, однако и у него не появляется понятие иррационального Ч. как Ч., выражающего отношение длин несоизмеримых отрезков.