Автор работы: Пользователь скрыл имя, 07 Ноября 2013 в 12:16, реферат
Если существует конечный предел этих интегральных сумм при стремлении мелкости разбиения к нулю, не зависящей от способа разбиения линии L на n частей и выбора точек Ck , то этот предел называется криволинейным (или просто линейным) интегралом первого рода от функции f(x,y,z) по линии L, и обозначается:
Теорема существования. Если линия L имеет кусочно-гладкую параметризацию, а функция непрерывна на ней, то существует криволинейный интеграл первого рода
Глава 1. Приложения криволинейного интеграла I рода
1.1 Определение криволинейного интеграла I рода, свойства, вычисление
Пусть дана (неориентированная) линия L с концами в точках А и В и функция трех переменных , определенная в каждой точке M=M(x,y,z)L. Разобьем линию L на n (обязательно равных) частей точками А=С0,С1,С2,…,Сn-1,Сn=В. Выберем на каждой дуге Сk-1Ck произвольную точку Mk(xk,yk,zk), обозначим через ∆lk длину хорды Сk-1Ck, k=1,2,…,n, и пусть - мелкость полученного разбиения P линии L (рис.1).
Составим интегральную сумму
Если существует конечный предел этих интегральных сумм при стремлении мелкости разбиения к нулю, не зависящей от способа разбиения линии L на n частей и выбора точек Ck , то этот предел называется криволинейным (или просто линейным) интегралом первого рода от функции f(x,y,z) по линии L, и обозначается:
Теорема существования. Если линия L имеет кусочно-гладкую параметризацию, а функция непрерывна на ней, то существует криволинейный интеграл первого рода
Замечание 1. Точно так же определяется криволинейный интеграл от функции двух переменных f(x,y) по произвольной линии L, расположенной в плоскости XOY. Он обозначается, естественно,
Замечание 2. На языке запись означает следующее:
Для любого найдется такое, что для любого и всех разбиений P линии L на n точек и выбора на полученных дугах точек Mk (1<k<n) из следует
Свойства криволинейного интеграла первого рода
;
(точнее, если существуют оба интеграла в правой части, то существует и интеграл в левой части и равен сумме двух первых).
;
(точнее, если существуют
оба интеграла в правой части,
то существует и интеграл в
левой части и равен выражению,
;
(при условии, что оба интеграла существуют).
, в частности,
.
(при условии, что данный
криволинейный интеграл
.
Вычисление криволинейного интеграла первого рода
Формула для вычисления криволинейного интеграла по линии L зависит от способа задания этой линии.
, то
Понятно, что на плоскости справедлива аналогичная формула:
.
Тогда
.
1.2 Геометрические приложения криволинейного интеграла I рода
1. Длина кривой
Пусть C является гладкой, кусочно-непрерывной кривой, которая описывается вектором . Длина данной кривой выражается следующим криволинейным интегралом
.
Где - производная, а - компоненты векторной функции .
Если кривая C задана в плоскости, то ее длина выражается формулой
.
Если кривая C представляет собой график заданной явно, непрерывной и дифференцируемой функции в плоскости XOY, то длина такой кривой вычисляется по формуле
.
Наконец, если кривая C задана в полярных координатах уравнением , и функция является непрерывной и дифференцируемой в интервале , то длина кривой определяется выражением
.
Пример 1:
Найти длину кривой , при условии .
Решение:
Запишем функцию в виде или .
Рис. 2
Поскольку y ≥ 0, то мы возьмем только положительный корень в уравнении кривой. Длина кривой равна
.
Пример 2:
Вычислить длину параболы в интервале .
Решение:
Применяя формулу находим, что
Для вычисления полученного интеграла сделаем замену
.
Cледовательно, При x=0 получаем , а при x=1 – соответственно, . Тогда длина участка параболы равна
.
Сделаем еще одну замену. Положим . Если t=0, то z=0. Если , то .
В приведенном выше выражении мы использовали тригонометрическое соотношение .
В результате длина кривой равна
.
Разложим подынтегральное выражение на сумму элементарных рациональных дробей:
,
,
Следовательно, .
Решая данную систему уравнений, находим коэффициенты
.
=
=
.
2. Площадь цилиндрической
Рассмотрим на плоскости некоторую спрямляемую кривую .
Пусть на этой кривой определена непрерывная и неотрицательная функция или . Тогда график функции представляет собой некоторую кривую , лежащую на цилиндрической поверхности, для которой кривая – направляющая, а образующая перпендикулярна к плоскости .
Найдем площадь цилиндрической поверхности , которая сверху
ограничена кривой , снизу – кривой с боков – прямыми и .
Для этого применим следующий алгоритм:
Разобьем произвольным образом кривую при помощи точек на частей.
Из каждой точки дробления проведем перпендикуляры к плоскости высотой . В результате вся цилиндрическая поверхность разобьется на n полосок .
Каждую полоску заменим прямоугольником с основанием , где - длина дуги , и высотой, равной значению функции в какой-нибудь точке . Тогда площадь плоскости приближенна будет равна площади прямоугольника, то есть . Следовательно, для нахождения площади всей цилиндрической поверхности можно использовать следующую формулу:
|
Ясно, что приближенное равенство (1) будет тем точнее, чем меньше величины . Пусть . Тогда точное значение искомой площади можно получить так:
Таким образом, получаем следующее равенство:
Таким образом, криволинейный интеграл первого рода при , численно равен площади цилиндрической поверхности .
Пример 3:
Вычислить часть боковой поверхности круглого цилиндра , срезанного сверху поверхностью .
Решение. Данная задача может быть сведена к вычислению криволинейного интеграла первого рода от функции вдоль дуги кривой , расположенной в первой четверти. Из уравнения окружности находим:
Искомая боковая поверхность равна:
Пример №2:
Вычислить площадь части боковой поверхности круглого цилиндра , срезанного снизу плоскостью , а сверху – поверхностью .
Решение. Задача сводится к вычислению криволинейного интеграла от функции по окружности . Так как срезающая сверху поверхность симметрична относительно плоскостей и , то можно ограничиться вычислением интеграла только по дуге одной четвертой части окружности, расположенной в первой четверти плоскости . Получим:
1.3 Физические
приложения криволинейных
1. Масса кривой:
Пусть вдоль некоторой спрямляемой кривой распределена
Рис.4
масса с переменной линейной плотностью или , то есть величина зависит от координат материальной точки . Определим массу m всей кривой . Для этого раздробим кривую произвольным образом на n частей (элементарных дуг) . Предполагая, что на каждой элементарной дуге плотность постоянна и равна плотности в какой-нибудь из точек этой дуги (например, , где - фиксированная точка на дуге ), массу всей кривой можно приближенно вычислить по формуле:
|
где - длина элементарной дуги .
Эта формула будет тем точнее, чем мельче будет дробление кривой .
Пусть . Тогда за точное значение массы m всей кривой естественно принять предел суммы при :
Из этого вытекает, справедливость равенство:
то есть масса кривой с переменной линейной плотностью численно равна криволинейному интегралу первого рода от плотности по кривой .
Пример 5:
Вычислите массу материальной кривой , заданной уравнением , где , если линейная плотность ее в каждой точке определяется формулой .
Решение. Имеем: . Поскольку в данном случае и , то будем иметь:
Пример 6:
Вычислить массу четверти окружности
расположенной в первом квадранте, если плотность в каждой точке кривой равна квадрату ординаты этой точки, если .
Решение. Плотность
Пользуясь формулой (12) получаем следующее выражение:
2.Притяжение материальной
Как известно по закону Ньютона, материальная точка массы притягивает материальная точку массы с силой, направленной от
Рис. 5
к и численно равной , где – расстояние , а – коэффициент, зависящий от выбора основных единиц измерения. Для простоты будем считать его равным единице.
Если точка притягивается системой точек с массами , то результирующая сила, или равнодействующая, получается геометрическим сложением сил притяжения отдельными точками. В то же время проекции результирующей силы на координатные оси равны алгебраическим суммам проекций отдельных сил.
Если обозначить проекции равнодействующей на оси через и , а угол, составленный вектором с осью , через , то, очевидно,
где , как обычно, означает длину вектора .
Пусть теперь притягивающая масса распределена непрерывным образом по кривой . Для нахождения притяжения разобьем кривую на участки и, сосредоточив массу каждого участка в произвольно выбранной на нем точке , найдем приближенные значения проекций равнодействующей на оси:
Информация о работе Приложения криволинейного интеграла I рода