Автор работы: Пользователь скрыл имя, 07 Ноября 2013 в 12:16, реферат
Если существует конечный предел этих интегральных сумм при стремлении мелкости разбиения к нулю, не зависящей от способа разбиения линии L на n частей и выбора точек Ck , то этот предел называется криволинейным (или просто линейным) интегралом первого рода от функции f(x,y,z) по линии L, и обозначается:
Теорема существования. Если линия L имеет кусочно-гладкую параметризацию, а функция непрерывна на ней, то существует криволинейный интеграл первого рода
ибо в этом случае масса отдельного участка приближенно равна . Если устремить все к нулю, то в пределе получатся точные равенства, причем суммы заменятся интегралами:
здесь r означает длину вектора , а - угол, составленный им с осью .
Найдем, например, притяжение, оказываемое однородной полуокружностью (при ) на единицу массы, помещенную в ее центре.
Поместим начало
координат в центр
По соображениям симметрии , так что дело приводится к нахождению лишь проекции .
Рис.6
Но в нашем случае (радиус полуокружности) и . Поэтому
Пример 7:
Вычислить притяжение, оказываемое однородной полуокружностью (при ) на единицу массы, помещенную в центре.
Решение. Поместим начало координат в центр полуокружности и ось абсцисс проведем через ее концы. По соображениям симметрии , так что дело приводится к нахождению лишь проекции .
Но в нашем случае (радиусу полуокружности) и Поэтому
Пример 8:
Вычислить притяжение,
оказываемое бесконечной
Решение. Рассмотрим искомое притяжение как предел притяжений, оказываемого конечным отрезком названной прямой при условии, что концы удаляются в разные стороны до бесконечности. Если саму прямую принять за ось , а ось провести через заданную точку, то получим (учитывая, что в данном случае )
Аналогично, (что вытекает из соображения симметрии).
3. Центр масс и моменты инерции кривой
Пусть кусок проволоки описывается некоторой кривой C, а распределение массы вдоль кривой задано непрерывной функцией плотности . Тогда координаты центра масс кривой определяются формулами
, , ,
− так называемые моменты первого порядка.
Моменты инерции относительно осей OX, OY, OZ определяются формулами
,
.
Пример 9:
Вычислить момент итерации Ix в форме окружности с плотностью
Решение. Уравнения окружности в параметрической форме имеют вид
Момент инерции Iх относительно оси ОХ вычисляется по формуле
.
Проводя вычисления, получаем
.
Информация о работе Приложения криволинейного интеграла I рода