Применение дифференциальных уравнений к задачам демографии

Министерство образования и науки РФ ГОУ ВПО «Елабужский государственный педагогический университет»

Физико-математический факультет

Кафедра МАТЕМАТИЧЕСКОГО АНАЛИЗА,

АЛГЕБРЫ И ГЕОМЕТРИИ

Курсовая работа по математике

Применение дифференциальных уравнений к задачам демографии

Выполнил студент 823 группы

Минахметов И. Р.

Подпись:

________________________

Научный руководитель

к. п. н., доцент

Анисимова Т.И.

Оценка:

______________________

Подпись:

______________________

Елабуга 2011

Содержание

1.      ВВЕДЕНИЕ

2.      ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ

3.      ДЕМОГРАФИЯ КАК НАУКА

4.       

ЗАКЛЮЧЕНИЕ             

СПИСОК ИСПОЛЬЗОВАННОЙ ЛИТЕРАТУРЫ

ВВЕДЕНИЕ

        В приложениях математики к различным отраслям науки дифференциальные уравнения занимают важное место. Использование их – наиболее эффективное и распространенное средство решения прикладных задач естествознания и техники. Многие реальные процессы с помощью дифференциальных задач описываются просто и полно. Поэтому вполне понятно то внимание, которое уделяется вопросу составления дифференциальных уравнений.

              Демографами при исследовании своего предмета используются различные методы: сравнение, обобщение, метод выдвижения гипотез и их последующей проверки, методы индукции и дедукции, анализ и синтез, экстраполяция и моделирование. Всю совокупность методов демографии можно объединить по характеру исследований в три основные группы: статистические, социологические и математические.

В демографии объектами наблюдения являются не отдельно взятые события или люди, а однородные совокупности людей и событий, объединенные в группы по определенным правилам.  Эти совокупности называют статистическими фактами, и демография признана установить и измерить все существующие взаимосвязи между статистическими фактами.

При этом  используются методы, разработанные в статистике: методы корреляционного анализа, факторного анализа, метод средних величин, табличный метод, выборочный и индексный методы и другие.

На сегодняшний день в демографии также широко используются математические методы, направленные на измерения одних демографических характеристик по данным о других характеристиках. Это обусловлено тем, что процессы воспроизводства населения бывают связаны между собой как простыми, так и довольно сложными количественными соотношениями. Благодаря применению математических методов можно на основе фрагментарных и неутонченных данных получить довольно полное и верное мнение о действительном состоянии воспроизводства населения.

ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ

              Уравнение для определения функции называют дифференциальным, если в нем участвуют дифференциалы или производные искомой функции. Таким образом, дифференциальное уравнение описывает не только величину искомой функции, но и поведение её (прежде всего скорость изменения в том или ином направлении) в бесконечно малой окрестности рассматриваемого значения аргумента.

              Дифференциальное уравнение обычно выражает некоторый общий закон, которому починяются бесконечное множество конкретных процессов.

              Существуют два основных типа дифференциальных уравнений: обыкновенные, определяющие функции одного переменного, и в частных производных, в которые входят производные от искомой функции по нескольким переменным.

              Дифференциальное уравнение имеет нормальную форму, если оно разрешено относительно старшей производной. В противном случае форма дифференциального уравнения считается общей. К отдельному виду относятся линейные дифференциальные уравнения.

              Все решения некоторых дифференциальных уравнений могут быть найдены с помощью конечного числа простейших аналитических операций и квадратур (интегрирований). Такие уравнения называются элементарными.

              Среди дифференциальных уравнений первого порядка

M(x, y)dx+N(x,y)dy=0

важнейшим элементарным уравнением является уравнение в полных дифференциалах.

              Дифференциальные уравнения объединяют и обобщают многие идеи математического анализа, раскрывают сущность метода бесконечно малых как ва

жнейшего средства познания явлений действительности.

              Дифференциальные уравнения возникают при математической формулировке прикладных задач в дифференциальных символах.

              Составить дифференциальное уравнение – это значитнайти зависимость между аргументом, функцией и её производной (или дифференциалом).

              Составление дифференциальных уравнений является важным и вместе с тем трудным вопросом. Универсального метода, пригодного во всех случаях, указать нельзя. Необходимо приобретение опыта и определенных навыков в решение различных задач. Необходимо также знание данной прикладной дисциплины.                                           

ДЕМОГРАФИЯ КАК НАУКА

Демография относится к семейству гуманитарных наук о населении. Кроме демографии сюда входят история, социология, психология и этнография. Определим объект изучения каждой из них.

Демография занимается изучением проблем воспроизводства населения, статистическим описанием его состояния (численность населения, распределение по полу и возрасту, семейному положению и т.д.) и демографическими процессами (рождаемость, смертность, вступление в брак, перемещения), происходящими с населением.

              Демография включает в себя две составные части – наиболее фундаментальная ее часть – это собственно демографический анализ и прикладная демография, которая входит в структуру междисциплинарных исследований, ориентированных на познание экономических и социальных причин происходящих демографических процессов.

Вернемся к предмету изучения демографии – воспроизводству населения. Оно сводится к трем важнейшим формам движения населения. Это:

 естественное движение население. Оно включает в себя такие факты биографии человека как рождение, переход из одной возрастной группы в другую, вступление в брак, рождение детей или родительство, развод, вдовство  и смерть;

 механическое движение населения или миграции. Сюда включается вся совокупность перемещения человека по территории, как временных, так и постоянных переселений;

 социальное движение или социальная и профессиональная мобильность. Для демографии важно воспроизводство и замещение социальных структур, изменение таких характеристик населения как уровень образования, профессиональный состав.

              Задачи демографии

Главная задача любой науки — познание законов развития (движения) в определенной части общества и природы. Но наряду с этим у каждой науки имеются и практические задачи. Есть они и у демографии. Их три: 1) изучение тенденций и факторов демографических процессов; 2) разработка демографических прогнозов; 3) разработка мероприятий демографической политики. 
1. Выявление подлинных тенденций демографических процессов — вовсе не простая задача, как может показаться. Нужно уметь оценить достоверность статистической информации и выбрать подходящие для каждого случая показатели (или сконструировать их). Различные показатели, в зависимости от их индивидуальных свойств, могут совершенно по-разному характеризовать направление и интенсивность одного и того же процесса. К примеру, в один и тот же период времени одни показатели рождаемости могут свидетельствовать о ее снижении, в то время как другие совсем наоборот — о ее росте. Аналитику необходимо установить, что же происходит в действительности — снижается рождаемость или растет? Правильная оценка особенно важна, если, к примеру, аналитик является правительственным экспертом по вопросам демографической политики. Надо ли пояснять, что оценка аналитика в данном случае будет иметь важное практическое значение (разрабатывать ли какие-то планы по воздействию на рождаемость или направить усилия государства на решение более срочных проблем)? При этом важно иметь в виду, что демографические процессы обладают большой инерционностью, развиваются очень медленно (по человеческим меркам), счет времени в демографии зачастую правильнее вести не по годам, а по поколениям. Поэтому чрезвычайно важно вовремя увидеть, в каком направлении развиваются демографические процессы, чтобы своевременно начать разрабатывать меры демографической политики, призванные предотвратить неблагоприятное развитие. 
          Не меньшее значение имеет изучение факторов демографических процессов. Говоря о факторах, чаще всего подразумевают причины явлений и процессов. В словарях чаще всего между фактором и причиной не проводится принципиального различия. Между тем в языках разных наук употребление этих двух важнейших понятий различается. «Причина» — понятие философское, обозначающее сущность, порождающую определенное следствие. Причина действует объективно, независимо от сознания познающего субъекта, следовательно, далеко не всегда проявляет себя на поверхности явлений, зачастую трудно узнаваема. Между тем главные цели любой науки — познание подлинных причин изучаемых проблем, ибо только воздействуя на фактические причины, можно получить желаемые следствия. 
           В философских науках почти не используется понятие «фактор». Зато в статистике, с которой демография состоит в давнем родстве, напротив, предпочитают говорить о факторах, а не о причинах. Это потому, что статистика пытается установить причинно-следственные связи путем измерения корреляционных зависимостей между явлениями. При этом зачастую остается неясным, какое из взаимосвязанных явлений — причина, а какое — следствие (они все могут быть следствием причин, оставшихся вне пределов наблюдения). В отличие от философии статистика всегда имеет дело с видимыми, измеряемыми предметами (явлениями) и процессами, в которых причинно-следственные связи устанавливаются не непосредственно, а по их внешним индикаторам (показателям). 
          Такими внешними индикаторами, признаками причин (следами причин) и являются факторы (факторные признаки). Когда механизм причинно-следственной связи достаточно хорошо известен, нет необходимости говорить о факторах процесса, можно говорить непосредственно о причинах (хотя можно и ошибиться, и это часто бывает, когда за причину принимают нечто похожее на нее, отвечающее собственным представлениям о ней). О факторах в статистике говорят обычно в тех случаях, когда роль той или иной причины определена недостаточно или вообще только предполагается. Таким образом, фактор есть статистически наблюдаемое отражение причины. В отличие от причины фактор всегда наблюдаем (измеряем). В этом и состоит различие между ними. И это обстоятельство нисколько не принижает значение фактора как элемента, ступени на пути к познанию причины. 
           2. На основе изучения тенденций демографических процессов и причинно-следственных связей демографических процессов с другими общественными процессами демографы разрабатывают прогнозы будущих изменений численности и структуры населения. Эти прогнозы нужны не только самим демографам для оценки вероятного характера демографического развития. Очень немногие за пределами узкого круга демографов знают, что именно на демографические прогнозы в большой степени опирается планирование всего народного хозяйства: производства товаров и услуг, жилищного и коммунального строительства, трудовых ресурсов, подготовки кадров специалистов, школ и детских дошкольных учреждений, дорог и средств транспорта, военно-призывного контингента и проч. Демографические прогнозы охватывают фактически весь хозяйственный и военный потенциал страны. Вот поэтому в недавнем прошлом они хранились за семью печатями. Их даже не разрешалось разрабатывать без специального разрешения «органов». В немалой степени по той же причине подобные прогнозы сегодня мало кому известны за пределами очень узкого круга специалистов, хотя, думается, должны быть предметом обсуждения широкого круга общественности. 
           3. Ну и наконец, на основе познания реальных тенденций демографических процессов, на основе установления их причинно-следственных связей с другими общественными процессами, на основе демографических (а также социально-экономических, военно-политических и других) прогнозов и планов определяются цели и меры демографической и социальной политики. Следует подчеркнуть, что разработка программ демографической политики не является уделом только демографов. Разработка программ демографического развития должна носить комплексный характер, охватывать широкий круг факторов общественной жизни, учитывать многообразные и многоаспектные последствия демографических процессов. Поэтому кроме демографов в разработке мероприятий демографической политики непременно должны участвовать экономисты, финансисты, юристы, социологи, психологи, медики, специалисты по рекламе и, вероятно, еще многие другие специалисты. 
            Отсюда виден широкий круг знаний, привлекаемых к решению демографических проблем. Рамки предмета демографии, которые некоторые ученые называют «узкими», вовсе не ограничивают комплекса методов, используемых в демографии для познания закономерностей и законов демографического развития.

РОСТ НАСЕЛЕНИЯ

Непрерывный рост или убывание.

Пусть скорость прироста (или убывания) некоторой величины зависит от ее наличного количества Ρ в данный момент t. В начальный момент t=0 эта величина равна . Найти зависимость величины Ρ от времени t.

Для построения математической модели простейшего типа роста принимаем, что скорость изменения количества населения пропорциональна этому количеству. Скорость прироста выражается производной , если               - коэффициент пропорциональности, то в случае роста

        (1)

и в случае убывания

Схематически это представлено на рис. 1.

                    Рис 1.

Разделяя в уравнении (1) переменные, имеем

откуда после интегрирования находим

Начальное условие: при , поэтому

или

                                                                              (3)

              Подставляем выражение (3) в уравнение (2) и имеем закон прироста

              Для процесса убывания

Регулируемый прирост

Предположим, что количество населения Ρ увеличивается с искусственно уменьшаемой скоростью.

Будем считать, что обстоятельства, препятствующие росту количества Р, не превышают значения М. Кроме того, предположим, что скорость роста количества Ρ пропорциональна произведению Ρ и разности М - Р, Когда прирост М - Р мал, то скорость роста замедляется. По предположению

где — постоянный положительный коэффициент.

Чтобы найти Ρ как явную функцию времени, проведем  разделение переменных:

откуда после разложения левой части равенства на простейшие дроби получим

              Равенство (1) может быть представлено в виде

              Интегрируя последнее равенство, имеем

Рис 2.

или после потенцирования

              Пусть

              Тогда

откуда

              При величина так как для процесса прироста

следовательно, Очевидно, что при дробь и на основании зависимости (2)

              С целью лучшего понимания процесса преобразуем далее равенство (2). Пусть — количество населения в начальный момент

t=0. При t=0 Поэтому

              Разрешая равенство (3) относительно находим, что

              Выполнив алгебраические преобразования равенств (2) и (4), получаем

              Уравнение (5) дает зависимость роста количества населения при обстоятельствах, препятствующих ему: регулированное  размножение, возможные эпидемии и другие факторы. Оно называется логистическим уравнением. На рис.2 показан схематический  график этого закона.

Тип I — количество населения на определенную дату

              Задача 1. Население Земли в 1970 г. составляло 3 600 млн. чел., а годовой прирост населения равнялся 60 млн. чел. Найти предположительное количество населения в 2000 г.

              Решение. В задачах типа I о росте населения известно исходное количество населения и время прироста, а искомым  является конечное количество населения.

Определим коэффициент k естественного прироста:

              Тогда через t=30 лет имеем

откуда

Задача 2. Пусть скорость прироста населения прямо  пропорциональна его количеству. Найти зависимость между количеством населения А и временем t, если известно, что в некоторый момент принимаемый за начальный, количество населения равнялось и через год оно увеличилось на а %.

              Вычислить предполагаемое на этой основе:

1) количество населения СССР на 15 января 1980 г. и 15  января 2000 г., если 15 января 1970 г. оно составляло 241,7 млн. чел., а годовой прирост за 1969 г. составил 1 %;

2) население г. Москвы (без пригородов) па 15 января 2000 г., если 15 января 1970 г. оно составляло 6,942 млн. чел. Годовой прирост составил 1,25%;

3) население г. Минска (без пригородов) па 15 января 2000 г., если 15 января 1970 г. оно составляло 0,907 млн. чел. Годовой прирост за 1969 г. составил 4,2%.

Решение. Скорость изменения количества населения есть производная от количества населения по времени, т. е.

По условию задачи можно написать следующее  дифференциальное уравнение:

Разделяя переменные, получим

Интегрируя это выражение, находим