Применение математического моделирования для исследования динамических процессов

Федеральное государственное  бюджетное образовательное учреждение Высшего профессионального образования 

«Оренбургский государственный  аграрный университет»

Факультет среднего профессионального  образования

 

                                        Реферат по дисциплине «Математика»

На тему « Применение математического моделирования для исследования динамических процессов.»

 

 

 

 

 

 

                                                                                                            Выполнила:

                                                                                                            Студентка 11 ЗО группы

                                                                                                             заочного отделения

                                                                                                             Дьяконова  Д. С.

                                                                                                             Проверила:

                                                                                                             преподаватель ПЦК                     общепрофессиональных дисциплин

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Вступление.    Важнейшими проблемами образования, в  частности - математического, являются проблемы заинтересованности учащегося  в изучении того или иного материала  и возможности его эффективного усвоения.    Если степень заинтересованности определяется в первую очередь  общекультурным уровнем учащегося,  качеством и глубиной его ценностных установок (которые зависят, прежде всего, от родителей, затем - от следующих уровней окружения: товарищей, СМИ, школы) и лишь во вторую очередь -  трудностями усвоения (понимания) учебного материала,  то сама проблема "усвоения" связана с определенной методикой работы с изучаемым материалом. А именно: понять и "усвоить" некий объект  (или совокупность объектов как объект) относительно некоего множества задач (т.е. уровня понимания) это значит, свободно оперируя процессом моделирования объекта и связанных с ним других объектов, переходя от одного уровня моделей к другим, добиться, если не решения каждой из этих задач, то, хотя бы, - возможности применения известных методологических подходов  для их решения. Автор данной статьи считает процессы моделирования (а еще точнее -  динамического моделирования) основными в учебной и исследовательской работе на уроках математики и во внеурочное время на всех ступенях школьного образования.    Прежде чем перейти непосредственно к вопросу о моделировании в ходе учебного процесса я должен сделать несколько предварительных замечаний.    Оппоненты такому подходу, как правило, мотивируют свою позицию тем обстоятельством, что "любой учебный процесс уже сам по себе есть использование различных моделей - так чего же изобретать колесо?". Однако это "колесо" учебного процесса всё ещё представляет собою довольно разреженный конгломерат случайных и разрозненных математических моделей, в то время как моделирование предполагает систему  взаимно обусловленных математических моделей различного уровня и осознанное использование учащимися этой системы (осознанный переход от моделей одного уровня к моделям другого уровня - это и есть процесс моделирования!), понимание методологии моделирования.    Вот что пишет Л.М. Фридман о моделировании как содержательном элементе образования: "модельный характер изучаемых понятий ... представляет педагогическую проекцию изучаемых наук, а вся наука есть система развивающихся знаний об определенной области или стороне действительности... процесс моделирования стал одним из основных методов научного исследования, ... обладает огромной эвристической силой, позволяет свести изучение сложного к простому, неосознанное и неосязаемое к осознанному и осязаемому.... Как показывают эксперименты, явное введение в содержание образования понятий модели в научном познании существенно меняет отношение учащихся к самому учебному процессу, делает их деятельность более осмысленной и продуктивной.... Исследования показали также возможность овладения методом моделирования учащихся младшего школьного возраста". Приведем еще одно высказывание А.Н. Хинчина в связи с привычной практикой получения формальных математических знаний, игнорирующей "модельный подход": "Не менее тяжким следствием формализма математических знаний мы должны, наконец, признать почти полную мертвенность, бесполезность такого рода знаний в формировании научного мышления".    Как яркий пример того, к чему приводит пренебрежительного отношения к моделированию в учебном процессе, является печальный итог экспериментов по введению новых программ и учебников математики в 60-х - 70-х годах прошлого столетия. Напомню, что была произведена попытка внедрить в математику теоретико-множественный подход без понимания того, средствами каких математических моделей можно было этого достичь. В результате идея преподавания математики на теоретико-множественной основе была скомпрометирована, а сама школьная математика оказалась в сумеречном состоянии (были разрушены и доказательная и наглядная базы), из которого она до сих пор не вышла.

Моделирование    Так что же понимает автор под моделированием и под динамическим моделированием в частности.    Сначала остановимся на моделировании как таковом.    Анализ литературы, в которой применяется термин "модель", показывает, что этот термин употребляется в двух значениях: 1) в значении теории и 2) в значении объекта (или процесса как частного случая объекта), который этой теорией отражается. Т.е., с одной стороны, модель носит абстрагирующий по отношению к объекту характер (абстрактная модель), а с другой конкретизирующий (конкретная модель). Последовательно рассматривая основные значения термина "модель",  автор монографии "Моделирование и философия" В.А. Штофф предлагает следующее определение: "Под моделью понимается такая мысленно представляемая или материально реализованная система, которая, отображая и воспроизводя объект, способна замещать его так, что ее изучение дает нам новую информацию об этом объекте". Отвлекаясь от целевой компоненты понятия "модель" и имея в виду школьную математику, в которой "модель" могла бы быть не только средством, но и объектом изучения, дадим следующее определение модели: "Отвлекаясь (абстрагируясь) от некоторых свойств объекта, получаем абстрактную модель. Приписывая объекту дополнительные свойства (материал моделирования), получаем конкретную модель". А сами процессы отвлечения (абстрагирования) и приписывания (оснащения) назовем процессом моделирования.    Сразу же отмечу, что операции "отвлечения" (абстрагирования) и "оснащения" хорошо усваиваются уже младшими школьниками и не просто на уровне обычного понимания, а на уровне операбельного понимания, позволяющему ученику конструктивно оперировать этими понятиями в таких тонких вопросах как вопросы аксиоматики, определения вектора и способов его задания.    В качестве примера моделирования рассмотрим модели точки.    Возьмем некоторое физическое тело, в общем случае движущееся относительно некоторой системы отсчета. Остановим тело /хотя бы с помощью фотографии или мысленной фиксации/. Отвлечемся /абстрагируемся/ от размеров этого тела, для чего в качестве вспомогательного средства осуществляем мысленное стягивание тела к тому, что мы. предполагаем его центром.    Если  выбранное тело - одушевленное, получаем "воспринимающую точку". Можно рассмотреть и такие градации как: осознающая точка, волевая точка и т.д.  Если  мы отвлечемся от психических и биологических свойств воспринимающей точки, то получим "материальную точку" Отвлекаясь от всех физико-химических свойств материальной точки, за исключением ее кинематических свойств, получаем "кинематическую точку". Отвлекаясь от всех механических свойств кинематической точки /т.е. свойств описываемых с помощью понятий, связанных с движением: времени, скорости, траекторий и т.д./,получим "пространственную точку".    Получается следующий ряд: воспринимающая точка, материальная, кинематическая, пространственная. Далее идут: геометрическая (стандартная интерпретация - в виде пространственной точки, как ее конкретной модели, но возможны и иные интерпретации), синтактическая точка (она обладает лишь одним свойством - именем, отличающим ее от других). Впереди этого ряда следует добавить физическое тело или явление.    Что же дают все эти модели в плане программы ознакомления,  изучения, преобразования объекта-оригинала? Кинематическая и пространственная модели являются источником гипотез по отношению к геометрической системе, а также имеют эвристическое значение для установления функциональных зависимостей между геометрическими величинами и для поиска доказательства выдвинутых гипотез. Воспринимающая модель может быть эффективно применена в программе ознакомления: например, "разумно движущиеся точки" являются хорошей иллюстрацией различных видов точечных преобразований, оживляют обстановку, позволяя привлечь внимание учащихся, для которых математика "бесчеловечна, суха, неодушевленна", но самое главное состоит в том, что конкретизирующее моделирование таких точек позволяет в качестве моделей использовать человека /в том числе - ученика/,тем самым используя богатый детский жизненный опыт и порождая множество ассоциаций.    Для школьников 10-14 лет это выглядит следующим образом. Например, берем неподвижный кусок мела и отвлекаемся от всех его физико-химических и "бытовых" (назначение мела) свойств (перечисляются некоторые: цвет, вес, движение и т.д. -  и когда объем отвлечения становится ясен, следует продолжение), затем отвлекаемся и от его размеров, мысленно стягивая кусок мела к предполагаемому его центру. В результате этого отвлечения получается (в нашем воображении) "пространственная точка". Таким образом,  дается "определение" пространственной точки, находящееся за пределами математической системы (но - в пределах общенаучного поля, на уровне которого можно указать, что единственной свойство, которое осталось у точки - это ее месторасположение). Кусочек мела является (конкретной) моделью точки, а материалом моделирования является оснащение точки физико-химическими свойствами.    Сама же точка, в случае необходимости, может быть названа абстрактной моделью мелового кусочка. Аналогичная необходимость в абстрактном моделировании возникает, например, при изображении городов на географической карте в виде моделирующих их "точек" или кружочков. Впрочем, "точка" на карте - это, если быть точным, не сама точка, а ее конкретная модель. В результате имеем композицию двух моделирований: абстрагирующего и конкретизирующего. Поэтому изображение на карте являет пример "двухступенчатого смешанного моделирования".    Другой пример: натянем нить, отвлечемся от ее физико-химических и целевых свойств, от толщины нити и будем мысленно продолжать ее по направлениям - учитель показывает эти направления - до бесконечности, тем самым приписывая ей свойство неограниченной протяженности. Получим прямую линию (геодезическую). Третий пример (после определения направленного отрезка, его длины и направления): берем направленный отрезок и отвлекаемся от всех его свойств, за исключением тех, что связаны с длиной и направлением (например, - от концов, от принадлежности точки этому отрезку и др.). Получаем вектор. Направленный отрезок - его модель.    Используем и  синтактические модели. Например, фраза "начало вектора АВ" означает сокращение фразы "начало направленного отрезка АВ, изображающего вектор" - здесь мы оперируем с двумя синтактическими моделями.    Автор подробно осветил эти, казалось бы, совсем незначительные примеры, чтобы показать, как в самом начале изучения геометрии (или другой математической дисциплины) можно не только очень точно, глубоко,  тонко и доступно изложить собственно математический материал, но и доступным образом приобщать ученика к семантике, к научной методологии, к методологии науки. Опыт автора, относящийся еще к концу 70-х, началу 80-х годов, показывает, что дети упомянутого возраста свободно овладевают не только понятиями модели, моделирования и привыкают к ним, но и глубоко осваивают фундаментальные понятия, лежащие в основе математики. Использование моделей оживляет урок.    Из приведенных выше простейших примеров уже видно, куда можно идти дальше. Традиционно ложно понимаемые "неопределяемые понятия", сбивающие ученика с толку, формирующие у него неправильные методологические позиции. Ни о чем ему не говорят и, так называемые, основные понятия, если, конечно, отталкиваясь от последних не пойти на вполне доступном модельном уровне к аксиоматической системе построения геометрии. Уже в возрасте шестиклассника ученик вполне в состоянии приобщиться к пониманию системы, как некой "индивидуальности", взаимодействующей с другими, уже на примере точки осознавая, что любое понятие имеет определение относительно одной системы (например, общенаучной), а в другую систему (например, геометрическую) входит как неопределяемое. От понимания системы идет и понимание необходимости для каждой системы собственного словаря и собственного синтаксиса. При безмодельном подходе такое осознание, в лучшем случае, свершается у наиболее продвинутых учеников и лишь в старших классах.    Не только об определении точки может поговорить учитель (выходя на родовые и безродовые-аксиоматические определения, а также и на конструктивные, чего школьнику уже вполне достаточно), но и попросить привести примеры различных моделей. Отсюда идет многосторонний выход в другие науки: можно и понятие геодезической линии ввести и об искривленных пространствах поговорить... Динамические напряжения, лежащие в основе геометрических моделей, дают возможность разобрать взаимосвязь пространственных отношений с физическими свойствами материи, заполняющей пространство. С точки зрения динамических моделей, отрезок не из точек состоит, а из остановок и движений, а на несколько ином модельном уровне - из точек и интервалов. Отрезок же, состоящий из точек - это иная модель. Разница между этими моделями и выражается в апориях Зенона, которые, при указанном подходе, также становятся доступными для анализа учащимися. Теоретико-множественный подход, скомпрометировавший себя в школьной математике, вызван был не недоступностью его для детей, а отсутствием надлежащих моделей для его интерпретации. Динамическая модель снимает эти трудности. Например, зрительно равные интервал и отрезок (т.е. равные на уровне зрительных статичных моделей) становятся различными, если интерпретировать точку как остановку в движении. Если закон движения позволяет заходить на концы геометрической натянутой нити, то получаем отрезок. Если же нить оснащена иным законом, позволяющим приближаться к концам, и запрещающим на них заходить, то получаем интервал. Конечно, отрезок и интервал получаются из натянутой нити не только в результате абстрагирования, но и в результате оснащения законами движения по ним, но все эти операции оказываются доступными для учащимся.   Указанное выше определение вектора также снимает все существовавшие ранее логические и семантические проблемы вокруг этого понятия.    Акцентирую внимание читателя на том, что во всех отмеченных примерах и дальнейших использование процесса моделирования является явным.          

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Динамическое моделирование    Прежде чем охватить все перспективы применения моделирования в процессе школьного образования, обратимся к "динамическому" моделированию и задержимся на некоторых теоретических вопросах моделирования.    Методические исследования, позволяющие рассматривать возможность

динамизации математических объектов как одного из средств формирования активной умственной деятельности учащихся отражены в работах Л.М. Фридмана, И.М. Яглома, А.В. Василевского и других.    Под динамизацией понимается, прежде всего, процесс исследования математических объектов и их структур с помощью изменения базисных элементов или определяющих их параметров, установление функциональных связей и инвариантов.    Например, в авторской концепции А.В. Василевского лежит, в основном, функциональная сторона динамизации математических объектов.    С точки зрения автора данной работы, несмотря на новизну предлагаемого подхода и других достоинств, В.Василевский и его ученики ограничивают применение динамического подхода, рассматривая в качестве объектов динамизации лишь математические объекты (геометрические фигуры, алгебраические выражения...), и рассматривая их лишь в контексте решения задач (или классов задач). Методы динамизации ограничены необходимостью введения числовых параметров, а сам процесс оторван от процесса моделирования.    Таким образом, стоит проблема возможного расширения объектов  и

методов динамизации, а также расширение условий, при которых динамизация раскрывает все свои возможности.    В качестве объектов динамизации можно брать различные типы моделей тех или иных понятий и не только чисто геометрических, но и синтактических, например.  В качестве объектов можно использовать  высказывания и умозаключения ...    Динамизации возможна не только на стадий решения задач, но и на стадий работы над понятием, над доказательством и т.д.    Вообще говоря, проблема динамизации в математике может рассматриваться в двух аспектах: во-первых, динамизация в математике может рассматриваться как цель /при этом формулируются и решаются специальные динамические задачи, вводятся специальные термины/;    во-вторых, динамизация в математике может рассматриваться как

средство постановки новых  проблем, формулировки новых задач  на различных этапах учебной деятельности.    Таким образом, исследование по тематике динамического моделирования становится актуальным в условиях тех новых  задач, что ставятся перед учебно-воспитательной деятельностью учителя.    С  нашей точки зрения, моделирование  должно стать как элементом содержания образования, так и учебным действием  и учебным средством. (Гуреев Е.М.. "Элементы содержательной геометрии и экспериментальная работа в 5-6-х классах средней школы", "Первоначальные понятия геометрии в 5-6-х классах" /"Опыт, проблемы и перспективы дифференциации математического образования" - областная научно-практическая конференция учителей математики, Самара 1996).    Мы видим, что учащийся, решая  методом проб и ошибок уравнение  /х-2/=5,  не в состоянии произвести непрерывное, в меру быстрое перемещение пот числовой оси с необходимым задержками на отдельных на числах для проверки, являются ли они корнями уравнения. Мы видим, что учащийся либо не в состоянии приблизиться на оси к тому числу, которое окажется корнем, либо "проскочит" его. Это значит, что он не владеет методом динамического моделирования как множества чисел, так и динамическим моделированием вообще.    Итак, можно констатировать два факта: большинство учеников типичной средней школы не только не выработали умений и навыков моделирования и динамического подхода в процессе изучения математики, но и имеют весьма смутное представление о том, что это такое.    

 

   Исследования показывают:   

1. Динамическое моделирование  развивает математическую интуицию  и  само является эвристическим  приемом, выходящим за пределы  собственно математики.   

2. Надлежащий подбор динамических  моделей с учетом возрастных  особенностей учащихся позволяет  опустить возрастную планку для  целостного усвоения связанной  между собой группы понятий  (например: степень, корень, логарифм), предоставляет новые возможности  для опережающего обучения и  пропедевтики.   

3. Динамическое моделирование  развивает мышление учащихся, формирует  методологические принципы учебной  и исследовательской работы.    

4. Оно позволяет дифференцировать  обучение учащихся и интегрировать  различные темы.  

5. Позволяет безболезненно  использовать в школьном курсе  теоретико-множественный и аксиоматический  подходы, более широко использовать  точечные и иные преобразования.  

6. Расширяет возможности  составления исследовательских  программ, выявляет новые возможности  для обучения учащихся составлению  и решению задач, в том числе  - и нестандартных.  

7. Позволяет ввести в  учебный процесс математический  эксперимент (а не ту примитивную  видимость эксперимента, который  часто можно видеть в учебном  процессе), четко выделить содержательную  и логическую составляющие изучаемой  темы, осуществить многоуровневый  подход к обучению учащихся  как содержательной, так и логической  составляющих и их использованию.    8. Эффективность динамического моделирования зависит от динамического опыта ребенка в дошкольный и младший школьный периоды своей конструктивно-познавательной деятельности (ребенок, который работал в детстве с различными подвижными моделями на сознательном или бессознательном уровнях, рисовал различные конструкции, уже обладает начальными навыками динамического моделирования и очень легко входит в среду динамического моделирования в процессе учебной деятельности).

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Классификация моделей  

 Для учебного процесса, по мнению автора этой статьи, важна следующая классификация учебных моделей: абстрактная, конкретная, интерпретирующая, стандартная, слиянная, целостная, динамически полная, искусственно-аналитическая, естественно-синтетическая.    В связи с тем, что абстрактная модели соответствует множество конкретных, есть необходимость выделения одной из них в качестве стандартной модели.  Например, разжатые пальцы представляют стандартную модель числа; в качестве стандартной числовой модели уравнения "aх=b" можно положить "2·3=6". Остальные модели мысленно образуются из стандартной путем динамических операций.    Слиянность модели с оригиналом означает наличие минимального количества отвлечений или приписываний при переходе от модели к оригиналу и обратно.    Целостная модель или система моделей предполагает наиболее полное выявление всех свойств объекта-оригинала в соответствии со всеми программами ознакомления, изучения, преобразования, развития интуиции в совокупности.    Будем считать модель /систему моделей/ некоторого класса объектов (явлений, процессов), объединенных некоторым общим  понятием, динамически полной моделью /системой моделей/ относительно программы работы с этими объектами, если:   

1.  эта модель /система  моделей/ позволяет выявить условия  ее становления, а также разрушения  как референта указанного понятия  (т.е. объекта, соответствующего  понятию)  путем надлежащих ее  преобразований. Например, достаточная  степень подвижности модели трапеции  позволяет выяснить, при каких  условиях трапеция исчезает, вырождаясь  в параллелограмм или в иной  четырехугольник, а при каких  этот четырехугольник становится  трапецией. Если имеем шарнирную  "трапецию", то для выявления  указанных условий к ней нужно  добавить подвижные модели иного  вида - вместе они и составят  динамически полную модель.   

2. позволяет выявить: а)  степень свободы референта, б)  ведущие элементы/параметры/,  изменяющиеся  согласно выявленной степени  свободы независимо друг от  друга и определяющие изменение  других элементов, в) область  изменения этих ведущих элементов.   

З. Эта модель /система  моделей/ позволяет использовать столько  степеней свободы и такую часть  области изменения ведущих элементов, какие необходимы, чтобы в процессе преобразования охватить все частные  и общие свойства референтов понятия  с привлечением в случае необходимости, мысленной экстраполяций и теоретического обобщения для выполнения  заданной программы.    Различие между  целостной моделью и динамически  полной состоит в том, что целостная  модель охватывает все возможные  программы, в то время как динамическая - лишь выделенные программы.    Искусственно-аналитическая модель при первичном взаимодействии с  субъектом моделирования предстает  как возникшая от определенной компоновки своих частей (например, шарнирная  модель параллелограмма - учитель в  первую очередь знакомит учащихся с  устройством модели).     Естественно-синтетическая  модель при первичном взаимодействии с субъектом моделирования предстает  как целостный элемент, вырванный  из окружающего мира (например, физическое тело как модель точки, компьютер  в нынешние времена как модель функционального оператора).    При классификации динамик можно  ограничиться двумя: собственная динамика и несобственная. Собственная - это  динамика перемещения по объему понятия. Например, динамика параллелограмма, осуществляясь  на подвижных моделях, позволяет  получить прямоугольник, квадрат и  т.д. Несобственная - ее осуществляет наш разум, перемещаясь по элементам динамически неподвижной модели. Например, кончик карандаша перемещается по линии и останавливается, получая точку, лежащую на линии.    Остановимся на отдельных моментах динамического моделирования.