Принцип дирихле

(k = 1,2,…, n). Відомо, що

S(A) < S(A₁) + S(A₂) +…+ S(А_n).                (1)

Тоді принаймні  дві з фігур А_1, А₂, … ,А_n мають спільні внутрішні точки.

Доведення.

Скористаємось методом від  супротивного. Припустимо, що будь –  які дві фігури А_1, А₂, … ,А_n не мають спільних внутрішніх точок. Тоді

                        S(А₁ U А₂ U … U А_n) = S(A₁) + S(A₂) +…+ S(А_n)                              (2)

внаслідок властивості  адитивності площ. Проте А_k А, k = 1,2,…, n, і тому

     А₁ U А₂ U … U А_n А. Отже, S(А₁ U А₂ U … U А_n) S(A)                                     (3)

Порівнюючи (1), (2) і (3) дійдемо до суперечливої нерівності, що S(A) < S(A). Отже, наше припущення неправильне. Це означає, що принаймні дві з фігур А_1, А₂, … ,А_n мають спільні внутрішні точки.

Приклад.

Всередині квадрата зі стороною 1 міститься фігура А, площа якої більша від  . Довести, що всередині фігури є дві точки, взаємно симетричні відносно центра квадрата.

Розв’язання.

Відобразимо фігуру А відносно центра квадрата (квадрат – фігура, симетрична відносно свого центра). Площа фігури А₁ дорівнює площі фігури А. Оскільки сума площ фігур А і А₁ більша за 1, то, згідно з принципом Діріхле для площ, існує точка k, яка належить обом фігурам. Розглянемо точку k₁, симетричну точці k відносно центра квадрата. Точки k і k₁ є шуканими: обидві вони належать фігурі А і є взаємно симетричними відносно центра квадрата.

 

 

 

 

3. Узагальнений принцип Діріхле для площ.

Теорема 2.(узагальнений принцип Діріхле  для площ).

Нехай А – кадрована фігура, А_1, А₂, … ,А_n – кадровані фігури при чому А_k ⊂ А,

(k = 1,2,…, n). Припустимо, що

kS(A) < S(A₁) + S(A₂) +…+ S(А_n).                (4)

Тоді принаймні k + 1 фігура з фігур А_1, А₂, … ,А_n мають спільну внутрішню точку.

Доведення.

Припустимо, що перетин будь – яких k + 1 множини з множин А_1, А₂, … ,А_n не містить внутрішніх точок. Тоді

         S(A₁) + S(A₂) +…+ S(А_n)

kS(A)                           (5)

оскільки площа  кожної відкритої множини, яка належить  А₁ U А₂ U … U А_n, враховується в сумі, що стоїть у лівій частині нерівності (5), не більше як в k раз. Маємо суперечність з нерівністю (4). Таким чином, перетин деяких k + 1 множини з множин А_1, А₂, … ,А_n містить внутрішні точки.

Задача.

В квадраті з  площею S розташовано 100 фігур, сума площ яких більше 99 S. Доведіть, що всі ці фігури мають спільну точку.

Розв’язання.

Нехай, S₁, S₂, … , S₁₀₀ - площі даних фігур, а S₁^’, S₂^’, … , S^’₁₀₀ – площі фігур доповняючі їх до квадрата. Зрозуміло, що S_k + S_k^’ = S. За умовою задачі

S₁ + S₂ + …+ S₁₀₀

99 S, тому

S₁^’+ S₂^’+ …+ S^’₁₀₀ = (S - S₁) + (S – S₂) +…+ (S - S₁₀₀) =

= 100S – (S₁ + S₂ + …+ S₁₀₀ ) < 100 S - 99 S = S. Звідси

S₁^’+ S₂^’+ …+ S^’₁₀₀ < S.

 Таким чином сума площ доповняючих фігур менша за площу квадрата. Це означає, що вони не можуть покрити площу всього квадрата (за принципом Діріхле). Тобто, знайдеться точка, яка не буде належати жодній з фігур, що мають площі  S₁^’, S₂^’, … , S^’₁₀₀. Отже, ця точка буде належати кожній з фігур, що мають площі S₁, S₂, … , S₁₀₀.

 

Висновки

В наш час, вклад математики в розвиток фізики, інформативного моделювання,програмування та багатьох інших наук дуже великий. Але він неможливий без нових прийомів, які спираються на математичну теорію. Математика, як наука, вивчає уявні, ідеальні об'єкти та співвідношення між ними, використовуючи формальну мову. Математики формулюють нові висновки і намагаються встановити їх справедливість, виходячи з вдало вибраних аксіом і визначень.

В моїй науково - дослідницькій роботі досліджується та узагальнюється матеріал, що сприяє розвитку нестандартного мислення, розвитку творчої особистості. Адже принцип Діріхле,узагальнений принцип Діріхле, умова збігу та їх застосування до розв’язання задач з алгебри та геометрії не лише допомагає учням підготуватися до районних, обласних та всеукраїнських олімпіад з математики та математичних конкурсів, також розвиває в учнів логіку і неординарне мислення.

Незважаючи  на свою простоту, принцип Діріхле, дозволяє проводити дослідження  та узагальнення до задач, які я також проводила в моїй науково - дослідницькій роботі.

В моїй роботі є  приклади, що розв’язуються нетрадиційними та цікавими методами, які можна  застосовувати під час розв’язування олімпіадних та конкурсних задач. Робота містить детальніше дослідження застосування принципу Діріхле в геометрії, зокрема для площ. Принцип Діріхле для площ є твердженням, яке визначає наявність спільних точок в кадрованих фігурах.

Цікавим розділом в моїй роботі є умова збігу. Це унікальний метод, який дає змогу  встановити при яких умовах в двох або більше клітках буде однакова кількість кроликів (або їх не буде взагалі). Також наведені доцільні приклади зі застосуванням цього методу. Принцип Діріхле, узагальнений принцип Діріхле, умова збігу є універсальними методами, якими можна розв’язувати задачі з теорії чисел, задачі з цілочисельними решітками, ігрові задачі, розробляти виграшні стратегії до ірових задач та інші.

Моя робота може бути застосована для підготовки до олімпіад, як додаткова література, а також для загального розвитку учня. Це пов’язано з великою кількістю гарних досліджуваних прикладів, які вказують на широке використання принципу Діріхле, узагальненого принципу Діріхле та умови збігу не тільки при розв’язуванні алгебраїчних, геометричних задач, а й в інших науках. Тож маю надію що вона стане багатьом у пригоді, допоможе досягти високого рівня творчого мислення, значить стане потрібною в навчанні, роботі та в повсякденному житті.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Список  використаної літератури

1. Андреев А.А., Горелов Г.Н., Люлев А.И., Савин А.И. "Принцип Дирихле", Самара "Пифагор", 1997.
2. В.В. Прасолов. Задачи по планиметрии – М.:МЦНМО:ОАО "Московские учебники",2006 – 640с.
3. Ядренко М.Й. Принцип Діріхле та його застосування. – К.: Вища шк.., 1985. – 80с.
4. Бабинская И.Л. Задачи математических олимпиад. – м.:Наука, 1975. – 112с.
5. Лейфура В. М та ін. Математичні олімпіади школярів України 2001 – 2006. Львів: Каменяр, 2008. – 348с.