Принятие решений на основе метода анализа иерархий

ПРИНЯТИЕ РЕШЕНИЙ НА ОСНОВЕ  МЕТОДА АНАЛИЗА ИЕРАРХИЙ

 

Иерархическое представление проблемы

 

Метод анализа иерархий (МАИ) предполагает декомпозицию проблемы на все более простые составляющие части и обработку суждений лица, принимающего решение. В результате определяется относительная значимость исследуемых альтернатив для всех критериев, находящихся в иерархии. Относительная значимость выражается численно в виде векторов приоритетов. Полученные таким образом значения векторов являются оценками в шкале отношений и соответствуют так называемым жестким оценкам.

Можно выделить ряд модификаций МАИ, которые определяются характером связей между критериями и альтернативами, расположенными на самом нижнем уровне иерархии, а также методом сравнения альтернатив.

По характеру связей между критериями и альтернативами определяется два типа иерархий. К первому типу относятся такие, у которых каждый критерий, имеющий связь с альтернативами, связан со всеми рассматриваемыми альтернативами (тип иерархий с одинаковыми числом и функциональным составом альтернатив под критериями). Ко второму типу иерархий принадлежат такие, у которых каждый критерий, имеющий связь с альтернативами, связан не со всеми рассматриваемыми альтернативами (тип иерархий с различными числом и функциональным составом альтернатив под критериями).

В МАИ имеется три метода сравнения альтернатив: попарное сравнение; сравнение альтернатив относительно стандартов и сравнение альтернатив копированием.

В первой модификации метода рассмотрим иерархию с одинаковыми числом и функциональным составом альтернатив под критериями и метод попарного сравнения элементов иерархии.

Построение иерархии начинается с очерчивания проблемы исследования. Далее строится собственно иерархия, включающая цель, расположенную в ее вершине, промежуточные уровни (например, критерии) и альтернативы, формирующие самый нижний иерархический уровень. На рисунке 1 приведены варианты отображения иерархий, где Elj - элементы иерархии, Af - альтернативы. Верхний индекс у элементов указывает уровень иерархии, а нижний индекс - их порядковый номер.

Рисунок 1. Варианты отображения иерархий:

а - декомпозиция; б - синтез; в - упорядочение

 

Шкала отношений

 

Для установления относительной важности элементов иерархии используется шкала отношений (таблица 1). Данная шкала позволяет ЛПР ставить в соответствие степеням предпочтения одного сравниваемого объекта перед другим некоторые числа.

Правомочность этой шкалы доказана теоретически при сравнении со многими другими шкалами. При использовании указанной шкалы ЛПР, сравнивая два объекта в смысле достижения цели, расположенной на вышележащем уровне иерархии, должен поставить в соответствие этому сравнению число в интервале от 1 до 9 или обратное значение чисел. В тех случаях, когда трудно различить столько промежуточных градаций от абсолютного до слабого предпочтения или этого не требуется в конкретной задаче, может использоваться шкала с меньшим числом градаций. В пределе шкала имеет две оценки: 1 - объекты равнозначны; 2 - предпочтение одного объекта над другим.

 

Матрицы парных сравнений

 

После построения иерархии устанавливается метод сравнения ее элементов. Если принимается метод попарного сравнения, то строится множество матриц парных сравнений. Для этого в иерархии выделяют элементы двух типов: элементы-"родители" и элементы-"потомки". Элементы-"потомки" воздействуют на соответствующие элементы вышестоящего уровня иерархии, являющиеся по отношению к первым элементами-"родителями". Матрицы парных сравнений строятся для всех элементов-"потомков", относящихся к соответствующему элементу-"родителю". Элементами-"родителями" могут являться элементы, принадлежащие любому иерархическому уровню, кроме последнего, на котором расположены, как правило, альтернативы. Парные сравнения проводятся в терминах доминирования одного элемента над другим. Полученные суждения выражаются в целых числах с учетом девятибалльной шкалы.

 

Таблица  1. Шкала отношений

№ п/п	Степень важности	Определение	Пояснения
1	0	Объекты несравнимы	Сравнение двух объектов бессмысленно
2	1	Объекты одинаково важны	Оба объекта вносят одинаковый  вклад в достижение поставленной цели
3	3	Один немного важнее другого (слабое превосходство)	Есть некоторые основания предпочесть один объект другому, но их нельзя считать неопровержимыми
4	5	Один существенно важнее другого (сильное превосходство)	Существуют веские свидетельства того, что один из объектов более важен
5	7	Один явно важнее другого	Имеются неопровержимые основания, чтобы предпочесть один другому
6	9	Один абсолютно важнее другого	Превосходство одного из объектов столь очевидно, что не может вызвать ни малейшего сомнения
7	2, 4, 6, 8	Значения, предписываемые промежуточным суждениям	Используются, когда выбор между двумя соседними нечетными числами вызывает затруднение
8	Числа, обратные к вышеперечисленным	Если при сравнении с объектом j объект i получил один из вышеуказанных рангов важности, то j при сравнении с i полу- ти, то j при сравнении с i полу- чает обратное значение	Комментарий будет дан ниже
9	Рациональные числа	Получаются при арифметических операциях с числами данной шкалы	См. ниже обсуждение случая согласованной матрицы сравнений

Заполнение квадратных матриц парных сравнений осуществляется по следующему правилу. Если элемент Е1 доминирует над элементом Е2 , то клетка матрицы, соответствующая строке Е1 и столбцу Е2, заполняется целым числом, а клетка, соответствующая строке E2 и столбцу Е1, заполняется обратным к нему числом. Если элемент Е2 доминирует над Е1 , то целое число ставится в клетку, соответствующую строке Е2 и столбцу Е1, а дробь проставляется в клетку, соответствующую строке Е1 и столбцу Е2. Если элементы Е1 и Е2 равнопредпочтительны, то в обе позиции матрицы ставятся единицы.

Для получения каждой матрицы эксперт или ЛПР выносит n(n-1)/2 суждений (здесь п - порядок матрицы парных сравнений).

Рассмотрим в общем виде пример формирования матрицы парных сравнений.

Пусть Е1, Е2, ..., Еn - множество из п элементов (альтернатив) и v1, v2, ...vn - соответственно их веса, или интенсивности. Сравним попарно вес, или интенсивность, каждого элемента с весом, или интенсивностью, любого другого элемента множества по отношению к общему для них свойству или цели (по отношению к элементу-"родителю"). В этом случае матрица парных сравнений [Е] имеет следующий вид:

		Е1	Е2	...	En
	E1	n1/n1	n1/n2	...	n1/nn
[Е] =	Е2	n2/n1	n2/n2	...	v2/vn
	...	...	...	...	...
	Еп	vn/v1	vn/v2	...	vn/vn

Матрица парных сравнений обладает свойством обратной симметрии, т. е.

аij= 1/аji  ,     где аij = vi/vj.

При проведении попарных сравнений следует отвечать на следующие вопросы: какой из двух сравниваемых элементов важнее или имеет большее воздействие, какой более вероятен и какой предпочтительнее. При сравнении критериев обычно спрашивают, какой из критериев более важен; при сравнении альтернатив по отношению к критерию - какая из альтернатив более предпочтительна или более вероятна.

  Собственные векторы и собственные  значения матриц

Ранжирование элементов, анализируемых с использованием матрицы парных сравнений [Е], осуществляется на основании главных собственных векторов, получаемых в результате обработки матриц.

Вычисление главного собственного вектора W положительной квадратной матрицы [Е] проводится на основании равенства

EW=lmax W,      (1)

где lmax - максимальное собственное значение матрицы [E].

Для положительной квадратной матрицы [Е] правый собственный вектор W, соответствующий максимальному собственному значению lmax, с точностью до постоянного сомножителя С можно вычислить по формуле

 

,      (2)

 

где еT - единичный вектор-строка = (1,1,…,1);

e - единичный вектор-столбец =

k = 1, 2, 3, ... - показатель степени; С - константа. Вычисления собственного вектора W по выражению производятся до достижения заданной точности:

eT|W(l)-W(l+1)|<=e,      (3)

где l - номер итерации, такой, что l = 1 соответствует k= 1; l = 2, k = 2; e - допустимая погрешность. С достаточной для практики точностью можно принять e = 0,01 независимо от порядка матрицы. Умножение eTW - можно производить сложением всех элементов W.

Максимальное собственное значение вычисляется по формуле:

lmax = еT [Е] W.      (4)

 

Оценка согласованности матриц

 

Если все экспертные оценки точны, т. е. aij=wi/wj, то матрица сравнений согласованна. Под согласованностью матрицы понимается выполнение соотношений aijajk=aik и, в частности, aii=1 и aji=1/aij. Очевидно, что при согласованности матрица А имеет единичный ранг, и поэтому достаточно знать одну ее строку, чтобы вычислить все остальные элементы. Если известна, скажем, первая строка, то aij=a1j/a1i, при условии a1i≠0 для всех i (нулевой результат парного сравнения означает, что два объекта вообще несравнимы).

Кроме того, согласованность матрицы А должна удовлетворять следующим условию

,       (5)

где п - это максимальное собственное значение А, а остальные ее собственные значения равны нулю.

Поскольку А имеет единичный ранг и сумма всех собственных значений равна следу матрицы ∑aii=n.

В общем случае можно считать, что искомый набор значений (w1, ..., wn) должен удовлетворять уравнению Aw=λmaxw, где λmax - наибольшее из собственных значений А. Если матрица А неотрицательна, то согласно теореме Перрона - Фробениуса данное уравнение имеет единственное (с точностью до постоянного множителя) неотрицательное решение w. Для удобства можно нормализовать это решение, введя условие .

В теории матриц установлено, что собственные значения являются непрерывными функциями элементов. При малых возмущениях в элементах согласованной матрицы наибольшее из собственных значений будет близко к п, а все остальные будут близки к нулю. Таким образом, по решению уравнения Aw=λmaxw можно судить насколько близко к п окажется λmax. И поэтому отклонение λmax от п может является мерой согласованности матрицы А и полезности полученных результатов.

Однако матрица парных сравнений, составленная экспертами, в большинстве случаев получается несогласованной. Это связано с субъективностью суждения экспертов и особенностью сравниваемых объектов. Удачный пример несогласованности и нетранзитивности суждений приведен Саати Т.Л. Например, если сравнительная важность объекта C1 больше важности объекта C2, а сравнительная важность C2 больше важности C3, то не исключено, что объект C3 будет оценен как более важный при сравнении с C1. Такого рода примеры нередко встречаются на практике, например, в спортивных турнирах. Бывает, что команда C1 проигрывает команде C2, которая уже проиграла команде C3, а потом C1 выигрывает у C3. Таким образом, в биологических и социальных системах согласованности вообще может и не быть. Необходимо отметить, что в отличие от биологических и социальных систем в технике, где основные процессы описываются с помощью законов физики, примеров несогласованности, подобных описанному Саати Т.Л., не может быть. Поэтому одной из основных проблем составления матриц является повышение ее согласованности. Очевидно, что если использовать группы экспертов, которым поручить независимое сравнение каждой пары объектов, то это позволит повысить согласованность матриц. Однако довольно сложно организовать группу экспертов из специалистов в определенной области техники.

После того как все матрицы определены, осуществляется их проверка. Т. е. считается коэффициент согласованности. В качестве оценки согласованности используется индекс согласованности

,      (6)

где lmax – максимальное собственное число матрицы, n – размерность матрицы. На основании индекса согласованности вычисляется отношение согласованности CR

CR = ,      (7)

значение которого для согласованной матрицы не должно превышать 10%; где  - математическое ожидание индекса согласованности, вычисленное для экспериментальной выборки матриц парных сравнений, заполненных случайным образом (таблица 2).

 

Таблица 2. Случайная согласованность

Размер   матрицы	1	2	3	4	5	6	7	8	9	10
Случайная  согласованность	0	0	0.58	0.9	1.12	1.24	1.32	1.41	1.41	1.49