Принятие решений на основе метода анализа иерархий

 

Если выясняется, что матрица несогласованна, необходимо пересмотреть те данные, которые ввел эксперт ранее и скорректировать их. Таким образом, выполняется итеративная процедура корректировки данных до тех пор, пока матрица не будет согласована. После того, как все матрицы согласованы, необходимо выполнить их расчет, т. е. рассчитать вектор приоритетов критериев, вектор приоритетов альтернатив. Заключительным этапом решения задачи является выбор оптимального технического решения. 

Рассмотрим на примере выбора оптимальной альтернативы метод анализа иерархий. Допустим иерархия имеет следующий вид (рисунок 2):

Рисунок 2. Иерархия

 

Критерии задачи можно разбить на группы (технические, экономические, антропологические и т. п.). В примере критерии разбиты условно на две группы G1, G2.

Составим для каждого уровня иерархии матрицы парных сравнений:

 

 

F	G1	G2	W
G1	1	1/3	0.25
G2	3	1	0.75

 

G1	C1	C2	C3	W
C1	1	7	3	0.6491180046
C2	1/7	1	1/5	0.0719274299
C3	1/3	5	1	0.2789545655

 

G2	C4	C5	W
C4	1	1/9	0.1
C5	9	1	0.9

 

Для последнего уровня иерархии должны быть составлены матрицы парных сравнений размерностью 7. Все альтернативы необходимо сравнить по каждому критерию  в отдельности. И для каждой матрицы должен быть определен собственный вектор . Такие матрицы составляются для критериев, количественно оценить которые невозможно. Если критерии имеют количественную оценку, то процедуру парного сравнения можно заменить нормированием на 1. Допустим, что все критерии имеют количественную оценку, тогда получим следующую матрицу

 

Альтернативы	Нормированные критерии (собственные вектора)
	C1	C2	C3	C4	C5
A1	0.153	0.176	0.176	0.222	0.054
A2	0.103	0.088	0.088	0.111	0.197
A3	0.198	0.121	0.121	0.111	0.000
A4	0.101	0.176	0.176	0.222	0.269
A5	0.144	0.176	0.176	0.222	0.000
A6	0.158	0.176	0.176	0.111	0.155
A7	0.144	0.088	0.088	0.000	0.326

 

Матрицы F и G2 нет смысла проверять на согласованность, так как их порядок равен 2. Проверим согласованность суждений в матрице парных сравнений G1, которая представляет собой матрицу попарного сравнения критериев С1, С2, С3.

, где n = 3 – порядок матрицы. Отношение согласованности: < 0.1 следовательно матрица хорошо согласованна.

Результирующий вектор приоритетов альтернатив определяется следующим образом:

Подставив в это выражение вычисленные выше значения собственных векторов, получим

0.153 0.176 0.176 0.222 0.054 0.103 0.088 0.088 0.111 0.197 0.198 0.121 0.121 0.111 0.000 0.101 0.176 0.176 0.222 0.269 0.144 0.176 0.176 0.222 0.000 0.158 0.176 0.176 0.111 0.155 0.144 0.088 0.088 0.000 0.326

*

0.6491180046*0.25 0.0719274299*0.25 0.2789545655*0.25 0.1*0.75 0.9*0.75

=

0.093 0.166 0.051 0.23 0.055 0.154 0.251

 

Таким образом, получаем следующее ранжирование альтернатив:

 

	Оценка
A7	0.251
A4	0.23
A2	0.166
A6	0.154
A1	0.093
A5	0.055
A3	0.051

 

Учет мнений нескольких экспертов

Для повышения степени объективности и качества процедуры принятия решений целесообразно учитывать мнения нескольких экспертов. С этой целью проводится групповая экспертиза, причем множество экспертов может быть подразделено на несколько подмножеств в зависимости от области экспертизы, определяемой характером критериев, используемых в иерархии. Оценка весомости критериев и альтернатив с учетом данного подхода предполагает привлечение специалистов-управленцев, маркетологов, производственников, специалистов-теоретиков и т. п.

Для агрегирования мнений экспертов принимается среднегеометрическое, вычисляемое по следующему соотношению:

 

,      (8)

где агрегированная оценка элемента, принадлежащего i-й строке и j-му столбцу матрицы парных сравнений; п - число матриц парных сравнений, каждая из которых составлена одним экспертом.

Логичность критерия становится очевидной, если два равноценных эксперта указывают при сравнении объектов соответственно оценки а и 1/а, что при вычислении агрегированной оценки дает единицу и свидетельствует об эквивалентности сравниваемых объектов.

Осреднение суждений экспертов может быть осуществлено и на уровне собственных векторов матриц парных сравнений. Покажем это на следующем примере.

Пусть заданы суждения двух экспертов в виде матриц попарных сравнений [А1] и [А2]:

 

,

 

Для этих матриц собственные векторы WAj, максимальные собственные значения λmах имеют следующий вид:

для матрицы [А1]

WA1= {0,150  0,160  0,744}т;lmax = 3,121;

для матрицы [А2]

WA2= {0,223  0,127  0,650}т; lmax = 3,297;

Осреднение на уровне элементов собственных векторов дает

WA = {0,184 0,117 0,699}т.

Усредняя элементы матриц [А1] и [А2] получим матрицу [А3]

 

 

Правый собственный вектор матрицы [А3] следующий:

WA3= {0,184 0,116 0,699}т.

Сравнивая два собственных вектора WA и WA3 определенных двумя разными способами, можно убедиться в их совпадении.

В достаточно ответственных задачах при оправданных затратах на экспертизу осреднение суждений экспертов проводится с учетом их квалификации ("веса"). Для определения весовых коэффициентов экспертов целесообразно использовать иерархическую структуру критериев.

Расчет агрегированной оценки в случае привлечения п экспертов, имеющих различную значимость, осуществляется по формуле

 

,      (9)

где aakij - оценка объекта, проведенная k-м экспертом с весовым коэффициентом ; при этом a1 + a2 +...+ an = 1.

Качество получаемых решений практически полностью определяется тем, насколько хорошо удалось формализовать среду задачи принятия решений и тем, насколько предпочтения ЛПР соотносятся с действительностью. При этом математические методы получения количественных оценок на основе качественных могут гарантировать (в лучшем случае) лишь то, что в результате математических выкладок не будет потерян вложенный в качественные оценки смысл. Ошибки, неточности или просто непродуманное представление проблемы делают применение математической модели принятия решения бессмысленным.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

критерии		Размер экрана, дюйм	камера	Память, гб	дизайн	удобство	Емкость батареи, mAh	Оперативная память, мб	Процессор, гГц	Яркость экрана	Время работы. ч
телефоны		К1	К2	К3	К4	К5	К6	К7	К8	К9	К10
Apple 4	A1	3,5	5	8	8	8	1420	512	1	7	300
Htc one s	A2	4,3	8	16	7	9	1650	1024	3	8	240
Lenovo p780	A3	5	8	8	4	6	4000	1024	4,8	4	840
Nokia 720	A4	4,3	6,7	8	6	3	2000	512	2	7	520
Philips w8510	A5	4,7	8	4	3	4	3300	1024	4,8	3	950
Samsung S4 mini	A6	4,3	8	8	6	6	1900	1536	3,4	8	300
Sony L	A7	4,3	8	8	5	4	1750	1024	2	4	498
Huawei G700	A8	5	8	8	5	5	2150	2048	6,8	5	420

 

Группы:

G1- технические (К2, К3, К6, К7, К8, К10)

G2- качественные (К1, К4, К5, К9)

Матрицы парных сравнений

F	G1	G2	W
G1	1	7/4	0.636
G2	4/7	1	0.364

G1=7; G2=4

G1	К2	К3	К6	К7	К8	К10	W
К2	1	6/5	6/4	6/7	6/9	6/5	0.167
К3	5/6	1	5/4	5/7	5/9	5/5	0.139
К6	4/6	4/5	1	5/7	4/9	4/5	0.111
К7	7/6	7/5	7/4	1	7/9	7/5	0.194
К8	9/6	9/5	9/4	9/7	1	9/5	0.250
К10	5/6	5/5	5/4	5/7	5/9	1	0.139