Проектирование и исследование системы Подвески транспортного средства

;      (11)

.       (12)

 

Из выражений (11) и (12) следует:

;     (13)

.     (14)

 

; (15)

.    (16)

Выражения (13) и (14) служат для численного определения точек линеаризации нелинейных элементов системы. Далее выполняется их линеаризация по Тейлору:

 

Принимаются обозначения для коэффициентов полученных линеаризованных звеньев:

 ;      (17)

.       (18)

 

После подстановки численных  значений начальных условий (19) – (23) в точке линеаризации в уравнения (13), (14), определяются фактические значения этих коэффициентов (28), (29).

 

 

;        (19)

;        (20)

;        (21)

;        (22)

;        (23)

 

;      (24)

;       (25)

 

;   (26)

;    (27)

 

;      (28)

.      (29)

 

Уравнения (28) и (29) показывают значения коэффициентов передачи линеаризованных звеньев, которые в дальнейшем будут использованы в структурной схеме системы, реализованной в отклонениях.

Таким образом, линеаризация данной системы была произведена, далее  следует составить структурную схему с последующим получением передаточной функции системы.

 

 

 

 

 

 

3. Составление структурной схемы системы

Согласно уравнениям (1), (2), (5), (26), (27), структурная схема линеаризованной системы принимает вид, показанный на рисунке 1.

Рисунок 1. Исходная структурная  схема системы

Для нахождения передаточной функции системы относительно входного воздействия u, пренебрежем возмущающим воздействием x_e, а также объединим часть последовательных звеньев системы. Структурная схема примет вид, изображенный на рисунке 2.

Рисунок 2

После замещения внутренней обратной связи системы, с использованием соответствующих обозначений (30), (31)

;       (30)

,      (31)

структурная схема системы примет вид, показанный на рисунке 3.

Рисунок 3

Чтобы привести структурную  схему в удобную для нахождения общей передаточной функции форму, необходимо найти передаточную функцию, определяющую вход-выходное соотношение  сигналов x_a и x_a – x_r:

;      (32)

.      (33)

Разность выражений (33) и (32):

.   (34)

Частное выражений (33) и (34) и есть искомая передаточная функция:

.     (35)

Итак, структурная схема, в форме, удобной для вычислений, представлена на рисунке 4.

Рисунок 4. Структурная схема исследуемой системы, представленная в удобной для анализа форме

Далее, с пользованием рисунка 4, определяется передаточная функция системы.

 

4. Нахождение передаточной функции системы

Согласно рисунку 4,

 

;     (36)

;     (37)

.   (38)

Равенства (30), (31), (36), (37) подставляются в равенство (38), затем получается результирующая передаточная функция системы:

.     (39)

При подстановке равенств (21), (22), (28), (29) в выражение (39), определяется численное значение передаточной функции, с учетом T = 0.1,

k = 5:

,

(40)

или в форме (41):

 

.     (41)

 

 

 

 

5. Составление модели вход-состояние выход

Для получения уравнений  состояния необходимо разложить  структурную схему рисунка 1 на простейшие звенья и обозначить выход каждого  интегратора за переменную состояния. Полученная схема изображена на рисунке 5.

Рисунок 5. Структурная схема  системы, необходимая для получения  В-С-В-модели системы

Входное воздействие системы u обозначается u₁, возмущающее - u₂, соответственно. Выход системы x_a обозначается y. При анализе схемы рисунка 5, первые производные принятого вектора состояния выражаются через переменные состояния, а также через входные воздействия – система уравнений, полученная в результате, и является системой уравнений состояния исследуемой системы (42), (43).

;

;

;        (42)

;

;

.        (43)

Данные уравнения можно  записать в матричной форме (44),

;       (44)

,

при соответствующих обозначениях,

; (45)  ; (46)  , (47)

где

;      (48)

;    (49)

 

 

.      (50)

Необходимо выполнить  проверку достоверности полученной модели, для этого производится нахождение передаточной функции системы по ее уравнениям в форме вход-состояние-выход.

 

.   (51)

Таким образом, модель вход-состояние-выход  исследуемой системы составлена верно.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

6. Моделирование исходной системы

Далее необходимо произвести моделирование полученной линейной модели исследуемой системы. Ее схема набора в пакете Simulink представлена на рисунке 6, а переходная характеристика и корневая плоскость – на рисунках 7 и 8.

Рисунок 6. Схема набора исследуемой  системы в Simulink

Рисунок 7. Переходная характеристика линеаризованной модели

 

Рисунок 8. Корневая плоскость  линеаризованной модели

 

Как видно из рисунков 7 и 8, объект управления является системой, находящейся, на границе устойчивости – в режиме автоколебаний. Для устранения колебательности и достижения требуемых динамических и статических показателей системы необходимо синтезировать регулятор, об этом пойдет речь в следующем разделе.

 

 

 

 

 

 

Часть 2

1. Модальный синтез регуляторов и наблюдателей

Современная теория САУ основана на использовании метода пространства состояния. От традиционных методов  ТАУ (в частности частотного) метод  пространства состояний отличают принципиально  новые возможности. Он позволяет  решать задачи управления объектами  с несколькими входами, исследовать  фундаментальные свойства объектов управления - управляемость, наблюдаемость  и т.д., определять необходимый состав измерителей и исполнительных органов.

Среди различных направлений  теории систем, основанной на методе пространства состояний, можно выделить два, получивших наибольшее распространение в инженерной практике. Одно из них образуется методами оптимизации системы путем сведения к минимуму некоторого функционала  качества (обычно интеграла от какой-либо квадратичной формы). Другое связано с методами модального управления, т.е. методами формирования цепей обратных связей, придающих замкнутой системе заданное качество через размещение соответствующим образом полюсов системы.

 

 

 

 

 

 

 

 

2. Модальное управление по состоянию объекта

Характер переходных процессов  в системе определяется расположением  корней ее характеристического уравнения. Решение однородного дифференциального уравнения n-го порядка имеет вид , где постоянные определяются начальными условиями, а составляющие (“моды”) имеют вид - при простых или - при кратных корнях (здесь - многочлены, степени которых определяются кратностью корня).

Поэтому обеспечение “хороших”  переходных процессов в системе  может быть достигнуто, если характеристическое уравнение имеет заданные корни.

Первой задачей, которую  необходимо решить, приступая к процедуре  модального синтеза, является выбор  расположения полюсов замкнутой  системы, к которому следует стремиться.

.  (52)

В данном случае, при требуемых  показателях качества переходных процессов s = 0 % и t_п = 0,05 с, желаемые корни имеют вид (52).

 

Таким образом, знаменатель  передаточной функции системы должен иметь вид (53).

.     (53)

Постоянная времени τ, исходя из требуемых показателей качества, равняется 0.01 с, это означает, что требуемая степень устойчивости системы η = 100. Следовательно, исходя из того, что требуемое перерегулирование составляет s = 0% (означает необходимость отсутствия комплексных сопряженных корней), полюса исследуемой системы должны быть отрицательными и вещественными, а также лежать левее предельного значения -100.

Пусть динамика объекта описывается  уравнением

.     (54)

Вектор состояния объекта  считаем доступным измерению. Рассмотрим закон управления вида u(t) = kx(t) + u^~(t).            (55)

Здесь k - подлежащая определению матрица коэффициентов регулятора. Замкнутая система объект-регулятор описывается уравнением

x’(t) = Ax(t)+B(kx(t)+ u^~(t)).    (56)

 Ставится задача определения коэффициентов регулятора (элементов матрицы k) таких, чтобы характеристический многочлен

A(s) = det(IS – A –Bk),     (57)

имел заданные коэффициенты.

После решения данного  матричного уравнения, характеристическая матрица принимает вид (58).

. (58)

 

 

 

 

 

 

 

Согласно уравнению (53), находятся искомые коэффициенты:

;

;

;

;

.

 

; ;  ;

;   .

Далее производится моделирование  системы (рисунок 5) с найденными обратными связями в пакете Simulink (рисунок 9).

Рисунок 9. Схема набора исследуемой модели в Simulink

Переходная функция и  корневая плоскость модели представлена на рисунке 10.

Рисунок 10. Результаты линейного анализа исследуемой системы

 

Таким образом, полученные результаты анализа не соответствуют требуемым. Перерегулирование в скорректированной системе имеет место быть ввиду имеющихся комплексно-сопряженных нулей системы. Для устранения этих полюсов, а также нежелательного перерегулирования, в прямую цепь системы вводится дополнительный регулятор второго порядка, имеющий полюсы, соответствующие нулям полученной выше системы – ±25.5i. После включения регулятора с передаточной функцией (59), переходный процесс и корневая плоскость системы принимают вид, отраженный на рисунке 11.

.       (59)

Рисунок 11. Исследуемая система, имеющая требуемые показатели качества

3. Модальное управление по выходу объекта. Синтез наблюдателя состояния

Более характерной для  практики является задача, когда измерению  доступен не вектор состояния , а выход объекта . Если объект является полностью управляемым и наблюдаемым, представляется естественным использовать в законе управления не сами переменные состояния объекта , а их оценки x_q(t), полученные с помощью наблюдателя. Уравнения замкнутой системы тогда принимают вид

;

;

;      (60)

.

Уравнения (60) описывают объект с регулятором, входом которого является процесс , выходом - управляющее воздействие (рисунок 12).

Рисунок 12. Схема стабилизации с динамическим компенсатором

Данный регулятор является динамической системой, порядок которой  совпадает с порядком уравнений  объекта управления. Регуляторы такого вида называются иногда динамическими  компенсаторами.

Основой синтеза систем с  динамическими компенсаторами является теорема разделения, которая утверждает, что полюса замкнутой системы получаются объединением полюсов системы с модальным регулятором и полюсов наблюдателя состояния. Таким образом, задачи синтеза модального регулятора (определение матрицы K) и наблюдателя (вычисление матрицы L) могут решаться независимо.