Производная функции

Поскольку f¢(1)=0, а f¢¢(1)<0, то х=1 является точкой максимума, причем f(1)=7. Так как f¢(5)=0, а f¢¢(5)>0, то х=5 является точкой минимума, причем f(5)=-25.

2.3. Нахождение наибольшего и наименьшего значений функции на отрезке

Пусть функция f(x) дифференцируема на отрезке [a;b]. Тогда она непрерывна на этом отрезке и, в силу II – й теоремы Вейерштрасса, достигает на нем наибольшего и наименьшего значений. Если функция имеет наибольшее значение на (a;b), то это – один из максимумов. Но функция может иметь наибольшее значение и на концах отрезка [a;b]. Аналогичные рассуждения – для минимума. Значит, для нахождения наибольшего и наименьшего значений функции на отрезке [a;b] надо:

1) найти все критические  точки функции, принадлежащие  отрезку [a;b];

2) вычислить значения функции  в этих точках и на концах  отрезка;

3) из полученных значений  выбрать наибольшее и наименьшее.

Пример. Найти наибольшее и наименьшее значения функции

у = (х-2)²е^-х на отрезке [0;5].

Решение. Найдем производную заданной функции:

y¢ = 2(x-2)e^-x-(x-2)²e^-x=- e^-x(x-2)(x-4).

Производная обращается в  нуль при х=2 и х=4. Откуда, х₁=2  и х₂=4 – критические точки.

Найдем значение функции  в критических точках и на концах отрезка [0;5]:

y(2) = 0;; у(0) = 4; .

Таким образом наибольшее значение функции - у(0) = 4, а наименьшее - y(2) = 0.

2.4. Выпуклость функции. Точки перегиба

Пусть функция f(x) дифференцируема на <a;b>. Тогда существует касательная к графику функции f(x) в любой точке М(x;f(x)), xÎ<a;b>, причем эти касательные не параллельны оси Оу.

Функция f(x) называется выпуклой вверх (вниз) на <a;b>, если график функции в пределах <a;b> лежит не выше (не ниже) любой из своих касательных.

Теорема . Пусть функция f(x) дважды дифференцируема на <a;b>. Тогда если f ²(x)³0 (f ²(x)£0) на (a;b), то функция выпукла вниз (вверх) на <a;b>.

Пусть f(x) определена и непрерывна в V(x₀).

Точка x₀ называется точкой перегиба функции f(x), если при переходе через эту точку меняется направление выпуклости функции f(x).

Теорема (необходимое условие перегиба). Если в точке перегиба x₀ функции f(x) вторая производная существует и непрерывна, то она в этой точке равна нулю.

Пример.  Найти точки перегиба функции .

Решение. , . Следовательно, в точке х₀=0 f ² не существует. При x>0 f ²(x)>0 Þ на (0;+¥) функция выпукла вниз. При x<0 f ²(x)<0 Þ на (-¥;0) функция выпукла вверх. Значит, х₀=0 - точка перегиба.

Теорема  (первое достаточное условие перегиба). Пусть функция f(x) дважды дифференцируема в , где x₀ – точка возможного перегиба. Если

1) f ²(x) меняет знак при переходе через x₀, то x₀ - точка перегиба функции f(x);

2) f ²(x) не меняет знака при переходе через x₀, то x₀ не является точкой перегиба функции f(x).

Теорема. (второе достаточное условие перегиба). Если f ²(x₀)=0, а , то x₀ - точка перегиба функции f(x).

Пример. Найти интервалы выпуклости и точки перегиба функции .

Решение. Функция определена и дважды дифференцируема на всей числовой оси. Найдем вторую производную:

 

Отсюда получим: функция  выпукла вверх тогда и только тогда, когда f²(x)<0, т.е. или .. Функция выпукла вниз тогда и только тогда, когда , т.е. .

Таким образом, функция выпукла  вверх на , выпукла вниз на и на . Откуда ясно, что точки   и являются точками перегиба данной функции. 

§3. Применение производной  в экономике

3.1. Использование понятия производной в экономике

В первом параграфе работы были раскрыты геометрический и механический смыслы производной. Однако понятие производной может иметь и экономический смысл.

Рассмотрим функцию u = u(t), которая выражает количество произведенной продукции u за время t. Найдем производительность труда в момент времени t₀. За период времени от t₀ до t₀+Δt количество произведенной продукции изменится от u₀+u(t₀ ) до u₀+Δu=u(t₀+Δt). Найдем среднюю производительность труда за этот период времени:. Очевидно, что производительность труда в момент времени t₀ можно определить как предельное значение средней производительности за период времени от t₀ до t₀+Δt при т.е.

 .

 Таким образом, производительность труда есть производная объема произведенной продукции по времени.

Пример. Объём продукции u цеха в течение рабочего дня представляет функцию где t – время (ч). Найти производительность труда через 2 часа после начала работы.

Решение. За период времени от t₀=2 до (t₀ + Dt) количество произведенной продукции изменится от u₀=u(t₀) до значения u₀+Du = u(t₀+Dt). Средняя производительность труда за этот период времени составит Du/Dt. Следовательно, производительность труда в момент t₀ можно определить, как предельное значение средней производительности труда за период времени от t₀ до (t₀+Dt) при Dt®0, то есть

u'(t)=

Итак, производительность труда в момент времени через 2 часа после начала работы составит 43 единицы продукции в час.

Также с помощью производной  могут быть определены такие экономические понятия, как предельная выручка, предельный доход, предельный продукт, предельная полезность, предельная производительность и другие предельные величины.

Исследование экономических объектов и процессов с помощью методов дифференциального исчисления получило название предельного анализа. Преимущество использование предельного анализа по сравнению с исследованием средних и суммарных величин заключается в том, что они позволяют характеризовать не состояние, а процесс, изменение экономического объекта или процесса.¹

3.2. Приложения производной в экономической теории

В экономике очень часто  требуется найти наилучшее, или  оптимальное значение того или иного  показателя: наивысшую производительность труда, максимальную прибыль, максимальный выпуск, минимальные издержки и т.п. Так как каждый из перечисленных  показателей может быть выражен  функцией, то задача сводится к задаче нахождения максимума (минимума) функции. Для решения подобных задач удобно использовать методы дифференциального исчисления.

Пример. Функция спроса имеет вид Q_D=100 – 20p, постоянные издержки TFC (total fixed costs) составляют 50 денежных единиц, а переменные издержки TVC (total variable costs) на производство единицы продукции – 2 денежные единицы. Найти объём выпуска, максимизирующий прибыль монополиста.

Решение. Прибыль есть выручка минус издержки: П=TR – TC, где TR=p*Q; TC=TFC+TVC.

Найдём цену единицы продукции: 20p=100 – Q p=5 – Q/20. Тогда П=(5 – Q/20)Q – (50 + 2Q)= – Q² + 60Q - 1000 ® max

Найдём производную: П'(Q)= –2Q+60.

Приравняем  производную к нулю: –2Q+60=0 Q=30.

При переходе через точку Q=30 функция П(Q) меняет свой знак с плюcа на минус, следовательно, эта точка является точкой максимума, и в ней функция прибыли достигает своего максимального значения. Таким образом, объём выпуска, максимизирующий прибыль, равен 30 единицам продукции.

Помимо задачи нахождений экстремумов,  в экономической теории можно исопользуется комплексный анализ функции  помощью производной.

Пример. Зависимость спроса от цены выражается формулой (p >= 0). Выручка от реализации товара по цене p составляет: денежных единиц. Исследуем эту функцию с помощью производной. Производная этой функции: положительна, если p<0.5, и отрицательна для p>0.5, это означает, что с ростом цены выручка вначале увеличивается (несмотря на падение спроса) и при p= 0.5 достигает максимального значения. Дальнейшее увеличение цены не имеет смысла, т. к. оно ведет к сокращению выручки. Темп изменения выручки выражается второй производной                     .

При – темп положительный, при – темп отрицательный. На промежутке (0; 0.5) функция возрастает все медленнее, то есть дальнейшее повышение цены невыгодно. Сначала выручка убывает с отрицательным темпом для , а затем темп убывания становится положительным, и для выручка убывает все быстрее и приближается к нулю при неограниченном увеличении цены.

  

Заключение

Анализ учебной  и научной литературы по вопросу  использования производной при  решении задач с экономическим  содержанием позволил сделать вывод, что дифференциальное исчисление используется для решения довольно широкого круга  экономических задач.  Использование  методов дифференциального исчисления в экономике даже выделяют в отдельную  область исследования, которая носит  название предельного анализа.

В ходе исследования были выявлены математические основы темы (понятие производной, ее геометрический и физический смысл, основные теоремы дифференциального исчисления); представлены примеры использования производной для решения задач на исследование функций. 

Говоря об использовании произоводной в экономике  можно выделить два аспекта:

1. определение экономических понятий с помощью понятия производной (предельные величины);
2. использование методов дифференциального исчисления для исследования экономических функций.

При этом стоит  отметить, что наиболее широкое распространение  получает использоваение производной  для нахожения экстримальных  значний функций.

Обобщая, можно  сформулировать экономический смысл производной следующим образом: производная выступает как скорость изменения некоторого экономического процесса с течением времени или относительно другого исследуемого фактора.

 

 

 

Список использованных источников

1. Высшая математика для экономистов: учебник для студентов вузов, обучающихся по экономическим специальностям/[Н.Ш. Кремер и др.]; под ред. проф. Н.Ш. Кремера. – 3 – е изд. – М.: ЮНИТИ –  ДАНА, 2006. – 479 с. – (Серия «Золотой фонд российских учебников»)
2. Лунгу К.Н., Письменный Д.Т., Федин С.Н., Шевченко Ю.А. Сборник задач по высшей математике. 1 курс. – М.: Рольф, 2001.
3. Математические методы в экономике: Учебник/Под общ. ред. д.э.н., проф. А.В. Сидоровича; МГУ им.Ломоносова. – 3-е изд., перераб. – М.: Дело и Сервис», 2001.- 386 с.
4. Сборник задач по высшей математике для экономистов: Учебное пособие/ Под ред. В.И. Ермакова. – М.: ИНФРА-М, 2001
5. http://www.rusnauka.com1_NIO_2011Economics77694.doc.htm
6. http://ios.sseu.ru/public/eresmat/course1/prakt1/razdpr1_2/teo1_2_6.htm
7. http://slovari.yandex.ru/~книги/Лопатников/Предельный%20анализ

¹ Высшая математика для экономистов: Учебник для вузов под редакцией проф. Н.Ш. Кремера