Производная и ее применение в экономике

 

 

«Государственный университет

Министерства финансов Российской Федерации»

Калужский филиал

 

 

 

 

 

 

Проект по высшей математике на тему:

«Производная и ее применение в экономике»

 

 

 

 

 

Выполнили:

Варганова  М., Козлова М.,

Фролова А., Хадиатулина Т.

 

 

Проверил:

Дробышев Ю.А.

 

 

 

 

 

 

Калуга - 2012 г.

 

Современный экономист должен хорошо владеть количественными методами анализа. К такому выводу нетрудно прийти практически с самого начала изучения экономической теории. При этом важны как знания традиционных математических курсов (математический анализ, линейная алгебра, теория вероятностей), так и знания, необходимые непосредственно в практической экономике и экономических исследованиях (математическая и экономическая статистика, теория игр, эконометрика и др.).

Математика является не только орудием количественного расчета, но также методом точного исследования. Она служит средством предельно четкой и ясной формулировки экономических понятий и проблем.

Ф.Энгельс в своё время заметил, что "лишь дифференциальное исчисление даёт естествознанию возможность изображать математически не только состояния, но и процессы: движение". Поэтому целью моей работы является выяснить, каков экономический смысл производной, какие новые возможности для экономических исследований открывает дифференциальное исчисление, а также исследовать применение производной при решении различных видов задач по экономической теории.

 

 Определение производной

Пусть функция y=f(х) определена в некоторой окрестности точки х₀. Для любой точки х из этой окрестности приращение Dx определяется формулой Dx=х - х₀, откуда х=х₀+Dx.

Приращением функции y=f(x) в точке х₀ называется разность

Dу=f(x) - f(x₀)=f(x₀+Dx) - f(x₀).

Производной от функции у=f(x) в точке х₀ называется предел отношения приращения функции к приращению аргумента ( ), когда приращение аргумента стремится к нулю (Dx→0).

Производная функции у=f(x) в точке х₀ обозначается y'(х₀) или f'(х₀). Определение производной можно записать в виде формулы:

'( )= = .

Если функция в точке х₀ имеет конечную производную, то она называется дифференцируемой в точке х₀. Если она дифференцируема во всех точках промежутка X, то говорят, она дифференцируема на всём этом промежутке.

Конечно,

может не существовать. В этом случае говорят, что функция f(x) не имеет производной в точке х₀. Если равен или , то говорят, что функция f(x) имеет в точке х₀ бесконечную производную (равную или , соответственно). 
Экономический смысл понятия производной

 

Предельные величины

 

Если спросить экономиста “Что такое производная?”, то он ответит: «маржинализм». Слово «маржинализм» охватывает целый комплекс понятий в современной экономической науке.

В ХIХ в. в области экономической теории произошло событие, которое впоследствии привело к подлинному перевороту в методах экономического поведения людей или фирм, изменило характер научно-экономического мышления. Классическая наука обычно имела дело со средними величинами: средняя цена, средняя производительность труда и т.д. Но постепенно сложился иной подход к анализу экономических процессов и явлений. Во второй половине ХIХ в. была сформулирована теория маржинализма. Классиками этой теории стали экономисты австрийской школы К. Менгер (1840-1921), Ф. фон Визер (1851-1926), Е. фон Бём-Баверк (1851-1914), а также английский экономист У.С. Джевонс (1835-1882).

"Marginal" в переводе с английского языка означает "находящийся на самом краю", "предельный", "граничный". К предельным величинам в экономике относятся: предельные издержки, предельный доход, предельная полезность, предельная производительность, предельная склонность к потреблению. Понятие предельных величин позволило создать совершенно новый инструмент исследования и описания экономических явлений, посредством которого стало возможно решать научные проблемы, прежде не решённые или решённые неудовлетворительно. Все эти величины самым тесным образом связаны с понятием производной. Предельные величины характеризуют не состояние (как суммарная или средняя величины), а процесс, изменение экономического объекта. Следовательно, производная выступает как скорость изменения некоторого экономического объекта (процесса) с течением времени или относительно другого исследуемого фактора.

Конечно, экономика не всегда позволяет использовать предельные величины в силу неделимости многих экономических расчетов, а также прерывности (дискретности) экономических показателей во времени (например, годовых, квартальных, месячных и т.д.). В то же время во многих случаях можно эффективно использовать предельные величины.

Рассмотрим ситуацию: пусть q - количество произведённой продукции, ТC(q) - соответствующие данному выпуску совокупные издержки (total costs), тогда Dq - прирост продукции, а DТС - прирост издержек производства.

 

 

 

Предельные издержки МС (marginal costs) выражают дополнительные затраты на производство каждой дополнительной единицы продукции. Другими словами,

где Используя равенство получим

Итак, предельные издержки есть не что иное, как первая производная от совокупных издержек, если последние представлены как функция от выпускаемого количества продукции.

Аналогичным образом определяются и многие другие экономические величины, имеющие предельный характер.

Задача: Зависимость между издержками производства y и объёмом выпускаемой продукции x выражается функцией  y= 50x-0,05 x³(ден.ед.). Определить средние и предельные издержки при объёме продукции 10 ед.

Решение: Функция средних издержек выражается соотношением y₁=   =50- 0,05 x²; при x=10 средние издержки (на единицу продукции) равны y₁(10)= 50-0,05*100=45 (ден. ед.). Функция предельных издержек выражается производной y`(x)= 50-0,15x<sup>2</sup>; при x=10 предельные  издержки составят y`(10)=50-0,15*100=35 (ден.ед.). Итак, если средние издержки на производство единицы продукции составляют 45 ден.ед., то предельные издержки, т.е. дополнительные затраты на производство дополнительной единицы продукции при данном уровне производства (объёме выпускаемой продукции 10 ед.) составляют 35 ден.ед.

Предельная выручка MR (marginal revenue) - это дополнительный доход, полученный при переходе от производства n-ной к (n+1)-ой единице продукта. Она представляет собой первую производную от выручки:

Для хозяйствующего субъекта, который действует в условиях совершенной конкуренции: TR = P*Q, где TR - выручка (total revenue); P - цена (price). Таким образом , Ю MR= P. Это равенство верно для рынка совершенной конкуренции.

Любой индивид использует свой доход Y после уплаты налогов на потребление C и сбережение S. Ясно, что лица с низким доходом целиком используют его на потребление, а на сбережение средств не остается. С ростом дохода субъект не только больше потребляет, но и больше сберегает. Как установлено экономической наукой, потребление и сбережение зависят от размера дохода:

Y= C(Y) + S(Y).

Использование производной позволяет определить такую категорию, как предельную склонность к потреблению MPC (marginal property to consume), показывающую долю прироста личного потребления в приросте дохода:

По мере увеличения доходов MPC уменьшается. Долю прироста сбережений в приросте дохода показывает предельная склонность к сбережению MPS (marginal propensity to save): 

С увеличением доходов MPS увеличивается.

Поскольку ограниченность ресурсов принципиально не устранима, то решающее значение приобретает отдача от факторов производства. Здесь также применима производная, как инструмент исследования. Пусть применяемый капитал постоянен, а затраты труда увеличиваются. Можно ввести в экономический анализ следующую категорию - предельный продукт труда MP_L (marginal product of labor) - это дополнительный продукт, полученный в результате дополнительных вложений труда при неизменной величине капитала:

Если вложения осуществляются достаточно малыми порциями, то

,

так как dY - результат, dL - затраты, то MP_L - предельная производительность труда.

Задача: Объем продукции V, произведенный бригадой 
 
рабочих, задается уравнением                                           ,

                            1 ≤ t ≤ 8, где t - рабочее время в часах. Вычислить производительность труда через час после начала работы и за час до ее окончания.

    Решение: Производительность труда выражается формулой

     П (t) = V ' (t) , П(t) =                                            (ед./ч). 
 
В заданные моменты времени t1=1 и t2 = 8-1 = 7 имеем: 
П(1) = 112,5 (ед.ч)  и П(7) = 82,5 (ед.ч). 
Итак, к концу рабочего для производительность существенно снижается.

Аналогично, MP_K (marginal product of capital) - предельный продукт капитала - дополнительный продукт, полученный в результате дополнительных вложений капитала K при неизменной величине труда:

.

Если вложения осуществляются малыми порциями, то

.

MP_k характеризует предельную производительность капитала.

Категория предельной полезности MU (marginal utility) выражает дополнительную полезность от каждой дополнительной потреблённой единицы блага:

При бесконечно малых изменениях предельная полезность есть производная от совокупной полезности, которая представлена как функция от потребляемого количества продукта:

Задача: Цементный завод производит Х т. цемента в день. По договору он должен ежедневно поставлять строительной фирме не менее 20 т. цемента. Производственные мощности завода таковы, что выпуск цемента не может превышать 90 т. в день. Определить, при каком объеме производства удельные затраты будут наибольшими (наименьшими), если функция затрат имеет вид:

К=-х3+98х2+200х. Удельные затраты составят К/х=-х2+98х+200

Наша задача сводится к отысканию наибольшего и наименьшего значения функции

У= -х2+98х+200. На промежутке [20;90].

Вывод: x=49, критическая точка функции. Вычисляем значение функции на концах промежутках и в критической точке.

f(20)=1760   f(49)=2601      f(90)=320.

Таким образом, при выпуске 49 тонн цемента в день удельные издержки максимальны, это экономически не выгодно, а при выпуске 90 тонн в день минимально, следовательно можно посоветовать работать заводу на предельной мощности и находить возможности усовершенствовать технологию, так как дальше будет действовать закон убывающей доходности. И без реконструкции нельзя будет увеличить выпуск продукции.

 

 

 

 

 

 

Эластичность спроса и предложения

Для исследования экономических процессов часто используется понятие эластичности функции.

Понятие эластичности было введено Аланом Маршаллом в связи с анализом функции спроса. По существу, это понятие является чисто математическим.

Эластичностью функции Е_xy(x₀) называется предел отношения относительного приращения функции y к относительному приращению переменной x при Dx®0:

.

Коэффициент эластичности y по х показывает приближенно, на сколько процентов изменится функция y = f(x), при изменении независимой переменной x на 1%.

Очень широко применяется понятие эластичности в экономическом анализе.

В экономике существует несколько видов эластичности.

- Эластичность спроса по цене (прямая)

показывающая относительное изменение (выраженное в процентах) величины спроса на какое-либо благо при изменении цены этого блага на один процент и характеризующая чувствительность потребителей к изменению цен на продукцию.

Если =0, то спрос на данный товар называется абсолютно неэластичным. Поведение покупателя: цена снижается - количество покупаемого товара не изменяется; цена растёт - количество покупаемого товара также не изменяется. К подобным товарам относятся инсулин, товары Гиффена (товары первой необходимости) и т.д.

Если 0, то спрос на данный товар называется неэластичным или относительно неэластичным. Поведение покупателя: цена снижается - темп роста спроса ниже темпа снижения цены; цена растёт - темп снижения спроса ниже темпа роста цены.

Если =1, то говорят, что товар имеет единичную эластичность.

Поведение покупателя: цена снижается - темп роста спроса равен темпу снижения цены; цена растёт - темп снижения спроса равен темпу роста цены.

Если >1, то спрос на данный товар называется эластичным или относительно эластичным. Поведение покупателя: цена снижается - темп роста спроса выше темпа снижения цены; цена растёт - темп снижения спроса выше темпа роста цены.

Если , то спрос на данный товар называется абсолютно эластичным. Поведение покупателя: цена снижается - объём покупок неограниченно возрастает; цена растёт - объём покупок падает почти до нуля.

- Эластичность спроса по доходу

характеризующая относительное изменение (в процентах) величины спроса на какое-либо благо при изменении дохода потребителя этого блага на один процент. Положительная эластичность спроса по доходу характеризует качественные (супериорные) товары, отрицательная - некачественные (инфериорные) товары.