Производная и ее применение в экономике

Так, высокий положительный коэффициент эластичности спроса по доходу в отрасли указывает, что её вклад в экономический рост больше, чем доля в структуре экономики, и она имеет шансы на расширение и процветание в будущем. Наоборот, если коэффициент эластичности спроса на продукцию отрасли имеет небольшое положительное или отрицательное значение, то её может ожидать застой и перспектива сокращения производства.

- Ценовая эластичность ресурсов

характеризующая относительное изменение (в процентах) величины спроса на какой-либо ресурс (например, труд) при изменении цены этого ресурса (соответственно, заработной платы) на один процент.

Задача: Кривая спроса задана выражением P= 20-0,001D-0,01 , где  - D объем продаж;  P - цена товара в условных единицах. Объем продаж составляет 10 000. Определите, каким должно быть изменение цены товара, чтобы объем продаж возрос на 1%.

 

Решение: Определим цену P₀ , соответствующую объему продаж D=10000; P₀= 20-0,001*10000-0,01*100= 9 (у.е.)

Для оценки изменения цены товара воспользуемся формулой приближенных вычислений P P₀+ P`   _.

По условию задачи  составляет 1% от 10000 или 10000/100=100. Найдем значение P`(10000):

P`(D)= -0,001- ; P`(10000)= -0,001- = -0,00105

Тогда  P 9- 0,00105*100= 8,895 (у.е.)

Таким образом, для увеличения объема продаж на 1% цена товара должна быть снижена приблизительно на 0,105 у.е.

 

 

Оптимальный объем выпуска продукции

Задача. Выбрать оптимальный объем производства фирмой, функция прибыли которой может быть смоделирована зависимостью: π(q) = R(q) - C(q) = q² - 8q + 10

Решение: π'(q) = R'(q) - C'(q) = 2q - 8 = 0 → qextr = 4. При q < qextr = 4 → π'(q) < 0 и прибыль убывает При q > qextr = 4 → π'(q) > 0 и прибыль возрастает При q = 4 прибыль принимает минимальное значение. Каким же будет оптимальный объем выпуска для фирмы? Если фирма не может производить за рассматриваемый период больше 8 единиц продукции (p(q = 8) = p(q = 0) = 10), то оптимальным решением будет вообще ничего не производить, а получать доход от сдачи в аренду помещений и / или оборудования. Если же фирма способна производить больше 8 единиц, то оптимальным для фирмы будет выпуск на пределе своих производственных мощностей.

Величина вклада в банке через t лет

Пусть q = 1 + i − множитель наращения вклада за один год при ставке

процента i, q = (1 + i)^t  t − множитель наращения за t лет. При малых i имеем

ln(1 + i) ≈ i, а так как t = , то t

 

Приложение производной

Проанализировав экономический смысл производной, нетрудно заметить, что многие законы теории производства и потребления, спроса и предложения оказываются прямыми следствиями математических теорем. Для примера рассмотрим экономическую интерпретацию теоремы Ферма.

Пусть q - выпуск продукции (в натуральных единицах); TR(q) - выручка от продаж; TC(q) - издержки производства, связанные с выпуском q единиц продукции. Тогда прибыль

Предположим, что выполняются следующие условия:

1) Функции TR(q), TC(q) определены на полуинтервале и дифференцируемы при q>0.

2) Максимум прибыли достигается в некоторой точке q^* 0.

В случае, когда максимум прибыли положителен , условие q^* 0 естественным образом выполняется, поскольку (нет выпуска - нет выручки, нет выручки - нет прибыли).

Итак, условия 1), 2) выполнены. Тогда функция дифференцируема и имеет на интервале максимум в точке q^* 0. По теореме Ферма, . Так как , то в точке q=q^* получаем равенство

TR'(q^*)=TC'(q^*) или MR=MC.

В экономической теории данное равенство иллюстрирует один из базовых законов теории производства, согласно которому фирма, максимизирующая свою прибыль, устанавливает объём производства таким образом, чтобы предельная выручка была равна предельным издержкам.

В случае, когда объём производства q не влияет на цену продукции p, имеем TR(q)=p*q, TR'(q)=p. Равенство TR'(q^*)=C'(q^*) принимает вид p=TC'(q^*).

 

Использование производной при решении задач

Задача №1: Функция спроса имеет вид Q_D=100 - 20p, постоянные издержки TFC (total fixed costs) составляют 50 денежных единиц, а переменные издержки TVC (total variable costs) на производство единицы продукции - 2 денежные единицы. Найти объём выпуска, максимизирующий прибыль монополиста.

Решение: Прибыль есть выручка минус издержки:

П=TR - TC,

где TR=p*Q; TC=TFC+TVC.

Найдём цену единицы продукции:

20p=100 - Q p=5 - Q/20.

Тогда

П=(5 - Q/20)Q - (50 + 2Q)= - Q² + 60Q - 1000 ® max

Найдём производную: П'(Q)= -2Q+60.

Приравняем производную к нулю: -2Q+60=0 Q=30.

При переходе через точку Q=30 функция П(Q) меняет свой знак с плюcа на минус, следовательно, эта точка является точкой максимума, и в ней функция прибыли достигает своего максимального значения. Таким образом, объём выпуска, максимизирующий прибыль, равен 30 единицам продукции.

Задача №2: Объём спроса на продукцию предприятия выражается формулой: Q_D=200 - 4p, а объём предложения - Q_S=6p - 100. Величина переменных издержек на единицу продукции TVC=25. Чему должна быть равна цена на единицу продукции p, чтобы прибыль П была максимальной?

Решение: В точке потребительского равновесия Q_S=Q_D, то есть

6p₀ - 100=200 - 4p₀,

откуда p₀= 30 (ден.ед.) - равновесная цена, Ю Q₀=80 (ед.) - равновесный объём продукции.

Изобразим графически кривые спроса и предложения, а также точку потребительского равновесия, находящуюся на их пересечении (см. рис. 2).

Рассмотрим три возможных варианта:

1) p>p₀, Ю Q=Q_D, то есть П=Q_Dp - Q_D TVC=Q_D(p - TVC),

подставим значения и получим:

П=(200 - 4p)*(p - 25)= -4p² + 300p - 5000.

2) p=p₀, Ю Q=Q_D=Q_S, Ю Q_{продажи}=Q₀=80 (ед.), Ю 

П₂=80*(30 - 25)=400 (ден. ед.).

3) p<p₀: Ю Q= Q_S, то есть П=Q_Sp - Q_S TVC=Q_S(p - TVC),

подставим значения:

П=(6p - 100)(p - 25)=6p² - 250p + 2500.

Далее случаи (1) и (3) можно решать аналитически, подставляя различные значения цены из интервала её значений или как-либо иначе, но гораздо проще выявить экстремумы прибыли через производную:

1) П= - 4p² + 300p - 5000

П'= - 8p + 300;

- 8p + 300=0 Ю p=75/2=37,5 (ден. ед.).

Значит, Q=Q_D=200 - 4*37,5=200 - 150=50 (ед.), а

П₁= - 4p² + 300p - 5000= - 4*(37,5)²+300*37,5 - 5000=625 (ден. ед.).

2) Во втором случае прибыль была уже найдена: П₂=400 (ден. ед.).

3) П=6p² - 250p + 2500

П'=12p - 250;

12p - 250=0 Ю p=125/6=20⁵/₆ (ден. ед.).

Значит, Q=Q_S=6*20⁵/₆ - 100=125 - 100=25 (ед.), a

П₃=6p² - 250p + 2500=6*(20⁵/₆)² - 250*20⁵/₆+2500= - 104¹/₆ (ден. ед.).

Можно заключить, что прибыль максимальна в первом случае, следовательно, цена единицы продукции должна равняться 37,5 денежным единицам.

Задача №3: Какова максимальная выручка монополиста, если спрос вплоть до пересечения с осями описывается линейной функцией Q=b - ap, где p - цена товара, выпускаемого монополистом; a и b - коэффициенты функции спроса?

Решение: Выручка TR=Qp=p(b - ap) достигнет максимума при равенстве нулю производной по цене:

TR'=(p(b - ap))'=0.

TR'=p'*(b - ap)+ (b - ap)'*p=b - ap - ap=b - 2ap=0 Ю p= Ю

Ю Q=b - ap=b - a = .

При этом максимум выручки составит

Задача №4: Найти оптимальный объём производства фирмы, функция прибыли которой задана таким образом: П(q)=TR(q) - TC(q)=q² - 8q + 10.

Решение: Найдём производную данной функции:

П

Приравняем производную к нулю и найдём точку экстремума:

П

Является ли объём выпуска, равный четырём единицам продукции, оптимальным для фирмы? Чтобы ответить на этот вопрос, надо проанализировать характер изменения знака производной при переходе через точку экстремума.

При П и прибыль убывает.

При П и прибыль возрастает.

Как видим, при переходе через точку экстремума производная меняет свой знак с минуса на плюс. Следовательно, в точке экстремума прибыль принимает минимальное значение, и таким образом, этот объём производства не является оптимальным для фирмы.

Каким же всё-таки будет оптимальный объём выпуска для данной фирмы? Ответ на этот вопрос зависит от дополнительного исследования производственных возможностей фирмы. Если фирма не может производить за рассматриваемый период больше 8 единиц продукции (П(q=8)=П(q=0)=10), то оптимальным решением для фирмы будет вообще ничего не производить, а получать доход от сдачи в аренду помещений и/или оборудования. Если же фирма способна производить за рассматриваемый период больше 8 единиц продукции, то оптимальным решением для фирмы будет выпуск на пределе своих производственных возможностей.

 Задача №5: Найти объём производства, при котором фирма, действующая на рынке совершенной конкуренции, будет получать максимальную прибыль, если p=15, TC(q)=q³ + 3q.

Решение: Прибыль фирмы, действующей на рынке совершенной конкуренции, максимизируется при равенстве предельной выручки и предельных издержек: MR=MC. Поскольку при совершенной конкуренции наблюдается равенство цены и предельной выручки: P=MR, то можно утверждать, что фирма максимизирует прибыль при P=MC.

Найдём предельные издержки: MC=TC'=3q² + 3.

3q² + 3=15;

3q²=12 Ю q=2.

Итак, мы выяснили, что при цене p=15 фирма предложит на продажу 2 единицы продукции.

Задача №6: Пусть - издержки фирмы-монополиста, Q_D(p)=40 - 2p - функция спроса. Найти оптимальный для данной монополии объём производства и соответствующую цену единицы продукции.

Решение: Выразим зависимость цены от количества произведённой продукции:

 

Тогда прибыль будет равна:

В точке q₀ максимума прибыли выполняется равенство Отсюда оптимальный для монополиста объём производства равен q₀=10. Соответствующая цена будет:

p₀=p(q₀)=   

При этом предельные издержки Таким образом, цена, наиболее выгодная для данной монополии, в полтора раза выше её предельных издержек.

Задача №7: Объём продукции u цеха в течение рабочего дня представляет функцию где t - время (ч). Найти производительность труда через 2 часа после начала работы.

Решение: За период времени от t₀=2 до (t₀ + Dt) количество произведенной продукции изменится от u₀=u(t₀) до значения u₀+Du = u(t₀+Dt). Средняя производительность труда за этот период времени составит Du/Dt. Следовательно, производительность труда в момент t₀ можно определить, как предельное значение средней производительности труда за период времени от t₀ до (t₀+Dt) при Dt®0, то есть

u'(t)=

Итак, производительность труда в момент времени через 2 часа после начала работы составит 43 единицы продукции в час.

 

 

В результате проведенного исследования можно сделать следующие выводы:

1. Производная является важнейшим инструментом экономического анализа, позволяющим углубить геометрический и математический смысл экономических понятий, а также выразить ряд экономических законов с помощью математических формул.
2. При помощи производной можно значительно расширить круг рассматриваемых при решении задач функций.
3. Экономический смысл производной состоит в следующем: производная выступает как скорость изменения некоторого экономического процесса с течением времени или относительно другого исследуемого фактора.
4. Наиболее актуально использование производной в предельном анализе, то есть при исследовании предельных величин (предельные издержки, предельная выручка, предельная производительность труда или других факторов производства и т. д.).
5. Производная находит широкое приложение в экономической теории. Многие, в том числе базовые, законы теории производства и потребления, спроса и предложения оказываются прямыми следствиями математических теорем (например, представляет интерес экономическая интерпретация теоремы Ферма, выпуклости функции и т. д.).
6. Знание производной позволяет решать многочисленные задачи по экономической теории.