Проверка статистических гипотез

Часть 1.Теория.

1. Введение.

Сущность  задачи проверки статистических гипотез.

         Задачами математической статистики  являются определение вида распределения  генеральной совокупности экспериментальных данных и определение их основных числовых характеристик. Эти задачи решаются в виде выдвижения  гипотез, а не прямых расчетов. Каждый расчетный результат должен быть дополнен вероятностью его правильности (или ошибки), т.е. является гипотетическим.  Следовательно, статистическая гипотеза представляет собой некоторое предположение о законе распределения случайной величины F или о параметрах этого закона, формулируемое на основе выборки. Примерами статистических гипотез являются предположения:                               

      генеральная совокупность распределена по экспоненциальному закону;         

       математические ожидания двух экспоненциально распределенных выборок равны друг другу.

           В первой из них высказано предположение о виде закона распределения, а во второй – о параметрах двух распределений. Гипотезы, в основе которых нет никаких допущений о конкретном виде закона распределения, называют непараметрическими, в противном случае – параметрическими.

      Пусть задана выборка X = (X_v Х_г, ... , Х_п) из некоторого неизвестного распределения F, тип которого необходимо выяснить. Допускается, что все наблюдения имеют одинаковое распределение. Для этого относительно неизвестного распределения строят различные предположения, или гипотезы. По выборке конечного объема безошибочных выводов о типе распределения сделать невозможно, поэтому неверная гипотеза также может быть выбрана.

     2.Общая постановка задачи проверки статистической гипотезы.

 Гипотезу, утверждающую, что различие между сравниваемыми характеристиками отсутствует, а наблюдаемые отклонения объясняются лишь случайными колебаниями в выборках, на основании которых производится сравнение, называют

- нулевой (основной) гипотезой и обозначают Н₀. Наряду с основной гипотезой рассматривают и

- альтернативную (конкурирующую, противоречащую) ей гипотезу Н₁.               И, следовательно, если нулевая гипотеза будет отвергнута, то будет иметь место альтернативная гипотеза.

          Различают простые и сложные гипотезы. Гипотезу называют                                                  - простой, если она однозначно характеризует параметр распределения случайной величины.

Например, если l является параметром экспоненциального распределения, то гипотеза Н₀ о равенстве l =10 – простая гипотеза.

- Сложной называют гипотезу, которая состоит из конечного или бесконечного множества простых гипотез. Сложная гипотеза Н₀ о неравенстве l >10 состоит из бесконечного множества простых гипотез Н₀ о равенстве l =b_i , где b_i – любое число, большее 10. Гипотеза Н₀ о том, что математическое ожидание нормального распределения равно двум при неизвестной дисперсии, тоже является сложной. Сложной гипотезой будет предположение о распределении случайной величины Х по нормальному закону, если не фиксируются конкретные значения математического ожидания и дисперсии. Такие гипотезы предполагают, что распределение F является элементом некоторого класса распределений {F}.

          Пример. Н₀:Х N_0.1, - простая гипотеза.

          Н₁:Х Є N_0.2.- сложная гипотеза, поскольку неизвестны оба параметра а и .

         3. Понятие о статистических критериях

            Одна из основных задач математической  статистики состоит в проверке соответствия результатов эксперимента предполагаемой гипотезе H₀.  Для этого выбирается некоторая статистика (функция экспериментально полученной выборки X = (X_1, X ₂ ... ,  Х _n)). С помощью этой статистики строится правило проверки гипотезы.

          Статистическим критерием  (критерием согласия, или критерием значимости) проверки гипотезы называют правило, в соответствии с которым по имеющейся выборке X = (X_1, X ₂ ... ,  Х _n) можно определить, принимается гипотеза H₀ или отвергается.

          Построение критерия означает, что  все возможные выборки разбиваются на два непересекающихся класса S₀ и S *, такие, что их объединением является все выборочное пространство: S₀ S *= R*.

            Проверка гипотезы основывается на вычислении некоторой случайной величины – критерия, точное или приближенное распределение которого известно. Процедура проверки гипотезы предписывает каждому значению критерия одно из двух решений – принять или отвергнуть гипотезу. Тем самым все выборочное пространство и соответственно множество значений критерия делятся на два непересекающихся подмножества S₀ и S₁. Если значение критерия z попадает в область S₀, то гипотеза принимается, а если в область S₁, – гипотеза отклоняется. Множество S₀ называется областью принятия гипотезы или областью допустимых значений, а множество S₁ – областью отклонения гипотезы или критической областью. Выбор одной области соответствует истине с некоторой вероятностью и, соответственно, возможны два рода ошибок.                      Ошибка первого рода возникает с вероятностью a тогда, когда отвергается гипотеза Н0. в то время как она верна.

  Принятие или отклонение гипотезы Н0 по случайной выборке возникает с вероятностью 1-a и принимается конкурирующая гипотеза Н₁.

           Ошибка второго рода возникает с вероятностью b в том случае, когда принимается неверная гипотеза Н₀, в то время как справедлива конкурирующая гипотеза Н₁.

          Доверительная вероятность – это вероятность не совершить ошибку первого рода и принять верную гипотезу Н₀.  

         Вероятность отвергнуть ложную гипотезу Н₀ называется мощностью критерия.

     Следовательно, при проверке гипотезы возможны четыре варианта исходов, см. табл.

              Ошибка первого рода состоит в том, что будет отклонена гипотеза Н₀, если она верна (так называемый «пропуск цели»). Вероятность совершить ошибку первого рода называется уровнем значимости критерия и обозначается α:

            Правильное решение (гипотеза  H₁) принимается при этом с вероятностью 1 - α:

           Ошибка второго  рода состоит в том, что принимается гипотеза H₁. если она неверна («ложное срабатывание»). Вероятность ошибки второго рода обозначается β:

            Правильное решение (гипотеза  H₁,) принимается при этом с вероятностью 1 - β:

            Вероятность не допустить ошибку  второго рода 1 - β называют мощностью критерия.

  Например, рассмотрим случай, когда некоторая несмещенная оценка параметра q вычислена по выборке объема n, и эта оценка имеет плотность распределения f(q), см. рис.

Рис. Области  и отклонения гипотезы

         Предположим, что истинное значение оцениваемого параметра равно Т. Если рассматривать гипотезу Н₀ о равенстве q =Т, то насколько велико должно быть различие между q и Т, чтобы эту гипотезу отвергнуть. Ответить на данный вопрос можно в статистическом смысле, рассматривая вероятность достижения некоторой заданной разности между q и Т на основе выборочного распределения параметра q .

            Целесообразно полагать одинаковыми значения вероятности выхода параметра q за нижний и верхний пределы интервала. Такое допущение во многих случаях позволяет минимизировать доверительный интервал, т.е. повысить мощность критерия проверки. Суммарная вероятность того, что параметр q выйдет за пределы интервала с границами q _{1–a /2} и q a _/2, составляет величину a . Эту величину следует выбрать настолько малой, чтобы выход за пределы интервала был маловероятен. Если оценка параметра попала в заданный интервал, то в таком случае нет оснований подвергать сомнению проверяемую гипотезу, следовательно, гипотезу равенства q =Т можно принять. Но если после получения выборки окажется, что оценка выходит за установленные пределы, то в этом случае есть серьезные основания отвергнуть гипотезу Н₀. Отсюда следует, что вероятность допустить ошибку первого рода равна a (равна уровню значимости критерия).

            Если предположить, например, что истинное значение параметра в действительности равно Т + d, то согласно гипотезе Н₀ о равенстве q =Т – вероятность того, что оценка параметра q попадет в область принятия гипотезы, составит b , см. рис.

         При заданном объеме выборки вероятность совершения ошибки первого рода можно уменьшить, снижая уровень значимости a . Однако при этом увеличивается вероятность ошибки второго рода b (снижается мощность критерия). Аналогичные рассуждения можно провести для случая, когда истинное значение параметра равно Т – d.