А.Н. Колмогоров показал, что какова бы ни была функция распределения F(x) величины Х при неограниченном увеличении количества наблюдений n функция распределения случайной величины d_n асимптотически приближается к функции распределения .                                                                     Иначе говоря, критерий Колмогорова характеризует вероятность того, что величина d_n не будет превосходить параметр l для любой теоретической функции распределения. Уровень значимости a выбирается из условия , в силу предположения, что почти невозможно получить это равенство, когда существует соответствие между функциями F(x) и F_n(x). Критерий А.Н. Колмогорова позволяет проверить согласованность распределений по малым выборкам, он проще критерия хи-квадрат, поэтому его часто применяют на практике. Но требуется учитывать два обстоятельства.

         Во-первых, в точном соответствии с условиями его применения необходимо пользоваться следующим соотношением

где

         Во-вторых, условия применения критерия предусматривают, что теоретическая функция распределения известна полностью (известны вид функции и ее параметры). Но на практике параметры обычно неизвестны и оцениваются по экспериментальным данным. Это приводит к завышению значения вероятности соблюдения нулевой гипотезы, т.е. повышается риск принять в качестве правдоподобной гипотезу, которая плохо согласуется с экспериментальными данными (повышается вероятность совершить ошибку второго рода). В качестве меры противодействия такому выводу следует увеличить уровень значимости a , приняв его равным 0,1 – 0,2, что приведет к уменьшению зоны допустимых отклонений.

закону не отвергается.

6.Проверка гипотез о математических ожиданиях 

Классические критерии проверки гипотез о математических ожиданиях и дисперсиях по одной выборке.

      Пусть имеется выборка  случайных величин, распределенных по нормальному закону . В этом случае задачи проверки гипотез о математических ожиданиях и дисперсиях формулируются следующим образом.

      1. В критерии проверки гипотез  вида   при известной дисперсии  используется статистика , которая при справедливости гипотезы  подчиняется нормальному распределению: . Проверяемая гипотеза  отклоняется при больших отклонениях  от .

      2. Для проверки гипотезы   при неизвестной дисперсии  используется статистика , где , . При справедливости  статистика  распределена как  – распределение Стьюдента. 

Сравнение двух выборочных средних  из нормальных совокупностей.

Проверяется гипотеза вида .

    Применение  критерия сравнения двух выборочных средних при известных и равных дисперсиях предусматривает вычисление статистики

где , - объем -й выборки,

     В случае принадлежности наблюдений нормальным законам статистика  подчиняется стандартному нормальному закону.  

             При неизвестных, но равных дисперсиях.                                                  При неравных объемах выборок  статистика критерия имеет вид 

где

,  , ,   , или

В случае нормального закона эта статистика в случае справедливости  должна подчиняться распределению Стьюдента с числом степеней свободы , то есть .

      При равных объемах выборок   статистика принимает вид

При неизвестных и  неравных дисперсиях .

     Проверяется гипотеза вида  при условии, что . Такая задача получила название проблемы Беренса-Фишера При неравных объемах выборок  статистика критерия имеет вид

а число  степеней свободы

При равных объемах выборок  –

Заключение

              Из проведенного выше описания типичных статистических задач - задачи проверки однородности выборок - можно сделать вывод о сложности и скрупулёзности организации работ по  анализу исследований статистической обработки данных. Методы многомерного статистического анализа, планирования эксперимента, статистики объектов нечисловой природы требуют хорошего знания математического аппарата, точности расчёта и определённого навыка в обработке результатов исследований.