Рациональные дроби в 8 классе

Введение

Актуальность. Программа по математике 8 класса общеобразовательной школы достаточно обширна и строится в основном на базе материала, изученного в предшествующие периоды обучения. Поэтому пробелы в знаниях, умениях и навыках учащихся ведут к тому, что их успешное обучение в старших классах становится затруднительным. Это касается и темы «Рациональные дроби». Умение работать с алгебраическими дробями помогает учащимся осваивать такие темы, как «Дробные рациональные уравнения», «Уравнения и системы уравнений». А, следовательно, вырабатывает навык решения текстовых задач, которые несут большие воспитательные функции. В ходе их решения четко прослеживается схема применения математики к изучению действительности. Текстовые задачи позволяют подчеркнуть роль математики в практической деятельности людей.

Тема «Рациональные дроби» по структуре схожа с уже изученной  темой «Обыкновенные дроби» - то же основное свойство дроби, те же правила  арифметических действий. Поэтому ученикам изучение рациональных дробей дается относительно несложно. Хотя некоторые затруднения могут вызвать операции над алгебраическими дробями. Преодолевать эти затруднения помогает наглядность учебного материала. Если учебная информация сопровождается схемами, чертежами, оригинальными рисунками, то ее смысл становится видимым, понятным, к тому же лучше запоминается. Именно поэтому в данной курсовой работе мы постарались привести некоторые примеры использования наглядных материалов при изучении темы «Рациональные дроби».

Цель: проанализировать методику изучения рациональных дробей в курсе алгебры основной школы и разработать урок-практикум по теме «Рациональные дроби».                                                                                                                                                                                                                                                                                                              Задачи: определить роль и место темы в курсе алгебры основной школы;                                                                      провести методический анализ темы в учебнике алгебры 8 кл. под ред. С.А.Теляковского; провести сравнительный анализ изложения темы в других учебниках алгебры; проанализировать методику изучения основного свойства рациональных дробей и формирования основных алгоритмов действий над ними.

Глава 1. Методический анализ темы «Рациональные  дроби» в различных 

учебниках алгебры основной школы

1. Роль и место темы в курсе алгебры основной школы

Роль данной темы нельзя недооценить. Потому что она  фактически является началом функциональной линии в 8 классе. Знания, полученные учащимися при изучении рациональных дробей, помогают им в изучении дробно-рациональной функции и ее графика. Также умение работы с рациональными дробями подводит учащихся к формированию навыков решения дробных рациональных уравнений и неравенств, а также решению текстовых задач, где ученикам необходимо не просто решить уже готовое уравнение или неравенство, а самостоятельно его составить. Развитие техники решения уравнений позволяет перейти к рассмотрению новых, более сложных типов задач на концентрацию, на денежные расчеты с процентами. Знания, полученные учениками в ходе изучения темы «Рациональные дроби», закладывают прочный фундамент для изучения трансцендентных выражений. Т.к. схема действий с трансцендентными выражениями аналогична схеме действий с рациональными дробями, учащиеся легко переносят знания на новую тему.

Перед изучением  рациональных дробей учащиеся знакомятся с обыкновенными дробями и  операциями над ними, что в большинстве  своем облегчает восприятие материала  темы «Рациональные дроби». Также  ученики уже умеют пользоваться различными преобразованиями многочленов  и легко переносят эти знания на преобразования рациональных выражений. Еще одним важным моментом является то, что учащиеся уже знакомы с линейными функциями, изученными в 7 классе.

В свою очередь, знания, полученные при изучении рациональных дробей, используются в дальнейшем при рассмотрении таких важных тем, как «Дробные рациональные уравнения и неравенства», «Системы уравнений с двумя переменными».

Таким образом, можно  говорить о том, что материал темы, как правило, распределяется между двумя концентрами: первый связан с изучением обыкновенных дробей и многочленов, а второй относится к дробно-рациональным уравнениям, системам уравнений.

2. Методический анализ темы «Рациональные дроби» в учебнике

алгебры 8 кл. под ред. С.А. Теляковского

1. Обучение теме можно  начать с создания положительных  мотивов ее изучения. Широким познавательным мотивом здесь могут выступать изучение различных математических действий над рациональными дробями, решение текстовых задач путем составления дробно-рациональных уравнений и неравенств. Учебно-познавательным мотивом может быть интерес к анализу доказываемых свойств рациональных дробей, получению выводов.

Примером мотивации может  служить разбор задачи «из жизни»: «Моторная лодка прошла 25 км по течению реки и 3 км против течения, затратив на весь путь 2 ч. Какова скорость лодки в стоячей воде, если скорость течения реки равна 3 км/ч?» [4] В этой задачи явно указана межпредметная связь математики и физики. Т.е. для ее решения ученикам придется вспомнить некоторые формулы механики. Также здесь понадобятся навыки составления и решения уравнений, приведение рациональных дробей к общему знаменателю для сложения дробей.

2. В главе вводятся понятия «дробное выражение», «рациональные выражения», «рациональная дробь», «допустимые значения переменных» (что особенно необходимо при изучении функциональной линии), «тождество», «обратная пропорциональность». Стоит заметить, что Теляковский С.А. единственный автор, в учебнике которого в изучении главы «Рациональные дроби» прослеживается функциональная линия. Явно определены только 2 понятия – «рациональная дробь» и «обратная пропорциональность». Оба этих определения имеют конъюктивную структуру.

3. Перед учащимися ставится учебная задача: раскрыть смысл основных операций над рациональными дробями, дать обоснование выполняемых при этом математических действий.

Эту задачу можно считать  решенной, если будут решены такие  учебные подзадачи:

- сформировать навыки  использования основного свойства  дроби при сокращении дробей;

- определить алгоритм  сложения и вычитания дробей  с одинаковыми знаменателями;

- выявить схему сложения  и вычитания дробей с разными  знаменателями;

- сформулировать алгоритм  возведения дроби в степень;

- определить способ умножения и деления дробей;

- раскрыть суть преобразования  рациональных выражений.

4. Решение названных подзадач будет осуществляться в ходе выполнения учащимися соответствующих учебных действий, общих и специфических. Такими специфическими действиями, характерными для сформулированных задач, будут:

- разложение числителя  и/или знаменателя на множители;

- приведение дробей к  общему знаменателю;

- выполнение тождественных  преобразований.

Также при решении подзадач будут использоваться и такие  учебно-познавательные действия, как, например, распознавание, выведение  следствий, сравнение и сопоставление, конкретизация общего способа решения  для данной задачи.

5. Логический анализ темы «Рациональные дроби» дает основание сделать вывод, что материал в учебнике организован дедуктивно – каждая операция над рациональными дробями доказывается. Это, в свою очередь, усиливает роль теоретической части главы. Структура вводимых операций аналогична действиям с обыкновенными дробями, а, следовательно, это позволяет осуществить перенос знаний.

6. «Ядерным» материалом темы являются основные операции над рациональными дробями – сумма и разность дробей, произведение и частное, сокращение дробей. Изложение материала опирается на алгебраические операции, тождественные преобразования, знание основного свойства дроби, законы арифметических действий.

Основными методами обучения данной теме являются: дедуктивный  по логике, по источникам – беседа и упражнения, по степени самостоятельности - репродуктивный, по управлению – показ образцов учителем и работа с учебником.

7. К средствам обучения математике можно отнести все, что будет способствовать реализации целей обучения данной теме, в первую очередь серии задач (вопросов). В этом случае задачи будут выступать и как средство обучения, и как цель изучения. Так учебная подзадача «Раскрыть суть преобразования рациональных выражений» может быть решена обобщением решения типичной конкретно-практической задачи. Учащимся предлагается типичная задача:

«Упростите выражение: ».

Учащиеся знают, что для  того, чтобы преобразовать выражение  в дробь, нужно   1) если есть целое  выражение, то представить его как  дробь со знаменателем, равным единице;

2) если знаменатели двух  дробей – противоположные по  знаку выражения, то следует умножить числитель и знаменатель одной из дробей на – 1;

3) разложить знаменатель  каждой дроби на множители;

4) найти наименьший общий  знаменатель;

5) найти дополнительные  множители для каждой дроби;

6) сложить дроби с одинаковыми  знаменателями и упростить выражение;

7) если можно, разложить  числитель на множители;

8) если можно, сократить  дробь. [17]

Следуя алгоритму, разложим знаменатель каждой дроби на множители, найдем наименьший общий знаменатель и дополнительные множители для каждой дроби: =. Затем нужно сложить дроби с одинаковыми знаменателями и упростить выражение: . В нашем случае ни числитель, ни знаменатель на множители не раскладываются, поэтому остается привести подобные слагаемые: . Пример решен.

Решение одной задачи не позволяет говорить о сформированности умения преобразовывать рациональные выражения. Поэтому учащимся предлагается

серия задач, которая может  быть например такой:

а) ;

б) ;

в) ;

г) . [4, с.37]

Предложенный набор задач  охватывает все возможные случаи, а следовательно можно утверждать, что позволяет сформировать учебное действие «преобразовывать рациональные выражения».

Также при решении этой учебной подзадачи для наглядности  могут быть использованы карточки (Приложение №1). Яркий зрительный образ позволяет повысить активность и внимательность.

Смена средств обучения способствует активизации деятельности учащихся, что в свою очередь позволяет  улучшить усвоение материала.

При решении учебных подзадач «Сформировать навыки использования  основного свойства дроби при сокращении дробей» и «Определить способ умножения и деления дробей» целесообразно также использовать карточки (Приложение № 2 и Приложение № 3 соответственно).

8. Приемы работы при  изучении темы «Рациональные  дроби» - показ учителем на доске образцов решения, самостоятельная работа.

9. Контроль знаний учащихся  проводится в различных формах  – устная контрольная работа, самостоятельные работы, контрольная работа.

 

1.3. Сравнительный  анализ изложения темы в других  учебниках алгебры 

Приступая к сравнительному анализу изложения темы в учебниках  разных авторов, в первую очередь  следует отметить, что не все авторы относят тему «Рациональные дроби» к 8 классу.

Так, например, Алимов Ш.А. считает  нужным начать изучение рациональных дробей еще в 7 классе. Причем здесь речь идет об алгебраических дробях. Главное отличие изложения материала в учебнике Алимова Ш.А. [2] от способа изучения той же темы, например, в учебнике под ред. Теляковского С.А. [4] является метод организации учебного материала. Если в учебнике под ред. Теляковского С.А. [4] материал организован дедуктивно (т.е. каждое новое вводимое свойство доказывается [12]), то в учебнике под ред. Алимова Ш.А. [2] тема излагается индуктивно (т.е. перед вводимым свойством рассматривается конкретный пример). Также стоит отметить, что изучаемые операции над алгебраическими дробями вводятся алгоритмически, что значительно упрощает процесс усвоения материала главы. Отдельным параграфом вынесена тема «Приведение дробей к общему знаменателю». Это очень важный момент, т.к. далее учащимся предстоит изучение основных операций над алгебраическими дробями – сложение и вычитание дробей с разными знаменателями. Последней темой в главе является «Совместные действия над алгебраическими дробями» («Преобразование рациональных выражений» в учебнике под ред. Теляковского С.А. [4]). Здесь автор приводит пример решения текстовой задачи. Для сравнения: Теляковский С.А. ограничивается числовыми выражениями.

Вообще текстовые задачи несут большие воспитательные функции. Действительно, в ходе их решения четко прослеживается схема применения математики к изучению действительности, а именно перевод реальной ситуации на математический язык (составление уравнения, неравенства, системы), внутриматематическое исследование (решение уравнения, неравенства, системы), интерпретация результата (сопоставление полученных решений с условием задачи). Кроме того, решая текстовые задачи, учащиеся могут постепенно подойти к пониманию того, что математические модели лишь приближенно отражают реальный мир. Наконец, текстовые задачи позволяют привлечь внимание учащихся к фактам окружающей жизни, подчеркнуть роль математики в практической деятельности людей.

Продолжая анализ изложения  материала в учебнике под ред. Алимова Ш.А. [2], отметим, что в главе вводятся такие понятия, как «алгебраическая дробь», «допустимые значения», «приведение дробей к общему знаменателю», «основное свойство дроби». Причем явно определены два понятия – «алгебраическая дробь» (которое имеет конъюктивную структуру) и «допустимые значения».