Рациональные дроби в 8 классе

Глава «Алгебраические дроби» в учебниках [3], [4], [14] структурирована практически одинаково. С этой темы начинается курс алгебры 8 класса. Во всех этих учебниках первые параграфы главы посвящены основным понятиям, рассмотрению основного свойства дроби, арифметическим операциям над рациональными дробями.

На этом сходства содержания учебников заканчиваются. После  изучения основных операций над рациональными дробями каждый автор предлагает свою линию дальнейшего изучения алгебраических дробей.

В учебнике под ред. Мордковича А.Г.[3] после преобразования рациональных выражений, автор формирует у учащихся первые представления о решении рациональных уравнений, а затем переходит к изучению степеней с отрицательным целым показателем. В учебнике под ред. Дорофеева Г.В. [14] автор предлагает фактически то же самое, но в обратной последовательности: сначала предлагает изучить степени с целым показателем (в том числе рассмотреть свойства степеней с целым показателем), а затем приступить к решению уравнений. Мотивом для введения понятия степени с целым показателем служит целесообразность представления больших и малых чисел в так называемом стандартном виде. С этим способом записи чисел учащиеся уже встречались на уроках физики. Также стоит отметить, что в учебнике под ред. Дорофеева Г.В. [14] автор не выделяет преобразования рациональных выражений в отдельный параграф (как это сделано у других авторов). Т.е. эти преобразования учащиеся производят на интуитивном уровне. Мы считаем, что это очень рационально. Потому что это относительно несложная тема, тем более, что ученики уже умеют работать с рациональными выражениями и легко переносят свои знания на дроби. Следовательно, время, потраченное на изучение этой темы, можно отвести на закрепление других, более сложных тем.

Проводя сравнительный анализ изложения материала темы в различных  учебниках алгебры, приходим к выводу, что все авторы, за исключением  Теляковского С.А., организуют материал индуктивно. Отметим также, что все авторы главным материалом выделяют изучение основного свойства дроби и арифметические операции над алгебраическими дробями.

В учебнике под ред. Мордковича А.Г.[3] вводятся понятия «алгебраическая дробь», «основное свойство алгебраической дроби», «приведение нескольких алгебраических дробей к общему знаменателю», «рациональное выражение», «целое выражение», «дробное выражение», «рациональное уравнение», «степень с отрицательным целым показателем». Автором формулируется основное свойство степеней, а также следующие алгоритмы: алгоритм сложения (вычитания) алгебраических дробей, алгоритм отыскания общего знаменателя для нескольких алгебраических дробей, алгоритм приведения алгебраических дробей к общему знаменателю. Вообще говоря, программа предполагает, что в процессе изучения алгебры у учащихся должны быть сформированы прочные навыки в решении стандартных типов задач. В решении подобных задач учащимся помогают алгоритмы, вооружающие их общим методом решения однородных задач. Способность действовать по формальным правилам является важным умением, поэтому наличие в учебнике под ред. Мордковича А.Г.[3] четко определенных алгоритмов учит этому умению.

Однако обучение применению правил для решения стандартных  типов задач должно проводиться очень осторожно. Дело в том, что решение однообразных задач снижает уровень внимания учащегося. Ученик зачастую начинает применять известный ему алгоритм в тех случаях, где он неприменим. Также это ведет к исключению возможности применения рациональных приемов при решении задач. Например, при сложении алгебраических дробей полезно (вопреки алгоритму) посмотреть, нельзя ли каждую дробь предварительно сократить. Включение в систему упражнений таких примеров, как , покажет учащимся, что предварительное сокращение дробей значительно упрощает решение поставленной задачи.

В учебнике под ред. Дорофеева Г.В. [14] сформулированы практически все те же понятия, то и в учебнике под ред. Мордковича А.Г.[3], за исключением явного определения допустимых значений переменной. Еще одно отличие изложения материала в учебнике под ред. Дорофеева Г.В. [14] от учебника под ред. Мордковича А.Г.[3] – отсутствие строго сформулированных алгоритмов.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

1.4. Типичные ошибки  и затруднения учащихся при  изучении рациональных дробей  и действий над ними

Стоит заметить, что в  ходе выполнения упражнений по теме «Рациональные  дроби» учащимся потребуется довольно широкий круг опорных знаний и  умений. Это, прежде всего, умение выполнять  числовые подстановки в буквенные  выражения, выполнять действия с положительными и отрицательными числами, решать линейные уравнения, использовать для решения уравнения условие равенства произведения нулю, преобразовывать выражение в многочлен, в том числе с применением формул сокращенного умножения, раскладывать многочлен на множители.

При изучении рациональных дробей учащиеся наиболее часто делают следующие ошибки: 1) – довольно распространенная ошибка – «сокращение множителей отдельных слагаемых». Учитель должен обратить внимание на то, что при сокращении дробей используется основное свойство дроби. Следовательно, на 2 надо было делить весь числитель, а не только 2a. Для того чтобы ученик понял свою ошибку можно предложить ему решить этот же пример другим способом: записать дробное выражение не с помощью дробной черты, а при помощи знака «:» и, пользуясь распределительным законом, вычислить:

(2а + b) : 2c = (2a : 2c) + (b : 2c) = . Показать ученику, что полученный им результат, отличается от правильного.

2) . Учителю нужно обратить внимание учеников на то, что при замене знака перед дробью надо менять знаки у всех членов знаменателя или числителя на противоположные. Эта ошибка возникает, как правило, из-за того, что пропущен один шаг вычисления: . Для того чтобы не допускать подобные ошибки решение необходимо записывать подробно.

3) . Если ученики допускают подобную ошибку, необходимо обратить их внимание на то, что (a - b)² = (-1 · (b - a))² = (-1)²(b - a)² = (b - a)² .

4) = 0. Иногда ученики говорят, что «ничего не осталось». Им нужно объяснить, что здесь числитель и знаменатель разделен на (a – b) и в числители осталась 1.

Из действий с алгебраическими  дробями наиболее трудными являются сложение и вычитание. Поэтому на эти действия нужно уделять как можно больше времени и даже при изучении умножения и деления задавать на дом хотя бы по одному примеру на сложение. Основная трудность, с которой встречаются учащиеся, выполняя действия с дробями с разными знаменателями, - это приведение дробей к общему знаменателю. Учащиеся уже понимают, что преобразование окажется легче, если общий знаменатель будет простейшим. Упражнением, направленным на формирование умения находить общий знаменатель дробей, может служить пример вида: «Запишите общий знаменатель дробей: ». Еще одна формулировка задания, формирующего навык отыскания общего знаменателя, может звучать так: «Укажите простейший общий знаменатель дробей, входящих в выражение, а также дополнительный множитель для каждой дроби». Одним из затруднений в решении заданий данной темы также является нерациональное нахождение общего знаменателя дробей. Поэтому наряду с примерами, когда общий знаменатель является произведением знаменателей каждой дроби, целесообразно привести пример вида: . Заявить, что если общий знаменатель записать в виде произведения знаменателей, то получится довольно громоздкое выражение. Легко заметить, что общий знаменатель для этих дробей можно принять равный 12abc.

Также для устранения затруднений при изучении темы целесообразно во время изложения теоретического материала пользоваться различными средствами наглядности – таблицы, карточки, рисунки (см. Приложения).

 

Глава 2. Методика изучения рациональных дробей в курсе  алгебры 

основной школы

2.1. Методика изучения  основного свойства рациональной  дроби

Основное свойство дроби  должно быть хорошо усвоено учащимися. Нечеткое понимание этого свойства приводит к ошибкам типа «сокращение слагаемых».

Можно основное свойство алгебраической дроби не доказывать, а только сослаться на аналогичное свойство арифметических дробей и дать таблицу:

 

В арифметике	В алгебре

 

Доказать основное свойство алгебраической дроби можно так, как показано ниже:

В арифметике	В алгебре
3 : 4 =	a : b = (определение алгебраической дроби)
(3 · 2) : (4 · 2) = (рис. 1)	am : bm = (свойство частного)
(3 · 2) : (4 · 2) =	am : bm = (определение частного)
	(сравнение равенств)

 

                                                    

                                                                   

                                                     Рис. 1

Следует подчеркнуть, что  равенство  - тождество.

При таком доказательстве сначала дается числовой пример (запись слева), потом — доказательство в общем виде на буквах (запись справа).

При этом следует требовать  от учеников говорить, что числитель и знаменатель надо умножить (разделить), а не увеличить, так как с введением отрицательных чисел умножение не всегда ведет к увеличению.

Изменение знака в числителе  или в знаменателе встретится при вычислении    значений дробей по данным значениям входящих в них букв.

Пример 1. Найти значение дроби при x = - 4.

Решение.

	=
	x = - 4

 

Следующим видом упражнений будет сокращение дробей. Ученики должны понимать, что здесь используется основное свойство дроби, записанное в обратном порядке: .

До упражнений на сокращение дробей это тождество проверяют, например, при 1) а = 4; b = 5; т = 7; 2) а = —3; b = 2; т = 10; 3) а = 5; b = —20; т = — 8.

Можно просто сослаться на свойство арифметических дробей.

Упражнения на сокращение даются в следующей последовательности:

1) сокращение на число  (записано цифрами); 2) сокращение на одночлен; 3) сокращение на многочлен (числитель и знаменатель даны в виде произведения; 4) смена знака в числителе (знаменателе дроби); 5) смена знака и сокращение дроби; 6) сокращение, связанное с разложением членов дроби на множители.

Особенно обращают внимание на случай смены знаков в скобках.

Часть упражнений на сокращение дробей можно задать функционально.

Пример 2. Доказать, что дробь при всех допустимых значениях x и y имеет положительное значение.

Доказательство. = x² + y²  > 0, т.к. xy и потому одновременно не могут равняться нулю, кроме того, .

2.2. Формирование  основных алгоритмов действий  над 

рациональными   дробями

СЛОЖЕНИЕ  И   ВЫЧИТАНИЕ  АЛГЕБРАИЧЕСКИХ ДРОБЕЙ

Сложение алгебраических дробей начинают со случая сложения дробей с одинаковыми знаменателями.

Надо добиваться, чтобы  ученики понимали, что сложение таких дробей делается на основании распределительного закона деления:

.

Его можно напомнить или  повторить, пользуясь параллелью с арифметикой:

 

В арифметике	В алгебре
(15 + 25) : 5 = 15 : 5 + 25 : 5 = 3 + 5 = 8	(а + b) : т = а: т + b : т (распр. закон)
	(определение  дроби)
	Аналогично получим:

Чтобы получить правило сложения дробей, ученикам предлагают написать первое тождество в обратном порядке, то есть:

,

после чего можно предложить правило сложения таких дробей. Но можно начать со сложения и вычитания  дробей в арифметике и дать таблицу:

В арифметике	В алгебре

 

Аналогично дается правило  вычитания дробей с одинаковыми  знаменателями.

Первые упражнения на сложение дробей берут с одночленными знаменателями и числителями, причем все действия делают подробно.

Пример 1. .

Затем переходят к сложению дробей с одинаковыми одночленными знаменателями  и многочленными числителями.   Вначале в таких примерах лучше числители писать в скобках.

Пример 2. .

Когда переходят к сложению дробей с разными одночленными знаменателями и числителями, то первые 3—5 примеров делают подробно, объясняя, что сложение таких дробей сводится к сложению дробей с одинаковыми знаменателями. Сперва делают знаменатели дробей одинаковыми (приводят к общему знаменателю) и потом складывают их как дроби с одинаковыми знаменателями.

Пример 3. .

После двух-трех примеров  пишут  сразу  .

Приступая к сложению и  вычитанию дробей, у которых одночленные знаменатели, но многочленные числители, можно первые примеры брать только со сложением, чтобы не отвлекать внимание сменой знака.

Пример 4.

.

В дальнейшем, когда ученики  привыкнут к операции сложения дробей, можно будет, найдя общий знаменатель, надписать над данными дробями дополнительные множители и сразу выполнять умножение, то есть получить предпоследнюю запись, минуя запись со скобками.

В более сложных примерах на сложение дробей слабые и даже средние  ученики обычно испытывают затруднение при самостоятельном решении. Чтобы облегчить их работу, можно дать после анализа план решения следующим образом: дают пример, анализируют его, затем по требованию учителя ученик с места говорит, что надо сделать в первом шаге, а учитель записывает этот шаг и оставляет «чистый бланк» (или «пропуск») для заполнения, потом выясняют второй шаг и т. д., после чего на доске появится примерно такая запись:

= .

Некоторые упражнения на сложение и вычитание дробей могут дополнить  вопрос, связанный с исследованием. Например, после того как ученики  получили, что  , можно задать вопросы:

Что можно сказать о  значениях, которые принимает алгебраическая сумма данных дробей при а < 2; при а > 2? (При а < 2 — положительная.)

Может ли алгебраическая сумма  данных дробей равняться нулю? (Нет.)