Ранг матрицы: определение, методы нахождения, примеры, решения

Ранг матрицы: определение, методы нахождения, примеры, решения.

Ранг  матрицы представляет собой важную числовую характеристику. Наиболее характерной  задачей, требующей нахождения ранга  матрицы, является проверка совместности системы линейных алгебраических уравнений. В этой статье мы дадим понятие ранга матрицы и рассмотрим методы его нахождения. Для лучшего усвоения материала подробно разберем решения нескольких примеров.

Определение ранга матрицы и  необходимые дополнительные понятия.

Прежде  чем озвучить определение ранга матрицы, следует хорошо разобраться с понятием минора, а нахождение миноров матрицы подразумевает умение вычисления определителя. Так что рекомендуем при необходимости вспомнить теорию статьи методы нахождения определителя матрицы, свойства определителя.

Возьмем матрицу А порядка  . Пусть k – некоторое натуральное число, не превосходящее наименьшего из чисел m и n, то есть,  .

Определение.

Минором k-ого порядка матрицы А называется определитель квадратной матрицы порядка  , составленной из элементов матрицы А, которые находятся в заранее выбранных k строках и k столбцах, причем расположение элементов матрицы Асохраняется.

Другими словами, если в матрице А вычеркнуть (p–k) строк и (n–k) столбцов, а из оставшихся элементов составить матрицу, сохраняя расположение элементов матрицы А, то определитель полученной матрицы есть минор порядка k матрицы А.

Разберемся  с определением минора матрицы на примере.

Рассмотрим матрицу  .

Запишем несколько миноров первого порядка  этой матрицы. К примеру, если мы выберем  третью строку и второй столбец матрицы А, то нашему выбору соответствует минор первого порядка  . Иными словами, для получения этого минора мы вычеркнули первую и вторую строки, а также первый, третий и четвертый столбцы из матрицы А, а из оставшегося элемента составили определитель. Если же выбрать первую строку и третий столбец матрицыА, то мы получим минор  .

Проиллюстрируем процедуру получения рассмотренных  миноров первого порядка  
 и  .

Таким образом, минорами первого порядка  матрицы являются сами элементы матрицы.

Покажем несколько миноров второго порядка. Выбираем две строки и два столбца. К примеру, возьмем первую и вторую строки и третий и четвертый столбец. При таком выборе имеем минор второго порядка  . Этот минор также можно было составить вычеркиванием из матрицы А третьей строки, первого и второго столбцов.

Другим  минором второго порядка матрицы А является  .

Проиллюстрируем построение этих миноров второго порядка 
 и  .

Аналогично  могут быть найдены миноры третьего порядка матрицы А. Так как в матрице Авсего три строки, то выбираем их все. Если к этим строкам выбрать три первых столбца, то получим минор третьего порядка 

Он  также может быть построен вычеркиванием последнего столбца матрицы А.

Другим  минором третьего порядка является 
  
получающийся вычеркиванием третьего столбца матрицы А.

Вот рисунок, показывающий построение этих миноров  третьего порядка 
 и  .

Для данной матрицы А миноров порядка выше третьего не существует, так как  .

Сколько же существует миноров k-ого порядка матрицы А порядка  ?

Число миноров порядка k может быть вычислено как  , где   и   - число сочетаний из p по k и из n по k соответственно.

Как же построить все миноры порядка k матрицы А порядка p на n?

Нам потребуется  множество номеров строк матрицы   и множество номеров столбцов  . Записываем все сочетания из p элементов по k (они будут соответствовать выбираемым строкам матрицы А при построении минора порядка k). К каждому сочетанию номеров строк последовательно добавляем все сочетания из n элементов по k номеров столбцов. Эти наборы сочетаний номеров строк и номеров столбцов матрицы Апомогут составить все миноры порядка k.

Разберем  на примере.

Пример.

Найдите все миноры второго порядка матрицы  .

Решение.

Так как  порядок исходной матрицы равен 3 на 3, то всего миноров второго порядка будет  .

Запишем все сочетания из 3 по 2 номеров строк матрицы А: 1, 2; 1, 3 и 2, 3. Все сочетания из 3 по 2 номеров столбцов есть 1, 2; 1, 3 и 2, 3.

Возьмем первую и вторую строки матрицы А. Выбрав к этим строкам первый и второй столбцы, первый и третий столбцы, второй и третий столбцы, получим соответственно миноры 

Для первой и третьей строк при аналогичном  выборе столбцов имеем 

Осталось  ко второй и третьей строкам добавить первый и второй, первый и третий, второй и третий столбцы: 

Итак, все девять миноров второго порядка  матрицы А найдены.

Сейчас  можно переходить к определению  ранга матрицы.

Определение.

Ранг матрицы – это наивысший порядок минора матрицы, отличного от нуля.

Ранг  матрицы А обозначают как Rank(A). Можно также встретить обозначения Rg(A) илиRang(A).

Из  определений ранга матрицы и  минора матрицы можно заключить, что ранг нулевой матрицы равен  нулю, а ранг ненулевой матрицы  не меньше единицы.

Нахождение ранга матрицы по определению.

Итак, первым методом нахождения ранга  матрицы является метод перебора миноров. Этот способ основан на определении ранга матрицы.

Пусть нам требуется найти ранг матрицы А порядка  .

Вкратце опишем алгоритм решения этой задачи способом перебора миноров.

Если  есть хотя бы один элемент матрицы, отличный от нуля, то ранг матрицы как  минимум равен единице (так как  есть минор первого порядка, не равный нулю).

Далее перебираем миноры второго порядка. Если все миноры второго порядка равны нулю, то ранг матрицы равен единице. Если существует хотя бы один ненулевой минор второго порядка, то переходим к перебору миноров третьего порядка, а ранг матрицы как минимум равен двум.

Аналогично, если все миноры третьего порядка равны нулю, то ранг матрицы равен двум. Если существует хотя бы один минор третьего порядка, отличный от нуля, то ранг матрицы как минимум равен трем, а мы преступаем к перебору миноров четвертого порядка.

И так  далее.

Отметим, что ранг матрицы не может превышать наименьшего из чисел p и n.

Пример.

Найдите ранг матрицы  .

Решение.

Так как  матрица ненулевая, то ее ранг не меньше единицы.

Минор второго порядка   отличен от нуля, следовательно, ранг матрицы А не меньше двух. Переходим к перебору миноров третьего порядка. Всего их   штук. 
 
 

Все миноры третьего порядка равны нулю. Поэтому, ранг матрицы равен двум.

Ответ:

Rank(A) = 2.

Нахождение ранга матрицы методом  окаймляющих миноров.

Существуют  другие методы нахождения ранга матрицы, которые позволяют получить результат  при меньшей вычислительной работе.

Одним из таких методов  является метод окаймляющих миноров.

Разберемся с понятием окаймляющего минора.

Говорят, что минор М_ок (k+1)-ого порядка матрицы А окаймляет минор M порядка k матрицыА, если матрица, соответствующая минору М_ок , «содержит» матрицу, соответствующую минору M.

Другими словами, матрица, соответствующая окаймляемому минору М, получается из матрицы, соответствующей окаймляющему минору M_ок , вычеркиванием элементов одной строки и одного столбца.

Для примера рассмотрим матрицу   и возьмем минор второго порядка  . Запишем все окаймляющие миноры: 

Метод окаймляющих  миноров обосновывается следующей  теоремой (приведем ее формулировку без  доказательства).

Теорема.

Если  все миноры, окаймляющие минор k-ого порядка матрицы А порядка p на n, равны нулю, то все миноры порядка (k+1) матрицы А равны нулю.

Таким образом, для нахождения ранга матрицы  не обязательно перебирать все миноры, достаточно окаймляющих. Количество миноров, окаймляющих минор k -ого порядка матрицыА порядка  , находится по формуле  . Отметим, что миноров, окаймляющих минор k-ого порядка матрицы А, не больше, чем миноров (k + 1)-ого порядка матрицы А. Поэтому, в большинстве случаев использование метода окаймляющих миноров выгоднее простого перебора всех миноров.

Перейдем к нахождению ранга матрицы методом окаймляющих миноров. Кратко опишемалгоритм этого метода.

Если  матрица А ненулевая, то в качестве минора первого порядка берем любой элемент матрицы А, отличный от нуля. Рассматриваем его окаймляющие миноры. Если все они равны нулю, то ранг матрицы равен единице. Если же есть хотя бы один ненулевой окаймляющий минор (его порядок равен двум), то переходим к рассмотрению его окаймляющих миноров. Если все они равны нулю, то Rank(A) = 2. Если хотя бы один окаймляющий минор отличен от нуля (его порядок равен трем), то рассматриваем его окаймляющие миноры. И так далее. В итоге Rank(A) = k, если все окаймляющие миноры (k + 1)-ого порядка матрицы А равны нулю, либо Rank(A) = min(p, n), если существует ненулевой минор, окаймляющий минор порядка(min(p, n) – 1).

Разберем  метод окаймляющих миноров для  нахождения ранга матрицы на примере.

Пример.

Найдите ранг матрицы   методом окаймляющих миноров.

Решение.

Так как  элемент a_{1 1} матрицы А отличен от нуля, то возьмем его в качестве минора первого порядка. Начнем поиск окаймляющего минора, отличного от нуля: 

Найден  окаймляющий минор второго порядка, отличный от нуля  . Переберем его окаймляющие миноры (их   штук): 

Все миноры, окаймляющие минор второго порядка  , равны нулю, следовательно, ранг матрицы А равен двум.

Ответ:

Rank(A) = 2.

Пример.

Найдите ранг матрицы   с помощью окаймляющих миноров.

Решение.

В качестве отличного от нуля минора первого  порядка возьмем элемент a_{1 1} = 1матрицы А. Окаймляющий его минор второго порядка   не равен нулю. Этот минор окаймляется минором третьего порядка  . Так как он не равен нулю и для него не существует ни одного окаймляющего минора, то ранг матрицы Аравен трем.

Ответ:

Rank(A) = 3.

К началу страницы

Нахождение ранга с помощью  элементарных преобразований матрицы (методом Гаусса).

Рассмотрим  еще один способ нахождения ранга  матрицы.

Следующие преобразования матрицы называют элементарными:

• перестановка местами строк (или столбцов) матрицы;
• умножение всех элементов какой-либо строки (столбца) матрицы на произвольное число k, отличное от нуля;
• прибавление к элементам какой-либо строки (столбца) соответствующих элементов другой строки (столбца) матрицы, умноженных на произвольное число k.

Матрица В называется эквивалентной матрице А, если В получена из А с помощью конечного числа элементарных преобразований. Эквивалентность матриц обозначается символом « ~ », то есть, записывается A ~ B.

Нахождение  ранга матрицы с помощью элементарных преобразований матрицы основано на утверждении: если матрица В получена из матрицы А с помощью конечного числа элементарных преобразований, то Rank(A) = Rank(B).

Справедливость  этого утверждения следует из свойств определителя матрицы:

• При перестановке строк (или столбцов) матрицы ее определитель меняет знак. Если он равен нулю, то при перестановке строк (столбцов) он остается равным нулю.
• При умножении всех элементов какой-либо строки (столбца) матрицы на произвольное число k отличное от нуля, определитель полученной матрицы равен определителю исходной матрицы, умноженному на k. Если определитель исходной матрицы равен нулю, то после умножения всех элементов какой-либо строки или столбца на число k определитель полученной матрицы также будет равен нулю.
• Прибавление к элементам некоторой строки (столбца) матрицы соответствующих элементов другой строки (столбца) матрицы, умноженных на некоторое число k, не изменяет ее определителя.

Суть метода элементарных преобразований заключается в приведении матрицы, ранг которой нам требуется найти, к трапециевидной (в частном случае к верхней треугольной) с помощью элементарных преобразований.

Для чего это делается? Ранг матриц такого вида очень легко найти. Он равен количеству строк, содержащих хотя бы один ненулевой элемент. А так как ранг матрицы при проведении элементарных преобразований не изменяется, то полученное значение будет рангом исходной матрицы.

Приведем  иллюстрации матриц, одна из которых  должна получиться после преобразований. Их вид зависит от порядка матрицы.

• Для прямоугольных матриц А порядка p на n, число строк которых больше числа столбцов (p > n). 
    
  или  
  
• Для прямоугольных матриц А порядка p на n, число строк которых меньше числа столбцов (p < n). 
    
  или  
  
• Для квадратных матриц А порядка n на n. 
    
  или  
  

Эти иллюстрации  являются шаблонами, к которым будем  преобразовывать матрицу А.

Опишем алгоритм метода.

Пусть нам требуется найти ранг ненулевой  матрицы А порядка   (p может быть равно n).

Будем считать, что элемент a₁₁ отличен от нуля. В противном случае мы можем перестановкой строк и (или) столбцов преобразовать матрицу так, чтобы «новый» элемент a₁₁ стал ненулевым.

Итак,  . Умножим все элементы первой строки матрицы А на  . При этом получим эквивалентную матрицу, обозначим ее А⁽¹⁾: 

К элементам  второй строки полученной матрицы А⁽¹⁾ прибавим соответствующие элементы первой строки, умноженные на  . К элементам третьей строки прибавим соответствующие элементы первой строки, умноженные на  . И так далее до p-ой строки. Получим эквивалентную матрицу, обозначим ее А⁽²⁾: 

Если  все элементы полученной матрицы, находящиеся  в строках со второй по p-ую, равны нулю, то ранг этой матрицы равен единице, а, следовательно, и ранг исходной матрицы равен единице.

Если же в строках со второй по p-ую есть хотя бы один ненулевой элемент, то продолжаем проводить преобразования. Причем действуем абсолютно аналогично, но лишь с отмеченной на рисунке частью матрицы А⁽²⁾ 

Если  , то переставляем строки и (или) столбцы матрицы А⁽²⁾ так, чтобы «новый» элемент   стал ненулевым.

Итак,  . Умножаем каждый элемент второй строки матрицы А⁽²⁾ на  . Получаем эквивалентную матрицу А⁽³⁾: 

К элементам  третьей строки полученной матрицы А⁽³⁾ прибавим соответствующие элементы второй строки, умноженные на  . К элементам четвертой строки прибавим соответствующие элементы второй строки, умноженные на  . И так далее до p-ой строки. Получим эквивалентную матрицу, обозначим ее А⁽⁴⁾: