Ранг матрицы: определение, методы нахождения, примеры, решения

Если  все элементы полученной матрицы, находящиеся  в строках с третьей по p-ую, равны нулю, то ранг этой матрицы равен двум, а, следовательно, Rank(A) = 2.

Если  же в строках с третьей по p-ую есть хотя бы один ненулевой элемент, то продолжаем проводить преобразования. Причем действуем абсолютно аналогично, но лишь с отмеченной на рисунке частью матрицы А⁽⁴⁾: 

И так  действуем дальше, пока не придем к  одному из рассмотренных выше шаблонов, что позволит определить ранг исходной матрицы.

Разберем  решения нескольких примеров.

Пример.

Найдите ранг матрицы   с помощью элементарных преобразований.

Решение.

Так как  элемент a_{1 1} отличен от нуля, то умножим элементы первой строки матрицы Ана  : 

Прибавим  к элементам второй строки соответствующие  элементы первой строки, умноженные на (- 3). К элементам третьей строки прибавим элементы первой строки, умноженные на (- 1). И так далее: 

Элемент   отличен от нуля, поэтому мы можем умножить элементы второй строки матрицы А⁽²⁾ на  : 

К элементам  третьей строки полученной матрицы  прибавляем соответствующие элементы второй строки, умноженные на  ; к элементам четвертой строки – элементы второй строки, умноженные на  ; к элементам пятой строки – элементы второй строки, умноженные на  : 

Все элементы третьей, четвертой и пятой строк  полученной матрицы равны нулю. Так  с помощью элементарных преобразований мы привели матрицу А к трапецеидальному виду, откуда видно, что Rank(A⁽⁴⁾) = 2. Следовательно, ранг исходной матрицы также равен двум.

Замечание.

ОБРАТИТЕ  ВНИМАНИЕ: при проведении элементарных преобразований не допускаются приближенные вычисления!

Рассмотрим  еще один пример.

Пример.

Методом элементарных преобразований найдите  ранг матрицы  .

Решение.

Поменяем  местами первую и вторую строки матрицы А, так как элемент a_{1 1} равен нулю, а элемент a₂₁ отличен от нуля: 

В полученной матрице элемент   равен единице, поэтому не нужно производить умножение элементов первой строки на  . Сделаем все элементы первого столбца, кроме первого, нулевыми: 

Так первый столбец преобразован к нужному  виду.

Элемент   в полученной матрице отличен от нуля. Умножим элементы второй строки на  : 

Второй  столбец полученной матрицы имеет  нужный вид, так как элемент   уже равен нулю.

Так как  , а  , то поменяем местами третий и четвертый столбцы: 

Умножим третью строку полученной матрицы на  : 

На  этом заканчиваем преобразования. Получаем Rank(A⁽⁵⁾)=3, следовательно,Rank(A)=3.

Ответ:

ранг  исходной матрицы равен трем.

К началу страницы

Подведем итог.

Мы  разобрали понятие ранга матрицы  и рассмотрели три способа его нахождения:

• по определению методом перебора всех миноров;
• методом окаймляющих миноров;
• методом элементарных преобразований.

Целесообразно всегда использовать метод элементарных преобразований при нахождении ранга  матрицы, так как он приводит к результату при меньшем объеме вычислений, по сравнению с методом окаймляющих миноров, и тем более в сравнении с методом перебора всех миноров матрицы.