Различные трактовки определения пирамиды

Высотой усеченной пирамиды называется перпендикуляр, проведенный из какой-нибудь точки одного основания на плоскость другого основания. Сечение плоскостью, проходящей через два боковых ребра усеченной пирамиды, не лежащих в одной грани, называется диагональным.

Например, многогранник ABCDA1B1C1D1 – усеченная пирамида (рис. 12). Плоский многоугольник ABCDE и сечение A1B1C1D1 – основания усеченной пирамиды.

Трапеции A1E1EA, E1D1DE, C1D1DC, B1C1CB, A1B1BA – боковые грани. HH1 – высота. E1C1CE – диагональное сечение усеченной пирамиды.

Теорема: Если пирамида пересечена плоскостью, параллельной основанию, то:

1.  Боковые ребра и высота пирамиды делятся этой плоскостью на пропорциональные части;

2.  Сечение – это многоугольник, подобный основанию;

3.  Площади сечения и основания относятся как квадраты их расстояний от вершины;

Следствие: Площадь сечения параллельного основанию пирамиды – квадратная функция расстояния его плоскости от вершины (или основания) пирамиды.

Чтобы построить усеченную пирамиду, сначала намечают карандашом полную пирамиду, проводят сечение, параллельное основанию, проводят ребра усеченной пирамиды, а верхнюю часть стирают.

 

Правильная усеченная пирамида

 

Усеченная пирамида называется правильной, если она составляет часть правильной пирамиды (рис. 13).

Высота боковой грани правильной усеченной пирамиды называется апофемой.

Например, KK1 – апофема правильной усеченной пирамиды. Прямая OO1называется осью правильной усеченной пирамиды.

Площадь пирамиды

Боковая поверхность правильной пирамиды равна произведению полупериметра основания на апофему.

Доказательство:

Если сторона основания а, число сторон n, то боковая поверхность пирамиды равна:

a∙l∙n/2 =a∙n∙l/2=pl/2

где l – апофема, а p – периметр основания пирамиды. Теорема доказана.

Эта формула читается так:

Площадь боковой поверхности правильной пирамиды равна половине произведения периметра основания на апофему пирамиды.

Sбок = pl/2

Площадь полной поверхности пирамиды вычисляется по формуле:

Sполн = Sбок + Sосн

Если пирамида неправильная, то ее боковая поверхность будет равна сумме площадей ее боковых граней.         

 

 

5. ПЛОЩАДЬ БОКОВОЙ И ПОЛНОЙ ПОВЕРХНОСТИ УСЕЧЕННОЙ ПИРАМИДЫ

 

Теорема: Площадь боковой поверхности правильной усеченной пирамиды равна произведению полусуммы периметров оснований на апофему.

Дано: n-угольная правильная усеченная пирамида, l – апофема, p и p1 – периметры оснований.

Доказать: Sбок = ½(p+p1) ∙l

Доказательство: В правильной усеченной пирамиде все боковые грани – равные между собой трапеции. Пусть основания трапеции a и a1, ее высота k, тогда Sгр. = ½(a + a1)∙l, таких граней n,

следовательно, Sбок = n ½ (a + a1) l = ½ (na + na1)∙l, т.е. Sбок = ½ (p+p1)∙l

Теорема доказана.

 

6. ИЗМЕРЕНИЕ ОБЪЕМА ПИРАМИДЫ

 

Пусть SABC – треугольная пирамида с вершиной S и основанием ABC. Дополним эту пирамиду до треугольной призмы с тем же основанием и высотой (рис. 14). Эта призма составлена из трех пирамид: данной пирамиды SABCD и еще двух треугольных пирамид SCC1B1 и SCBB1.

У второй и третьей пирамид равные основания – ∆CC1B1 и ∆B1BC и общая высота, проведенная из вершины S. Поэтому у них равные объемы.

У первой и третьей пирамид тоже равные основания – ∆SAB и ∆BB1C и совпадающие высоты, проведенные из вершины C. Поэтому у них тоже равные объемы.

Значит, все три пирамиды имеют один и тот же объем. Так как сумма этих объемов равна объему призмы, то объемы пирамид равны SH/3.

Итак, объем любой треугольной пирамиды равен одной трети произведения площади основания на высоту:

V = 1/3∙SH

Пусть теперь имеем любую, не обязательно треугольную пирамиду. Разобьем ее основание на треугольники ∆1, ∆2, …∆n . Пирамиды, у которых основаниями являются эти треугольники, а вершинами – вершина данной пирамиды, составляют данную пирамиду. Объем данной пирамиды равен сумме объемов составляющих ее пирамид. Т.к. все они имеют ту же высоту H, что и данная пирамида, то объем ее равен:

V = 1/3∙H ∙ (S1 + S2 + …Sn) = 1/3∙SH

Итак, объем любой пирамиды равен одной трети произведения площади ее основания на высоту.

V = 1/3∙SH

Объем усеченной пирамиды

 

Теорема: Объем усеченной пирамиды равен V = h/3∙(S+S1+√SS1)

Дано: ABCDA1B1C1D1 – усеченная пирамида (рис. 15), S и S1 – площади оснований,h – высота.

Доказать: V = h/3∙(S+S1+√SS1)

Доказательство: В усеченной пирамиде площадь сечения плоскостью, параллельной основанию, есть квадратная функция от расстояния сечения до этого основания. Значит, применима формула Симпсона:

(1) V = h/6∙(Sн + 4Sc + Sв)

 

Sн = S, Sв = S1.Найдем Sc.

 

Пусть A2B2C2D2 – среднее сечение. Примем AB = a, A1B1 = a1, A2B2 = x. Основания и среднее сечение – подобные многоугольники, и потому

 

S : Sc : S1 = a2 : x2 : a12

отсюда

(2) a : x : a1 = √S : √Sc : √S1

 

AA1B1B – трапеция, x – ее средняя линия, значит,

 

(3) = (a + a1)/2

 

Из (2) следует, что a = m√S, x = m√Sc, a1 = m√S1, где m – общая мера. Подставим эти значения в (3):

 

m√Sc = (m√S + m√S1)/2, значит, √Sc = (√S + √S1)/2

 

Sc = (√S + √S1)2/4.

 

Подставим значения Sн, Sв и Sc в (1):

 

V = h/6∙[S + (√S + √S1)2 + S1] = h/6[S + S + 2√SS1 + S1 + S1], т.е.

 

V = h/3∙(S+S1+√SS1)

 

7. ТЕТРАЭДР

 

Изо всех рассмотренных пирамид наибольший интерес у меня проявляется к простейшей пирамиде, называемой тетраэдром. Я постараюсь более подробно рассмотреть тетраэдр и его свойства.

Слово «тетраэдр» образовано из двух греческих слов: tetra – «четыре» и hedra – «основание, грань». Тетраэдр ABCD задается четырьмя своими вершинами – точками A, B, C, D, не лежащими в одной плоскости: грани тетраэдра – четыре треугольника; ребер у тетраэдра шесть. В отличие от произвольной пирамиды (n – угольной пирамиды, n≥4) в качестве основания тетраэдра может быть выбрана любая его грань.

Как треугольник – простейший многоугольник, так тетраэдр, или треугольная пирамида – простейший многогранник. Геометрия тетраэдра ничуть не менее богата, чем геометрия его плоского собрата – треугольника, многие свойства которого в преображенном виде мы находим у тетраэдра. Немало общего имеет тетраэдр с четырехугольником – ведь у обоих по четыре вершины.

Треугольники принято классифицировать по степени их симметричности: правильные или равносторонние треугольники имеют три оси симметрии, равнобедренные – одну. Самый симметричный тетраэдр правильный, ограниченный четырьмя правильными треугольниками. Он имеет 6 плоскостей симметрии – они проходят через каждое ребро перпендикулярно противолежащему ребру и 3 оси симметрии, проходящие через середины противолежащих ребер. Менее симметричны правильные треугольные пирамиды (т.е. тетраэдры с равными гранями – 3 оси симметрии). Правильная пирамида переходит сама в себя при поворотах вокруг высоты на 120˚ и 240˚, а также при симметриях относительно плоскостей, проходящих через ось и боковые ребра. По сложившейся не очень логичной традиции, термин «правильный тетраэдр» обозначает частный случай правильной треугольной пирамиды – тетраэдр, у которого все ребра равны, т.е. все грани – равносторонние треугольники. Такой тетраэдр обладает наибольшим набором самосовмещений. Имеется 12 поворотов, переводящих его в себя, 6 симметрий относительно плоскостей и еще 6 движений, сочетающих поворот с симметрией.

Правильный тетраэдр – не что иное, как «стереометрический близнец» самого симметричного треугольника – правильного.

Тетраэдр и сферы

 

Любой треугольник имеет единственную вписанную и описанную окружности. Точно также у любого тетраэдра есть единственная вписанная (касающаяся всех граней) и единственная описанная (проходящая через все вершины) сферы. Доказательства этих свойств повторяют соответствующие планиметрические: центр вписанной сферы равноудален от всех вершин и лежит на пересечении перпендикуляров, восстановленных к граням из центров их описанных окружностей (т.е. четыре перпендикуляра пересекаются в одной точке). Но кроме граней и вершин тетраэдр имеет еще и ребра. Возникает вопрос: можно ли провести сферу, касающуюся всех его шести ребер (ее называют полувписанной; рис. 16)?

…Иногда. Здесь тетраэдр ведет себя, как четырехугольник, и условия существования полувписанной сферы повторяет признак описанного четырехугольника: такая сфера существует тогда и только тогда, когда суммы длин каждой пары противоположных ребер тетраэдра равны между собой:

AB + CD = AC + BD = AD + BC

Тетраэдры, имеющие полувписанную сферу, называются каркасными. По сути дела, это все тот же планиметрический признак, но примененный к пространственным четырехугольникам – в данном случае четырехугольникам, образованным двумя парами противоположных ребер тетраэдра. Но еще большие неожиданности обнаруживаются при исследовании вневписанных сфер тетраэдра, т.е. сфер, касающихся плоскостей всех четырех его граней, но лежащих вне тетраэдра. Как известно, у любого треугольника имеется три вневписанные окружности. Плоскости граней тетраэдра разбивают пространство на 15 областей (рис. 17). Кроме четырех трехгранных углов, примыкающих к вершинам, остальные 11 областей ограничены всеми четырьмя плоскостями. Внутри тетраэдра, а также внутри четырех «постаментов» – областей, примыкающих к граням, – сфера, касающаяся всех плоскостей, всегда есть. А вот с шестью областями, примыкающими к ребрам и по форме напоминающими четырехскатные крыши или чердаки, дело обстоит сложнее. Оказывается, из двух «чердаков» при противоположных ребрах только у одного может быть вписанная сфера. Таким образом, у правильного тетраэдра – а у него все «чердаки» одинаковы – «чердачных» сфер вообще нет, иначе они присутствовали бы во всех «чердаках». Итак, тетраэдр имеет не менее четырех и не более семи вневписанных сфер, причем все промежуточные случаи возможны.

Медианы тетраэдра

 

Для любого тетраэдра справедлив аналог теоремы о пересечении медиан треугольника в одной точке, в которой они делятся в отношении 2:1. Так, 6 плоскостей, проведенных через ребра тетраэдра и середины противолежащих ребер, пересекаются в одной точке – в центроиде тетраэдра.

Медианами в тетраэдре называются отрезки, соединяющие его вершины с центроидами противоположных граней. Эти четыре отрезка всегда пересекаются в одной точке M и делятся в ней в отношении 3:1, считая от вершин (рис. 18).

Через ту же точку проходят и бимедианы – отрезки, соединяющие середины противоположных ребер тетраэдра, причем они делятся точкой M пополам.

Центроид тетраэдра, как и центроид треугольника, является центром равных масс, помещенных в его вершины, – обстоятельство, которое можно использовать для доказательства приведенных выше свойств. Чисто геометрически их можно доказать с помощью следующей полезной конструкции.

Проведем через каждое ребро тетраэдра плоскость, параллельную противоположному ребру (рис. 19). Получим три пары параллельных плоскостей, ограничивающих параллелепипед, называемый описанным параллелепипедом тетраэдра. Ребра тетраэдра являются диагоналями граней параллелепипеда, середины ребер – их центроидами. Отсюда следует, что все бимедианы проходят через центр O параллелепипеда и делятся им пополам. Нетрудно увидеть, что медианы тетраэдра лежат на диагоналях граней параллелепипеда и также проходят через точку O.

 

 

Ортоцентрический и прямоугольный тетраэдры

 

Медианы тетраэдра «ведут себя примерно» – как и в треугольнике, они всегда проходят через одну и ту же точку. Иначе обстоит дело с высотами – перпендикулярами, опущенными из вершин тетраэдра на противоположные грани. Высоты треугольника пересекаются в одной точке – ортоцентре. То же верно и для правильных тетраэдров, в частности для правильных треугольных пирамид. Но, например, у тетраэдра ABCD, вписанного в куб, как показано на рис. 20, ребра AB и DCсами являются высотами и не пересекаются.

И все же ортоцентр существует у достаточно широкого класса тетраэдров. Они так и называются – ортоцентрические тетраэдры. Любой из них можно получить, взяв в качестве основания произвольный треугольник и соединив его вершины с любой точкой на перпендикуляре к его плоскости, восстановленном из его ортоцентра (рис. 21). И обратно, основания всех высот ортоцентрического тетраэдра – ортоцентры его граней. Приведем еще несколько критериев (т.е. необходимых и достаточных условий) ортоцентричности: тетраэдр является ортоцентрическим тогда и только тогда, когда его противоположные ребра перпендикулярны; или середины всех шести ребер лежат на одной сфере; или все ребра описанного параллелепипеда равны.

Некоторые свойства треугольника, связанные с ортоцентром, например теорема о прямой Эйлера и об окружности девяти точек в соответственно измененном виде, можно найти и у ортоцентрического тетраэдра.