Различные трактовки определения пирамиды

Центроид ортоцентрического тетраэдра лежит на отрезке между ортоцентром H и центром описанной сферыO и делит этот отрезок пополам, а точка, которая разбивает отрезок OH в отношении 1:2 является центром «сферы 12 точек» – на ней лежат ортоцентры и центроиды всех граней, а также точки, делящие отрезки от Hдо вершин в отношении 1:2. Доказательства этих теорем не так уж и сложны, хотя и требуют пространственного воображения.

Об одном виде ортоцентрических тетраэдров стоит сказать отдельно – о тетраэдре, в вершине которого сходятся три взаимно перпендикулярных ребра (рис. 22). Очевидно, эта вершина M и будет его ортоцентром. Такой тетраэдр называется прямоугольным. Для него выполняется своего рода «теорема Пифагора»: если S1, S2, S3 – площади его прямоугольных граней («катетов»), а S – площадь четвертой грани («гипотенузы»), то:

S2= S12+ S22+ S32

В самом деле, проекции трех «катетов» на «гипотенузу» разбивают ее на три треугольника. Поскольку при проекции площадь фигуры умножается на косинус угла между ее плоскостью и плоскостью проекции, то:

(*) S=S1 ∙cos α1+S2∙ cos α2+S3 ∙cos α3

где α1 – угол между плоскостями «гипотенузы» и соответствующего «катета». В то же время каждый из «катетов» совпадает с проекцией «гипотенузы» на его плоскость, поэтому cos αi=Si/S. Остается подставить выражение косинусов через площади в уравнение (*).

 

Равногранный тетраэдр

 

Как мы определяем правильный, или равносторонний, треугольник? Естественно, как треугольник, все стороны которого равны. А что такое «стороны» тетраэдра? Если считать, что это ребра, то аналогичное стереометрическое определение приведет к понятию правильного тетраэдра? Но может быть «сторонами» тетраэдра следует считать его грани? Тогда мы приходим к следующему определению: тетраэдр, все грани которого равны (т.е. являются равными треугольниками), называется равногранным. На первый взгляд равногранный тетраэдр – это правильный тетраэдр, и никакой другой. В действительности гранью равногранного тетраэдра может быть любой остроугольный треугольник. Перечислим важнейшие свойства равногранных тетраэдров. Первые два свойства указывают и общий способ их построения:

1.      описанный параллелепипед равногранного тетраэдра – прямоугольный (рис. 23);

2.     развертка тетраэдра, полученная при разрезании его по трем сходящимся в одной вершине ребрам, – треугольник (рис. 24; этот треугольник должен быть остроугольным, потому что тупоугольный или прямоугольный при сгибании по соседним линиям не сложится в тетраэдр). Набор самосовмещений произвольного равногранного тетраэдра не так богат, как у правильного тетраэдра.

3.      у него имеется три оси симметрии (это общие перпендикуляры, проведенные к противоположным ребрам, они же бимедианы; рис. 23). Однако этих симметрий хватает, чтобы можно было совместить любые две указанные грани или вершины, но не ребра.

Пользуясь свойствами 1 – 3 и непосредственно определением, легко вывести, что у равногранного тетраэдра:

4.       все трехгранные углы равны;

5.      все медианы равны;

6.      все высоты равны;

7.      центры вписанной и описанной сфер и центроид совпадают;

8.      радиусы описанных окружностей граней равны;

9.      периметры граней равны;

10.                                                                                 площади граней равны;

Некоторые из этих свойств настолько очевидны, что на первый взгляд даже не заслуживают упоминания. Замечательно другое: все эти свойства равносильны друг другу и каждое из них в отдельности обеспечивает равногранность тетраэдра. Более всего впечатляет свойство 10: Для равенства граней тетраэдра достаточно, чтобы были равны между собой их площади!

Итак, все десять перечисленных условий являются одновременно и свойствами и признаками равногранного тетраэдра. Чтобы вывести равногранность из какого-нибудь условия, надо выстроить целую цепочку промежуточных условий, в которой каждое последующее – прямое следствие предыдущего.

Задачи

1. Одно из самых  грандиозных сооружений древности  – пирамида Хеопса – имеет  форму правильной четырехугольной  пирамиды с высотой ≈150 м и боковым ребром ≈ 220 м. Найдите объем и площадь боковой поверхности этой пирамиды.

2. Крыша имеет  форму пирамиды с квадратным  основанием 4,5 м × 4,5 м и углом наклона грани к основанию в 45˚. Сколько листов железа размером70 см × 140 см нужно для покрытия крыши, если на отходы нужно добавить 10% площади крыши?

3. На рис. 25 изображена треугольная  пирамида, в которой проведены  два отрезка, соединяющие точки  на его противоположных ребрах. Можно ли по рисунку определить  пересекаются эти отрезки в  пространстве или нет? А если  можно, то как?

Решение задач

1.

Дано: SABCD – правильная четырехугольная пирамида;SO – высота; SO = 150 м; SA – боковое ребро; SA = 220 м;

Найти: VSABCD; Sбок

Решение: V = 1/3SABCD SO; Sбок = p∙SK/2

Рассм. ∆SOC ( O = 90˚)

По теореме Пифагора: OC = √SC2 – SO2 = √2202 – 1502= √48400 – 22500 = √25900 (м) ≈ 161 м

т.к. ABCD – правильный прямоугольник, то: AB = OC√2 = √25900*2 = √51800 (м) ≈ 228 (м)

Рассм. ∆ SCD (SC = CD = SD)

CK = ½ CD; CK = 228/2 = 114 (м)

Рассм. ∆SKC ( K = 90˚)

По теореме Пифагора: SK = √SC2 – CK2; SK = √2202 – 1142 = √48400 – 12996 = √35404 ≈ 188 (м)

Периметр основания: p = 4∙228 = 912 (м)

Находим Sбок = 4∙228∙114/2 = 51984 (м2)

Sосн = AB2; Sосн = 2282 = 51984 (м2)

Находим V = 1/3SABCD SO = 1/3∙51984∙150 = 2599200 (м3)

Ответ: 51984 м2; 2599200 м3.

2.

Дано: SABCD – Правильная четырехугольная пирамида. AB = BC = 4,5 м  SCO = 45˚; размеры листа: 70 см × 140 см; отходы: 10%

Найти: N

Решение: N = (Sбок + Sотх )/Sлиста

Sбок = 4∙S∆CSD =4 ½ CD∙SK = 2CD∙SK

Рассм. ∆SOC ( O = 90˚; 

т.к. сумма углов в треугольнике равна 180˚, то  S = 180˚ – 90˚ – 45˚ = 45˚ → SO =OC

т.к. ABCD – правильный четырехугольник, то OK = CD/2 = 4,5/2 = 2, 25 (м)

Рассм. ∆OKC ( K = 90˚; OK = CK)

По теореме Пифагора: OC = √2OK2 = √2∙5, 0625 ≈ 3, 2 (м) → SO = 3, 2 (м)

Рассм. ∆SOK ( O = 90˚)

По теореме Пифагора: SK = √SO2 + OK2 = √10, 24 + 5, 0625 = √15, 3 ≈ 3, 9 (м)

Sбок = 2∙4, 5∙3, 9 = 35, 1 (м2)

Sотх = Sбок∙0, 1 = 35, 1∙0, 1 = 3, 51 (м2)

Sлиста = 0, 7∙1, 4 = 0, 98 (м2)

N = (35, 1 + 3, 51)/0, 98 = 40

Ответ: 40 листов

3. Можно. Отрезки  пересекаются (т.е. лежат в одной  плоскости) тогда и только тогда, когда либо точка пересечения  синих прямых лежит на прямой AB, либо они параллельны.

 

 
ЗАКЛЮЧЕНИЕ

 

Я рассмотрела большую тему о пирамидах, прочитала массу литературы об этих замечательных фигурах. Эта тема вызвала у меня неподдельный интерес. Я подробно рассмотрела элементы пирамиды, изучила основные свойства, решила множество задач на нахождение площади боковой поверхности и объема пирамиды.… Но это, конечно, не предел моего рассмотрения, на этом невозможно поставить точку. Во-первых, потому, что можно найти еще множество различной литературы по этой теме, а во-вторых, исследования пирамид продолжаются и сегодня. Этим занимаются ученые США, Японии, ФРГ и других государств. Ученые всех специальностей: астрономы и математики, химики и врачи, генетики и геронтологи – пытаются разгадать тайну пирамид и более подробно изучить их свойства.

Пирамида имеет широкое применение в строительстве домов, различных сооружений. Я думаю, что я в жизни столкнусь еще не раз с этой фигурой, и круг моих знаний будет расширен. Советую учащимся интересоваться не только элементарными сведениями о пирамиде, но и изучать их глубже, что и сделала я.

 

СПИСОК ИСПОЛЬЗОВАННОЙ ЛИТЕРАТУРЫ

 

1. Аксёнова М.Д. Энциклопедия для детей. М.: «Аванта +», 2010.
2. Антонов В.Ф. Биофизика. М.: «Владос», 2010.
3. Барыбин Н.А. Геометрия: Учебник для 10 – 11, М.: Просвещение, 2011.
4. Димде М. Целительная сила пирамид, М.: изд. Гранд, 2012.
5. Киреев А. Лечебные пирамиды: возможное и действительное. М.: Просвещение, 2012.
6. Погорелов А.В. Геометрия: Учебник для 7-11, 5-е изд. М: Просвещение, 2009.
7. Савин А.П. Энциклопедический словарь юного математика. М.: Просвещение, 2011.
8. Шарыгин И.Ф. Факультативный курс по математике. XI класс. М.: Просвещение, 2012.
9. Штангл Ф. Маятник, рамка, сенсор. С-Петербург: Питер, 2013.