Решение матричных игр в чистых стратегиях

S1. Условия для развития сорняков, вредителей и болезней неблагоприятные.

S2. Условия для развития сорняков, вредителей и болезней обычные.

S3. Условия для развития сорняков, вредителей и болезней благоприятные.

Значения урожайности  картофеля в зависимости от решений  сельскохозяйственного предприятия и развития сорняков, вредителей и болезней приведены в таблице 3.2.

 

Таблица 3.2.

Урожайность картофеля  в сельскохозяйственном предприятии, ц/га

Стратегии хозяйства	Развитие сорняков, вредителей и болезней
	S1	S2	S3
A1	250+N	250+N	250+N
A2	250+N/2	200	150-N/2
A3	250	100	50-N

 

С помощью программы, разработанной при выполнении практической части занятия 6, определите наиболее выгодные стратегии по всем критериям, приведённым в теоретической части занятия. Вероятности состояний S1, S2 и S3 для определения оптимальной стратегии по критерию максимального математического ожидания выигрыша составляют соответственно 0,1, 0,5 и 0,4. Коэффициент пессимизма для определения оптимальной стратегии по критерию пессимизма-оптимизма – 0,39+N/50. Параметр достоверности для определения оптимальной стратегии по критерию Ходжа-Лемана – 0,9-N/100.

Дайте экономическую  интерпретацию результатов решения  задачи.

 

Контрольные вопросы к теме 3

 

1. Что такое статистическая  игра? В каких ситуациях возникает  необходимость решения статистических игр?

2. Как называется игрок  в статистической игре? С чем взаимодействует игрок в статистической игре?

3. Является ли статистическая  игра игрой с нулевой суммой?

4. От чего зависит  выбор критерия принятия решения  в статистической игре?

5. По каким критериям  принятия решения определяется  наиболее выгодная стратегия ЛПР в ситуации, когда известны вероятности состояний окружающей среды?

6. Какие критерии принятия  решения применяются в случае  отсутствия информации о вероятностях состояний окружающей среды?

7. Какие критерии принятия  решения используются в условиях значительного риска потери выигрыша?

8. Какие критерии принятия  решения используются в условиях  необходимости получения минимально гарантированного выигрыша?

9. Какие критерии принятия  решения используются в условиях  недостоверности информации о вероятностях состояний окружающей среды?

10. Что такое критерий  азартного игрока? В каких случаях  он применяется?

11. Что такое коэффициент  пессимизма? Как он определяется?

12. Что такое матрица  рисков? Как рассчитываются коэффициенты  матрицы рисков?

13. Приведите примеры  решения статистических игр в  задачах реальной экономики.

Тема 4. Определение экономического эффекта информации с использованием методов теории игр

Занятие 8

 

Теоретическая часть

Основные факторы, определяющие величину эффекта прогноза состояний окружающей среды и значений выигрыша ЛПР

 

На основе методов  решения статистических игр можно  сформулировать некоторые подходы к решению разнообразных прикладных экономических задач. Одна из таких задач  — определение экономического эффекта информации.

Для любой экономической  задачи, решаемой с использованием статистических игр, может быть сформулировано абсолютное минимальное значение выигрыша A₀, который ЛПР получит в наихудшей для себя ситуации. Эта величина может быть равна, например, сумме затрат на производство продукции при нулевой выручке от её реализации, максимально возможным потерям, возникшим вследствие принятого решения, и т.д. Данная величина всегда может быть оценена и её значение всегда конечно. Это позволяет привести любую платёжную матрицу статистической игры к условию неотрицательности коэффициентов. Условие неотрицательности гарантирует определение любого значения выигрыша как положительной величины. Кроме того, соблюдение данного условия позволяет определить величину дополнительного выигрыша за счёт повышения достоверности информации.

В процессе принятия решения  для определения наиболее выгодной стратегии ЛПР необходимо учитывать  возможные состояния окружающей среды и определять их вероятности. ЛПР составляет прогноз развития ситуации F_A, в соответствии с которым каждое состояние окружающей среды S_jA имеет вероятность p_jA. Данный прогноз может реализоваться с достоверностью u_A (под достоверностью прогноза здесь следует понимать долю реализовавшихся прогнозов от всех ранее составленных прогнозов при условии, что если   прогноз не реализовался, то выигрыш будет равен минимально гарантированной величине).

Стремясь повысить достоверность  прогноза,  ЛПР может воспользоваться услугами консультационной службы, имеющей больший опыт в исследовании данной предметной области. Консультационная служба составляет прогноз развития ситуации F_B (F_B > F_A), в соответствии с которым каждое состояние окружающей среды S_jB имеет вероятность p_jB. Данный прогноз может реализоваться с достоверностью u_B (u_B > u_A).

Для решения задачи определения  экономического эффекта прогноза консультационной службы примем следующие три условия:

1. При отсутствии какой-либо  информации относительно величины  выигрыша и вероятностей состояний  окружающей среды (u = 0) ЛПР может сделать единственное предположение – о том, что величина выигрыша при любом решении будет не меньше A₀, которое, после приведения платёжной матрицы к неотрицательной форме, равно нулю.

2. Принятие ЛПР прогноза  с достоверностью u гарантирует ему величину среднего выигрыша в соответствии с выбранной им стратегией с вероятностью u и величину выигрыша A₀ с вероятностью 1-u.

3. Решение задачи определения эффекта прогноза консультационной службы имеет смысл, лишь если u_B > u_A.

Определение ЛПР наиболее выгодной стратегии по прогнозу  F_B позволяет ему получить дополнительный выигрыш за счёт:

1. изменения принимаемого  решения;

2. повышения достоверности  прогноза.

В условиях, когда значения параметра достоверности прогноза меньше единицы, для определения наиболее выгодных стратегий используется критерий Ходжа-Лемана (формула (7), занятие 6).

Величина дополнительного  выигрыша, получаемого вследствие изменения принимаемого решения V_x, может быть определена по формуле:

V_x = u_B(V_f - V_r)

где V_f -  величина выигрыша ЛПР, полученного при выборе наиболее выгодной стратегии по прогнозу F_B; V_r – величина выигрыша, которую ЛПР фактически получит в соответствии с прогнозом F_B, если он выберет наиболее выгодную стратегию по прогнозу F_A.

Величина дополнительного  выигрыша, получаемого вследствие повышения достоверности прогноза V_y, может быть определена по формуле:

V_y = V_f(u_B – u_A)

Величину общего эффекта  от использования информации, содержащейся в прогнозе для ЛПР V_d можно определить как сумму дополнительных выигрышей вследствие изменения решения и увеличения достоверности прогноза:

V_d = V_x + V_y

Повышение достоверности  прогноза обеспечивает дополнительный выигрыш ЛПР, который всегда положителен. Для выполнения этого условия необходимо, чтобы все коэффициенты платёжной матрицы прогноза F_A и F_B были неотрицательными.

Пример решения задачи определения  величины экономического эффекта информации

 

Приведем пример решения  данной задачи. Воспользуемся исходными данными задачи, решённой при выполнении занятия 7.

Пусть достоверность прогноза предприятия о величине выручки от реализации и вероятностях состояний рынка капусты на основе опыта реализации предыдущих прогнозов (табл. 4.1.) составляет 0,6.

Таблица 4.1.

Значения выручки от реализации капусты и вероятностей состояния рынка капусты по прогнозу предприятия

Стратегии хозяйства	Выручка от реализации капусты, тыс. д.е.
	S1	S2	S3
Pj	0,3	0,6	0,1
A1	30	25	22
A2	24	40	33
A3	18	40	60

 

 

Для получения более  проверенной информации хозяйство  обращается в консультационную службу. На основе использования большего количества информации и проведения более систематических и разносторонних исследований консультационная служба составляет прогноз ситуации на рынке капусты для предприятия. Достоверность этого прогноза равна 0,8. Значения выручки от реализации капусты, а также вероятности состояний рынка по прогнозу консультационной службы отличаются от значений по собственному прогнозу предприятия (табл. 4.2.).

 

 

Таблица 4.2.

Значения выручки от реализации капусты и вероятностей состояния рынка капусты по прогнозу консультационной службы

Стратегии хозяйства	Выручка от реализации капусты, тыс. д.е.
	S1	S2	S3
Pj	0,6	0,3	0,1
A1	30	26	22
A2	20	40	33
A3	15	40	55

Необходимо определить:

1. Наиболее выгодную  стратегию и величину выигрыша  по прогнозу предприятия и консультационной службы;

2. Величину дополнительного  выигрыша предприятия от изменения  принимаемого решения при переходе к более достоверному прогнозу;

3. Величину дополнительного  выигрыша предприятия за счёт  повышения достоверности прогноза;

4. Значение общего  эффекта от применения прогноза  консультационной службы;

5. Дать экономическую  интерпретацию результатов решения.

Решение

1. Составим платёжные  матрицы для определения наиболее  выгодной стратегии предприятия по собственному прогнозу (рис. 4.1.) и по прогнозу консультационной службы (рис. 4.2.). При решении задачи необходимо выполнение условия неотрицательности коэффициентов платёжной матрицы. Поэтому в качестве коэффициентов для обеих платёжных матриц будут использованы значения выручки от реализации капусты.

	S1	S2	S3
Pj	0,3	0,6	0,1
A1	30	25	22
A2	24	40	33
A3	18	40	60

Рис. 4.1. Платёжная матрица  задачи по прогнозу предприятия

 

	S1	S2	S3
Pj	0,6	0,3	0,1
A1	30	26	22
A2	20	40	33
A3	15	40	55

Рис. 4.2. Платёжная матрица  задачи по прогнозу консультационной службы

 

2. Определим наиболее  выгодную стратегию предприятия  по его собственному прогнозу (u_A = 0,6). Поскольку при решении задачи ЛПР руководствуется не вполне достоверной информацией, определение наиболее выгодных стратегий будет производиться по критерию Ходжа-Лемана (рис. 4.3.).