Решение прикладных задач с помощью обыкновенных дифференциальных уравнений

 

 

 

Задачи, приводящие к решению

дифференциальных  уравнений

      Простейшие обыкновенные дифференциальные уравнения (ОДУ) рассматривали в своих работах ещё И. Ньютон и Г. Лейбниц. Именно Г. Лейбниц ввёл в 1676 г. термин “дифференциальные уравнения”. Задачу решения ОДУ И. Ньютон трактовал как обратную по отношению к нахождению производной для заданной функции, а вычисление неопределённого интеграла он считал частным случаем этой задачи. Для Ньютона, как создателя основ математического естествознания, такой подход к восстановлению функции по зависимости между функцией и её производными был вполне логичным, поскольку большинство известных в науке закономерностей может быть выражено в форме дифференциальных уравнений.

      Пример 1.1. Тело массой m  падает под действием силы тяжести  mg  (g - ускорение свободного падения) и силы сопротивления , пропорциональной скорости  v, где k-коэффициент сопротивления. Найти зависимость скорости движения тела от времени t.

       Используя второй закон Ньютона, составим ОДУ, описывающее движение тела:

 .

Имеем ОДУ первого  порядка, разрешённое относительно производной , имеющей механический смысл ускорения движения рассматриваемого тела. Можно проверить подстановкой, что решением этого ОДУ является совокупность функций

,

где  - произвольная постоянная. Если в момент времени    тело начинает падение с начальной скоростью  , то  , и тогда

.

Кроме того ОДУ имеет, очевидно, решение  , к которому стремится при    все решения вне зависимости от значения   .

     Пример 1.2. Из точки   под углом  к горизонту бросают с заданной начальной скоростью тело, массой так, что оно падает под прямым углом на наклонную плоскость, проходящую через точку    и образующую с горизонтом заданный угол . Считая углы    и   острыми (рис. 2), найти угол  .

        Поместим  в точку     начало прямоугольной декартовой системы координат, направив ось абсцисс  x вдоль наклонной плоскости. Согласно второму закону Ньютона, уравнения движения тела имеют вид     ,   

                                               

                                          (1.7)

Это ОДУ второго  порядка, разрешённые относительно старшей производной. Они имеют  решение

,   .                      (1.8)

В  (1.8) входят четыре произвольных постоянных .  Поэтому для выбора из бесконечного множества возможных решений единственного решения, описывающего действительное движение рассматриваемого тела, необходимо использовать сведения о положении и скорости этого тела в начальный момент времени , однозначно определяющие эти произвольные постоянные. Так как при   тело находится в начале координат, т.е.  , то, согласно (1.8), . Дифференцируя (1.8), получаем

,     .

С учётом заданного  при   значения    скорости тела имеем

,         .

Подставляя  найденные выражения для произвольных постоянных в (1.8), запишем

                                                                                                                    (1.9)

Полученное  решение содержит пока ещё неизвестное  значение угла  . Это значение можно найти, приняв во внимание, что тело падает на наклонную плоскость под прямым углом, т.е. в момент    падения   и проекция скорости тела на координатную ось x  равна нулю . Учитывая (1.9), из последнего условия имеем

,    или    ,

а из первого  условия, используя полученное выражение для  , имеем

.

Поскольку по смыслу задачи  , то равно нулю выражение в квадратных скобках:

.

Отсюда после  тригонометрических преобразований получаем

,   .

 

       Пример 1.3. Человек, находящийся в точке  , движется вдоль оси ординат   y в положительном направлении и тянет тяжёлый предмет, расположенный в точке  , за верёвку постоянной длины    (рис. 3). Пусть на плоскости   x y   в начальный момент времени точка находится в начале координат, а точка   имеет координаты  . Составим ОДУ траектории точки   .

           Обозначим через        уравнение искомой траектории точки .

Из условия  задачи следует, что   является касательной к этой траектории в точке    с координатами .  Длина отрезка     (см. рис. 3) равна , а . Принимая во внимание геометрический смысл производной , т.е. , получаем ОДУ первого порядка

,

разрешённое относительно производной. Одним из решений этого  ОДУ является функция

,

которая задаёт хорошо известную плоскую кривую – трактрису.

 

       Пример 1.4. Кривая погони. Пример использования дифференциальных уравнений для выбора правильной стратегии при решении задач поиска.

       Пусть, например, миноносец охотится за подводной лодкой в густом тумане. В какой-то момент времени туман поднимается и подводная лодка оказывается обнаруженной на поверхности воды на расстоянии 3 миль от миноносца. Скорость миноносца вдвое больше скорости подводной лодки. Требуется определить траекторию  (кривую погони), по которой должен следовать миноносец, чтобы он прошёл точно над подводной лодкой, если последняя сразу же погрузилась после её обнаружения и ушла на полной скорости прямым курсом в неизвестном направлении.

        Для  решения сформулированной задачи  введём полярные координаты ,   таким образом, чтобы полюс   находился в точке обнаружения подводной лодки, а полярная ось   проходила через точку, в которой в момент обнаружения произвольной лодки был миноносец (рис.4). Дальнейшие рассуждения основаны на следующих соображениях. Прежде всего миноносцу надо занять такую позицию, чтобы он и подводная лодка находились на одном расстоянии от полюса  . Затем миноносец должен двигаться вокруг полюса   по такой траектории, чтобы оба движущихся объекта всё время находились на одинаковом расстоянии от точки . Только в этом случае миноносец, обходя вокруг полюса  , пройдёт над подводной лодкой. Из вышесказанного следует, что сначала миноносец должен идти прямым курсом к точке  до тех пор, пока он не окажется на том же расстоянии  от полюса  , что и подводная лодка.

      Очевидно, что расстояние    можно найти либо из уравнения

,

либо из уравнения

,

где скорость подводной лодки, а скорость миноносца. Решая последние уравнения, находим, что либо расстояние равно либо одной, либо трём милям.

      Теперь, если «встречи» не произошло, то миноносец должен в дальнейшем двигаться вокруг полюса  (по направлению движения часовой стрелки или против), удаляясь от последнего со скоростью подводной лодки . Разложим скорость миноносца   на две составляющие: радиальную    и тангенциальную    (рис. 4).

        Радиальная составляющая – это линейная скорость вращения миноносца относительно полюса , т.е.

       Тангенциальная составляющая – это линейная скорость вращения миноносца относительно полюса. Она, как известно, равна произведению угловой скорости  на радиус , т.е.

     Но так как   , то

.

      Итак, решение исходной задачи сводится к решению системы двух дифференциальных уравнений

,        ,

которая в свою очередь может быть сведена к  одному уравнению  исключением переменной .

    Решая последнее дифференциальное уравнение, получаем, что

, где  – произвольная постоянная.

    Учитывая теперь, что миноносец начинает движение вокруг полюса с полярной оси   на расстоянии миль от точки , т.е. учитывая, что , приходим к выводу, что в первом случае   , а во втором . Таким образом, чтобы выполнить свою задачу, миноносец должен пройти две или шесть миль прямым курсом по направлению к месту обнаружения подводной лодки, а затем двигаться либо по спирали , либо по спирали .

     

     Пример 1.5. Почему маятниковые часы не являются точными?

        Чтобы ответить на поставленный вопрос, рассмотрим идеализированную модель маятниковых часов, состоящую из стержня длиной   и гири массой на его конце (масса стержня предполагается такой, что её можно не принимать в расчёт по сравнению с массой гири) (рис. 5). Если гирю отклонить на угол  и затем отпустить, то в соответствии с законом сохранения энергии

,  (1.10)

где – скорость движения гири, а – силы тяжести.

     Рассматривая только малые отклонения гири от положения равновесия, всегда можно считать, что длина дуги, по которой гиря отклоняется от положения равновесия на угол , определяется равенством . А в этом случае    и соотношение (1.10) приводит к дифференциальному уравнению

                                                                               (1.11)

Учитывая теперь, что    убывает с возрастанием  (для малых ), уравнение (1.11) можно переписать в виде

А тогда если  – период колебаний маятника, то

или

                                                                                   (1.12)

Как видно из последующей формулы, период колебаний маятника зависит от угла . Этот факт и является основной причиной того, что маятниковые часы не точные, ибо практически гиря всякий раз откланяется в крайнее положение на угол, отличный от  .

      Обращаясь к формуле (1.12) заметим, что её переписать и в более простом виде. Действительно, так как

то                     

                               ,                  (1.13)

где .

     Заменим  теперь переменную    на переменную  , полагая  . Из последнего равенства следует, что когда  возрастёт от 0 до  , то  возрастёт от 0 до , причём     ,

или

Последнее соотношение  даёт возможность формулу (1.13) переписать в виде

где функцию 

называют эллиптическим интегралом первого рода, в отличие от эллиптических интегралов второго рода, имеющих вид

         Эллиптические интегралы не могут  быть вычислены в элементарных функциях, и поэтому дальнейшее обсуждение задачи о маятнике мы свяжем с другим подходом, который будет рассматриваться при исследовании консервативных систем в механике. Здесь мы лишь отметим, что исходным пунктом в дальнейших исследованиях будет дифференциальное уравнение

которое получается из уравнения  (1.11)  дифференцированием по  .

     Задача 1.6. Шарик, масса которого , нанизан на горизонтальную проволочную круговую петлю радиуса (рис. 6). Зная коэффициент трения , определить, какую начальную скорость нужно сообщить шарику для того, чтобы он сделал полный оборот по проволоке и остановился.

    Решение.  На шарик действуют четыре силы (рис.6): сила тяжести Р с абсолютным значением - ускорение свободного падения), центробежная сила  N инерции с абсолютным значением ( - скорость шарика), сила  N реакции проволоки и направленная против его движения сила F трения. Реакция    проволоки уравновешивает силу тяжести и центробежную силу инерции, т.е. абсолютное значение силы N

                

Тогда абсолютное значение силы трения                        

                                   

Согласно второму  закону Ньютона, запишем уравнение  движения шарика в виде

                             

Поскольку , где - расстояние, пройденное шариком

после начала движения, то можно записать

                                

В итоге получаем уравнение движения шарика в виде