Решение прикладных задач с помощью обыкновенных дифференциальных уравнений

                                

Это ОДУ с  разделяющимися переменными. После  разделения переменных и интегрирования находим

                                 

 Интеграл  в левой части этого равенства  подстановкой можно свести к табличному интегралу, так что приходим к соотношению

                            

По условию, при . Отсюда . Начальную скорость шарика найдем из условия при , т.е.                           

                                

или (после решения  биквадратного уравнения относительно

)  Характерно, что значение и движение шарика не зависит от его массы.    

ПРАКТИЧЕСКАЯ  ЧАСТЬ

     1. Пусть – количество бактерий в сосуде. Известно, что производная – (скорость размножения бактерий) пропорциональна с коэффициентом пропорциональности . Определить , если в 10 часов в сосуде было 2 000 бактерий, а в 12 часов уже 32 000.  

     Решение.  . Разделяем переменные и интегрируем

                     ,      ,       .

      

  Ответ:

     2. Скорость остывания воды в чайнике пропорциональна разности температуры чайника и кухни. Чайник выключился в 10.20 при температуре воды 100С°. В 10.30 температура воды в чайнике была 80 С°. Найти время, за которое температура воды в чайнике будет равна 40 С°, если температура на кухне 20 С°.

     Решение.   

,

 

   

     Ответ: .

       3. Шар массы падает свободно без начальной скорости под действием силы тяжести из точки , которую примем за начало координат. Сопротивление воздуха пропорционально скорости падения, то есть - коэффициент пропорциональности). Найти закон движения шара.

     Решение . . ;

Уравнение - линейное неоднородное дифференциальное уравнение второго порядка с постоянными коэффициентами. Составим характеристическое уравнение, соответствующее однородному уравнению

    Найдем решение

Cоставим и найдем частное решение неоднородного уравнения тогда . Подставим найденные значения в уравнение:

 поэтому и общее решение неоднородного дифференциального уравнения имеет вид

t.

Начальные условия  поэтому Частное решение, соответствующее начальным условиям имеет вид t.

 

ЗАКЛЮЧЕНИЕ

Дифференциальные уравнения необходимы для создания математических моделей большинства физических законов. Более того, дифференциальные уравнения можно использовать для вычисления вероятности некоторых событий и даже для построения тактики на поле боя.

Для решения  дифференциальных уравнений огромную роль играют теоремы существования и единственности, которые гарантируют законность применения качественных методов теории ДУ для решения задач естествознания и техники. Они являются обоснованием для создания новых методов и теорий.

К настоящему времени разработаны многочисленные методы решения дифференциальных уравнений. Хотя эти методы обладают тем недостатком, что всегда дают лишь какое-то конкретное решение, что сужает возможности их использования, они тем не менее широко используются на практике.

Что же касается качественной теории обыкновенных дифференциальных уравнений, то, начиная с работ А.Пуанкаре и А.М.Ляпунова (конец XIX века) , в которых были заложены её основы, она интенсивно развивается и её методы широко используются в процессе познания окружающей нас действительности.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

БИБЛИОГРАФИЧЕСКИЙ СПИСОК

 

     1. Пискунов Н.С.  Дифференциальные и интегральные исчисления / Н.С. Пискунов.- М.: Наука, 2001.Т.2.- 576 с.     

     2. Агафонов С.А. Дифференциальные  уравнения / С.А. Ага-

фонов, А.Д. Герман, Т.В. Муратова. - М.: Изд-во МГТУ им.

Н.Э. Баумана, 2000.-348 с.

     3. Данко П.Е. Высшая математика  в упражнениях и задачах / П.Е.  Данко, А.Г. Попов, Т.Я. Кожевникова.  – М.: «Оникс 21век» «Мир и образование», 2003. Ч. 2.

    4. Амелькин В.В.  Дифференциальные уравнения в приложениях.

¹ Если требуется найти решение дифференциального уравнения, удовлетворяющего некоторому начальному условию (в данном случае условию , то такая задача называется начальной задачей.