Решеточное строение циклических подгрупп

Следствие. В группе  образующими элементами являются в точности те вычеты  , для которых .

Заметим также, что образующими элементами в Z являются , очевидно, только и .

В качестве еще одного применения основной теоремы теории делимости приведем интересный пример конечной группы. Рассмотрим множество  тех вычетов   по модулю , для которых . Проверим, что относительно умножения по модулю эти вычеты составляют группу, называемую мультипликативной группой вычетов по модулю . Ассоциативность умножения очевидна. Также очевидно, что вычет  является нейтральным элементом. Остается проверить наличие обратного элемента. Пусть . По основной теореме найдутся такие и , что Переходя к вычетам, находим: , откуда видно, что .

Группа  не всегда циклична. Например, легко проверить, что все 3 нетривиальных элемента группы имеют порядок 2 и потому она не является циклической.

Наконец, отметим один полезный результат непосредственно вытекающий из доказанного выше.

Теорема о структуре групп простого порядка. Если порядок конечной группы равен простому числу , то .

Доказательство. Пусть  - любой элемент, отличный от нейтрального. Поскольку порядок больше и является делителем , то он равен и значит . Что и требовалось доказать.

 

Примеры циклических групп

1. Группа Z целых чисел с операцией сложения.

2. Группа всех комплексных корней степени n из единицы с операцией умножения. Поскольку

,

группа является циклической и элемент образующий .

Мы видим, что циклические группы могут быть как конечными так и бесконечными.

3. Пусть - произвольная группа и  произвольный элемент. Множество  является циклической группой с образующим элементом g . Она называется циклической подгруппой, порожденной элементом g, а ее порядок - порядком элемента g. По теореме Лагранжа порядок элемента является делителем порядка группы. Отображение

 действующее по формуле: 

,

очевидно является гомоморфизмом и его образ совпадает с . Отображение  сюръективно тогда и только тогда, когда группа G - циклическая и g ее образующий элемент. В этом случае будем называть  стандартным гомоморфизмом для циклической группы G c выбранной образующей g .

Применяя в этом случае теорему о гомоморфизме, мы получаем важное свойство циклических групп: всякая циклическая группа является гомоморфным образом группы Z.

В любой группе G могут быть определены степени элемента с целыми показателями:

 

 

 

Имеет место свойство

       (6)

Это очевидно, если . Рассмотрим случай, когда . Тогда

 

Аналогично рассматриваются остальные случаи.

Из (6) следует, что

 

Кроме того, по определению. Таким образом, степени элемента образуют подгруппу в группе G. Она называется циклической подгруппой, порожденной элементом , и обозначается через.

Возможны два принципиально разных случая: либо все степени элемента различны, либо нет. В первом случае подгруппа бесконечна. Рассмотрим более подробно второй случай.

Пусть ,; тогда . Наименьшее из натуральных чисел т, для которых , называется в этом случае порядком элемента и обозначается через .

Предложение 1. Если , то

.       Доказательство. 1) Разделим m на п с остатком:

.

Тогда в силу определения порядка

 

2. В силу предыдущего

 

Следствие. Если , mo подгруппа содержит n элементов.

Доказательство. Действительно,

,   (7)

причем все перечисленные элементы различны.

В том случае, когда не существует такого натурального т, что (т.е. имеет место первый из описанных выше случаев), полагают. Отметим, что ; порядки же всех остальных элементов группы больше 1.

В аддитивной группе говорят не о степенях элемента , а о его кратных, которые обозначают через . В соответствии с этим порядок элемента аддитивной группы G — это наименьшее из натуральных чисел т (если такие существуют), для которых

 

ПРИМЕР 1. Характеристика поля есть порядок любого ненулевого элемента в его аддитивной группе.

ПРИМЕР 2. Очевидно, что в конечной группе порядок любого элемента конечен. Покажем, как вычисляются порядки элементов группы Подстановка называется циклом длины и обозначается через если она циклически переставляет

, т.е. ,

,

а все остальные числа оставляет на месте. Очевидно, что порядок цикла длины равен р. Циклы и называются независимыми, если среди фактически переставляемых ими чисел нет общих; в этом  случае . Всякая подстановка однозначно разлагается в произведение независимых циклов. Например,

,

что наглядно показано на рисунке, где действие подстановки изображено стрелками. Если подстановка разлагается в произведение независимых циклов длин , то 

 

ПРИМЕР 3. Порядок комплексного числа с в группе конечен тогда и только тогда, когда это число есть корень некоторой степени из единицы, что, в свою очередь, имеет место тогда и только тогда, когда , a соизмерим с , т.е. .

ПРИМЕР 4. Найдем элементы конечного порядка в группе движений плоскости. Пусть . Для любой точки точки

 

циклически переставляются движением , так что их центр тяжести о неподвижен относительно . Следовательно, - либо поворот на угол вида вокруг точки о, либо отражение относительно некоторой прямой, проходящей через о.

ПРИМЕР 5. Найдем порядок матрицы

 

как элемента группы . Имеем

, , откуда ,

так что . Конечно, этот пример специально подобран: вероятность того, что порядок наудачу выбранной матрицы будет конечен, равна нулю.

Предложение 2. Если , то

  (8)

Доказательство. Пусть

 

так что. Имеем

 

Следовательно, .

Определение 1. Группа G называется циклической, если существует такой элемент , что . Всякий такой элемент называется порождающим элементом группы G.

ПРИМЕР 6. Аддитивная группа целых чисел является циклической, так как порождается элементом 1.

ПРИМЕР 7. Аддитивная группа вычетов по модулю n является циклической, так как порождается элементом [1].

ПРИМЕР 8. Мультипликативная группа комплексных корней n-й степени из 1 является циклической. В самом деле, эти корни суть числа

 

Ясно, что . Следовательно, группа порождается элементом .

 

Легко видеть, что в бесконечной циклической группе порождающими элементами являются только и . Так, в группе Z порождающими элементами являются только 1 и — 1.

Число элементов конечной группы G называется ее порядком и обозначается через . Порядок конечной циклической группы равен порядку ее порождающего элемента. Поэтому из предложения 2 следует

Предложение 3. Элемент циклической группы порядка n является порождающим тогда и только тогда, когда

ПРИМЕР 9. Порождающие элементы группы называются первообразными корнями n-й степени из 1. Это корни вида , где . Например, первообразные корни 12-й степени из 1- это .

Циклические группы — это наиболее простые группы, которые можно себе представить. (В частности, они абелевы.) Следующая теорема дает их полное описание.

Теорема 1. Всякая бесконечная циклическая группа изоморфна группе. Всякая конечная циклическая группа порядка п изоморфна группе .

Доказательство. Если — бесконечная циклическая группа, то в силу формулы (4) отображение есть изоморфизм.

Пусть — конечная циклическая группа порядка п. Рассмотрим отображение

 ).

Так как

 

то отображение корректно определено и биективно. Свойство

 

вытекает из той же формулы (1). Таким образом, — изоморфизм. Теорема доказана.

Для понимания строения какой-либо группы важную роль играет знание ее подгрупп. Все подгруппы циклической группы могут быть легко описаны.

Теорема 2. 1) Всякая подгруппа циклической группы является циклической.

2)В циклической группе порядка n порядок любой подгруппы делит n и для любого делителя q числа n существует ровно одна подгруппа порядка q.

Доказательство . 1) Пусть — циклическая группа и Н — ее подгруппа, отличная от (Единичная подгруппа, очевидно, является циклической.) Заметим, что если для какого-либо , то и . Пусть т — наименьшее из натуральных чисел, для которых. Докажем, что . Пусть . Разделим к на т с остатком:

.

Имеем

,

откуда в силу определения числа т следует, что и, значит,.

2) Если , то предыдущее рассуждение, примененное к (в этом случае ), показывает, что . При этом

, (9)

и Н является единственной подгруппой порядка q в группе G. Обратно, если q — любой делитель числа п и, то подмножество Н, определяемое равенством (9), является подгруппой порядка q. Теорема доказана.

Следствие. В циклической группе простого порядка любая неединичная подгруппа совпадает со всей группой.

ПРИМЕР 10. В группе всякая подгруппа имеет вид , где .

ПРИМЕР 11. В группе корней n-й степени из 1 любая подгруппа есть группа корней q- й степени из 1, где .

 

Решетка циклических подгрупп на примере.

Пусть дана группа . Построить решетку  циклических подгрупп.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Литература

Винберг Э. Б. «Курс алгебры».

Курош А.Г. «Теория групп».

Хамермеш М. «Теория групп и её приложение к физическим проблемам».