Роль теории дифференциальных уравнений в современной математике и ее приложениях

 

Содержание

 

• Понятие дифференциальных уравнений
• Роль теории дифференциальных уравнений в современной математике и ее приложениях
• Список литературы

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Понятие дифференциальных уравнений

Теория дифференциальных уравнений – раздел математики, который занимается изучением дифференциальных уравнений и связанных с ними задач. Её результаты применяются во многих естественных науках, особенно широко – в физике.

Неформально говоря, дифференциальное уравнение – это уравнение, в  котором неизвестной величиной  является некоторая функция. При  этом в самом уравнении участвует  не только неизвестная функция, но и  различные производные от неё. Дифференциальным уравнением описывается связь между  неизвестной функцией и её производными. Такие связи обнаруживаются в  самых разных областях знания: в  механике, физике, химии, биологии, экономике  и др.

Различают обыкновенные дифференциальные уравнения (ОДУ) и дифференциальные уравнения в частных производных (УРЧП). Существуют также стохастические дифференциальные уравнения (СДУ), включающие случайные процессы

Первоначально дифференциальные уравнения возникли из задач механики, в которых участвовали координаты тел, их скорости и ускорения, рассматриваемые  как функции времени.

Одно из простейших применений дифференциальных уравнений – решение  нетривиальной задачи нахождения траектории тела по известным проекциям ускорения. Например, в соответствии со вторым законом Ньютона, ускорение тела пропорционально сумме действующих  сил; соответствующее дифференциальное уравнение имеет вид. Зная действующие  силы (правая часть), можно решить это  уравнение и, учитывая начальные  условия (координаты и скорость в  начальный момент времени), найти  траекторию движения точки.

Дифференциальное уравнение y' = y, вместе с начальным условием y(0) = 1, задаёт экспоненту: y(x) = ex. Если x обозначает время, то эта функция описывает рост популяции в условиях неограниченности ресурсов.

Решением дифференциального  уравнения y' = f(x), правая часть которого не зависит от неизвестной функции, является неопределённый интеграл:, где C – произвольная константа.

Роль  теории дифференциальных уравнений  в современной математике и ее приложениях

Теория дифференциальных уравнений является одним из самых  больших разделов современной математики. Чтобы охарактеризовать ее место  в современной математической науке, прежде всего необходимо подчеркнуть основные особенности теории дифференциальных уравнений, состоящей из двух обширных областей математики: теории обыкновенных дифференциальных уравнений и теории уравнений с частными производными.

Первая особенность –  это непосредственная связь теории дифференциальных уравнений с приложениями. Характеризуя математику как метод  проникновения в тайны природы, можно сказать, что основным путем  применения этого метода является формирование и изучение математических моделей  реального мира. Изучая какие-либо физические явления, исследователь прежде всего создает его математическую идеализацию или, другими словами, математическую модель, то есть, пренебрегая второстепенными характеристиками явления, он записывает основные законы, управляющие этим явлением, в математической форме. Очень часто эти законы можно выразить в виде дифференциальных уравнений. Такими оказываются модели различных явлений механики сплошной среды, химических реакций, электрических и магнитных явлений и др.

Исследуя полученные дифференциальные уравнения вместе с дополнительными  условиями, которые, как правило, задаются в виде начальных и граничных  условий, математик получает сведения о происходящем явлении, иногда может  узнать его прошлое и будущее. Изучение математической модели математическими  методами позволяет не только получить качественные характеристики физических явлений и рассчитать с заданной степенью точности ход реального  процесса, но и дает возможность  проникнуть в суть физических явлений, а иногда предсказать и новые  физические эффекты. Бывает, что сама природа физического явления подсказывает и подходы, и методы математического исследования. Критерием правильности выбора математической модели является практика, сопоставление данных математического исследования с экспериментальными данными.

Для составления математической модели в виде дифференциальных уравнений  нужно, как правило, знать только локальные связи и не нужна  информация обо всем физическом явлении  в целом. Математическая модель дает возможность изучать явление  в целом, предсказать его развитие, делать количественные оценки изменений, происходящих в нем с течением времени. Напомним, что на основе анализа  дифференциальных уравнений так  были открыты электромагнитные волны, и только после экспериментального подтверждения Герцем фактического существования электромагнитных колебаний  стало возможным рассматривать  уравнения Максвелла как математическую модель реального физического явления.

Как известно, теория обыкновенных дифференциальных уравнений начала развиваться в XVII веке одновременно с возникновением дифференциального  и интегрального исчисления. Можно  сказать, что необходимость решать дифференциальные уравнения для  нужд механики, то есть находить траектории движений, в свою очередь, явилась  толчком для создания Ньютоном нового исчисления. Органическая связь физического  и математического ясно проявилась в методе флюксий Ньютона. Законы Ньютона представляют собой математическую модель механического движения. Через  обыкновенные дифференциальные уравнения  шли приложения нового исчисления к  задачам геометрии и механики; при этом удалось решить задачи, которые в течение долгого  времени не поддавались решению. В небесной механике оказалось возможным  не только получить и объяснить уже  известные факты, но и сделать  новые открытия (например, открытие Леверье в 1846 году планеты Нептун на основе анализа дифференциальных уравнений).

Обыкновенные дифференциальные уравнения возникают тогда, когда  неизвестная функция зависит  лишь от одной независимой переменной. Соотношение между независимой  переменной, неизвестной функцией и ее производными до некоторого порядка составляет дифференциальное уравнение. В настоящее время теория обыкновенных дифференциальных уравнений представляет собой богатую, широко разветвленную теорию. Одними из основных задач этой теории являются существование у дифференциальных уравнений таких решений, которые удовлетворяют дополнительным условиям (начальные данные Коши, когда требуется определить решение, принимающее заданные значения в некоторой точке и заданные значения производных до некоторого конечного порядка, краевые условия и другие), единственность решения, его устойчивость. Под устойчивостью решения понимают малые изменения решения при малых изменениях дополнительных данных задачи и функций, определяющих само уравнение. Важными для приложений являются исследование характера решения, или, как говорят, качественного поведения решения, нахождение методов численного решения уравнений. Теория должна дать в руки инженера и физика методы экономного и быстрого вычисления решения.

Уравнения с частными производными начали изучаться значительно позже. Нужно подчеркнуть, что теория уравнений  с частными производными возникла на основе конкретных физических задач, приводящих к исследованию отдельных уравнений  с частными производными, которые  получили название основных уравнений  математической физики. Изучение математических моделей конкретных физических задач привело к созданию в середине XVIII века новой ветви анализа – уравнений математической физики, которую можно рассматривать как науку о математических моделях физических явлений [Боярчук А.К., Головач Г.П.Справочное пособие по высшей математике. Дифференциальные уравнения в примерах и задачах. Дифференциальные уравнения высших порядков, системы дифференциальных уравнений, уравнения в частных производных первого порядка. Т.5, Ч.2. Изд.5М: Метра 2006].

Основы этой науки были заложены трудами Д'Аламбера (1717 – 1783), Эйлера (1707 – 1783), Бернулли (1700 – 1782), Лагранжа (1736 – 1813), Лапласа (1749 – 1827), Пуассона (1781 – 1840), Фурье (1768 – 1830) и других ученых. Интересно то, что многие из них были не только математиками, но и астрономами, механиками, физиками. Разработанные ими при исследовании конкретных задач математической физики идеи и методы оказались применимыми к изучению широких классов дифференциальных уравнений, что и послужило в конце XIX века основой для развития общей теории дифференциальных уравнений.

Важнейшими уравнениями  математической физики являются: уравнение  Лапласа, уравнение теплопроводности, волновое уравнение.

Здесь мы предполагаем, что  функция u зависит от t и трех переменных x1, x2, x3. Уравнение с частными производными – это соотношение между независимыми переменными, неизвестной функцией и ее частными производными до некоторого порядка. Аналогично определяется система  уравнений, когда имеется несколько  неизвестных функций.

Разве не удивительным является тот факт, что такое простое  по форме уравнение, как уравнение  Лапласа, содержит в себе огромное богатство  замечательных свойств, имеет самые  разнообразные приложения, о нем  написаны многие книги, ему посвящены  многие сотни статей, опубликованных в течение последних столетий, и, несмотря на это, осталось еще много  трудных связанных с ним нерешенных проблем.

К изучению уравнения Лапласа  приводят самые разнообразные физические задачи совершенно разной природы. Это  уравнение встречается в задачах  электростатики, теории потенциала, гидродинамики, теории теплопередачи и многих других разделах физики, а также в теории функций комплексного переменного  и в различных областях математического  анализа. Уравнение Лапласа является простейшим представителем широкого класса так называемых эллиптических уравнений.

Здесь, может быть, уместно  вспомнить слова А. Пуанкаре: "Математика – это искусство давать разным вещам одно наименование". Эти  слова являются выражением того, что  математика изучает одним методом, с помощью математической модели, различные явления действительного мира.

Так же как и уравнение  Лапласа, важное место в теории уравнений  с частными производными и ее приложениях  занимает уравнение теплопроводности. Это уравнение встречается в  теории теплопередачи, в теории диффузии и многих других разделах физики, а  также играет важную роль в теории вероятностей. Оно является наиболее простым представителем класса так  называемых параболических уравнений. Некоторые свойства решений уравнения  теплопроводности напоминают свойства решений уравнения Лапласа, что  находится в согласии с их физическим смыслом, так как уравнение Лапласа  описывает, в частности, стационарное распределение температуры. Уравнение  теплопроводности было выведено и впервые  исследовано в 1822 году в знаменитой работе Ж. Фурье "Аналитическая теория тепла", которая сыграла важную роль в развитии методов математической физики и теории тригонометрических рядов.

Волновое уравнение описывает  различные волновые процессы, в частности  распространение звуковых волн. Оно  играет важную роль в акустике. Это  представитель класса так называемых гиперболических уравнений.

Изучение основных уравнений  математической физики дало возможность  провести классификацию уравнений  и систем с частными производными. И.Г. Петровским в 30-е годы были выделены и впервые изучены классы эллиптических, параболических и гиперболических  систем, которые теперь носят его  имя. В настоящее время это  наиболее хорошо изученные классы уравнений.

Важно отметить, что для  проверки правильности математической модели очень важны теоремы существования  решений соответствующих дифференциальных уравнений, так как математическая модель не всегда адекватна конкретному  явлению и из существования решения  реальной задачи (физической, химической, биологической) не следует существование  решения соответствующей математической задачи.

В настоящее время важную роль в развитии теории дифференциальных уравнений играет применение современных  электронных вычислительных машин. Исследование дифференциальных уравнений часто облегчает возможность провести вычислительный эксперимент для выявления тех или иных свойств их решений, которые потом могут быть теоретически обоснованы и послужат фундаментом для дальнейших теоретических исследований [Будак А.Б., Щедрин Б.М.Элементарная математика. Руководство для поступления в вузы. Изд.5 М.: Инфра –М 2005].

Вычислительный эксперимент  стал также мощным средством теоретических  исследований в физике. Он проводится над математической моделью физического  явления, но при этом по одним параметрам модели вычисляются другие параметры  и делаются выводы о свойствах  изучаемого физического явления. Цель вычислительного эксперимента –  построение с необходимой точностью  с помощью ЭВМ за возможно меньшее  машинное время адекватного количественного  описания изучаемого физического явления. В основе такого эксперимента очень  часто лежит численное решение  системы уравнений с частными производными. Отсюда происходит связь  теории дифференциальных уравнений  с вычислительной математикой и, в частности, с такими ее важными  разделами, как метод конечных разностей, метод конечных элементов и другие.

Итак, первая черта теории дифференциальных уравнений – ее тесная связь с приложениями. Другими  словами, можно сказать, что теория дифференциальных уравнений родилась из приложений. В этом своем разделе  – теории дифференциальных уравнений  – математика прежде всего выступает как неотъемлемая часть естествознания, на которой основывается вывод и понимание количественных и качественных закономерностей, составляющих содержание наук о природе.

Именно естествознание является для теории дифференциальных уравнений  замечательным источником новых  проблем, оно в значительной мере определяет направление их исследований, дает правильную ориентацию этим исследованиям. Более того, дифференциальные уравнения  не могут плодотворно развиваться  в отрыве от физических задач. И не только потому, что природа богаче человеческой фантазии. Развитая в последние годы теория о неразрешимости некоторых классов уравнений с частными производными показывает, что даже очень простые по форме линейные уравнения с частными производными с бесконечно дифференцируемыми коэффициентами могут не иметь ни одного решения не только в обычном смысле, но также и в классах обобщенных функций, и в классах гиперфункций, и, следовательно, для них не может быть построена содержательная теория (теория обобщенных функций, обобщающая основное понятие математического анализа – понятие функции, была создана в середине нашего века трудами С.Л. Соболева и Л. Шварца).