Автор работы: Пользователь скрыл имя, 29 Ноября 2013 в 17:14, реферат
Теория дифференциальных уравнений – раздел математики, который занимается изучением дифференциальных уравнений и связанных с ними задач. Её результаты применяются во многих естественных науках, особенно широко – в физике.
Неформально говоря, дифференциальное уравнение – это уравнение, в котором неизвестной величиной является некоторая функция. При этом в самом уравнении участвует не только неизвестная функция, но и различные производные от неё. Дифференциальным уравнением описывается связь между неизвестной функцией и её производными. Такие связи обнаруживаются в самых разных областях знания: в механике, физике, химии, биологии, экономике и др.
Понятие дифференциальных уравнений
Роль теории дифференциальных уравнений в современной математике и ее приложениях
Список литературы
За последние полтора – два десятка лет сильно изменилось лицо качественной теории обыкновенных дифференциальных уравнений. Одним из важных достижений является открытие предельных режимов, которые получили название аттракторов.
Оказалось, что наряду со
стационарными и периодическими
предельными режимами возможны предельные
режимы совершенно иной природы, а именно
такие, в которых каждая отдельная
траектория неустойчива, а само явление
выхода на данный предельный режим
структурно устойчиво. Открытие и подробное
изучение для систем обыкновенных дифференциальных
уравнений таких предельных режимов,
называемых аттракторами, потребовало
привлечения средств
Другим важным достижением теории обыкновенных дифференциальных уравнений явилось изучение структурной устойчивости систем. При использовании любой математической модели возникает вопрос о корректности применения математических результатов к реальной действительности. Если результат сильно чувствителен к малейшему изменению модели, то сколь угодно малые изменения модели приведут к модели с совершенно иными свойствами. Такие результаты нельзя распространять на исследуемый реальный процесс, так как при построении модели всегда проводится некоторая идеализация и параметры определяются лишь приближенно.
Это привело А.А. Андронова
и Л.С. Понтрягина к понятию грубости
системы обыкновенных дифференциальных
уравнений или понятию
В 1965 году Смейл показал, что при большой размерности фазового пространства существуют системы, в некоторой окрестности которых нет ни одной структурно устойчивой системы, то есть такой, что при малом изменении векторного поля она остается в определенном смысле эквивалентной первоначальной. Этот результат имеет фундаментальное значение для качественной теории обыкновенных дифференциальных уравнений, так как показывает неразрешимость задачи топологической классификации систем обыкновенных дифференциальных уравнений, и может быть сравним по своему значению с теоремой Лиувилля о неразрешимости дифференциальных уравнений в квадратурах.
К важным достижениям можно отнести построение А.Н. Колмогоровым теории возмущений гамильтоновых систем, обоснование метода усреднения для многочастичных систем, развитие теории бифуркаций, теории возмущений, теории релаксационных колебаний, дальнейшее глубокое изучение показателей Ляпунова, создание теории оптимального управления процессами, описываемыми дифференциальными уравнениями.
Таким образом, теория дифференциальных уравнений в настоящее время представляет собой исключительно богатый содержанием, быстро развивающийся раздел математики, тесно связанный с другими областями математики и с ее приложениями.
Бурбаки, говоря об архитектуре математики, так характеризует ее современное состояние:
"Дать в настоящее
время общее представление о
математической науке – значит
заниматься таким делом,
Однако нельзя, как мне кажется, отрицать значение для математических исследований даже тех, кто находится "в закоулке" математической науки. Основное русло математики, как и большой реки, питают прежде всего небольшие ручейки. Крупные открытия, прорыв фронта исследований очень часто обеспечиваются и подготавливаются кропотливым трудом очень многих исследователей. Все сказанное относится не только ко всей математике, но и к одному из самых обширных ее разделов – теории дифференциальных уравнений, которая в настоящее время представляет собой трудно обозримую совокупность фактов, идей и методов, очень полезных для приложений и стимулирующих теоретические исследования во всех других разделах математики.
Многие разделы теории дифференциальных уравнений так разрослись, что стали самостоятельными науками. Можно сказать, что большая часть путей, связывающих абстрактные математические теории и естественнонаучные приложения, проходит через дифференциальные уравнения. Все это обеспечивает теории дифференциальных уравнений почетное место в современной науке.
Список литературы
1. Америн В.С.Введение в математическое моделирование
2. Боярчук А.К., Головач Г.П.Справочное пособие по высшей математике. Дифференциальные уравнения в примерах и задачах. Дифференциальные уравнения высших порядков, системы дифференциальных уравнений, уравнения в частных производных первого порядка. Т.5, Ч.2. Изд.5М: Метра 2006
3. Будак А.Б., Щедрин Б.М.Элементарная математика. Руководство для поступления в вузы. Изд.5 М.: Инфра –М 2005
4. Бурбаки Н. Очерки по истории математики М.: ИЛ, 1963 г.
5. Олейник О. А. Роль
теории дифференциальных
Информация о работе Роль теории дифференциальных уравнений в современной математике и ее приложениях