Розвязвння багатокритейних задач на нечіткій множині альтернатив

   Відношення  R на множині X називається лінійним, якщо цим відношенням або зворотним до нього відношенням пов'язані будь-які дві альтернативи х і у з даної множини X. Іншими словами, при лінійності відношення R на множині X немає непорівняних між собою по відповідній перевазі альтернатив. У цьому сенсі лінійність звичайного відношення еквівалентна наступній умові:

   =.

   Цю  умову можна записати інакше у  вигляді рівності

     = ,

   де  - доповнення відношення R в декартовому добутку X×X.

   Помітимо, до речі, що у разі нечіткості відношення переваги R однозначно можна визначити лише повну відсутність лінійності, причому це можна зробити наступним чином.

   Нечітке відношення R з функцією приналежності (чи, що те ж саме, нечітке відношення ) не являється лінійним тоді і тільки тоді, коли знайдуться дві альтернативи , для яких виконується рівність 

   Властивість лінійності нечіткого відношення можна  розуміти ширше, ніж у разі лінійності звичайного відношення внаслідок того, що функція приналежності такого відношення може приймати окрім значень 0 і 1 і будь-які проміжні значення. З урахуванням цього представляється доцільним ввести поняття степені лінійності нечіткого відношення.

   Визначення 1. - деяке число з інтервалу [0,1]. Нечітке відношення називається α-линейным, якщо його функція приналежності задовольняє умові: 

   Таким чином, якщо розглядається на заданій  множині X нечітке відношення переваги являється, наприклад, 0,7-лінійним, то з кожної пари альтернатив одна виявиться не гірша за іншу з мірою, більшою, ніж 0,7.

   Визначення 2. Нечітке відношення називається сильно лінійним, якщо його функція приналежності задовольняє умові

                                                              (1)

   для будь-якої пари альтернатив х, у ∈ X .

   Властивість сильної лінійності можна визначити  ще таким чином: якщо  

   то обов'язково виконується умова

                                         (2)

   Неважко помітити, крім того, що властивість  сильної лінійності виявляється  еквівалентною умові 

                       (3)

де  - нечітке відношення строгої переваги, яка означає, що відповідно до критеріїв, визначуваного відношення , альтернатива у строго краще за альтернативу х.

   Умову (3) можна довести таким чином. Якщо виконується умова (2), то відповідно до визначення отримаємо, що і умова (3) також виконується. Зворотнє, якщо умова (3) виконана, і

   ,

   то і тобто при цьому умова (2) також виконується.

   Розглянемо  детальніше умову (3). Очевидно, що воно може бути представлене у виді

=                     (4)

   Зміст виразу (4) можна пояснити таким чином. Якщо альтернативи х і у такі, що у рамках цього відношення переваги R альтернатива х строго краще, ніж альтернатива у, тобто x>y з степеню 1, то в цьому випадку , інакше кажучи, умова у х не виконується ні з яким додатним степенем [3,82c.].

   У тому випадку, якщо умова x > y не виконується, то , тобто альтернатива у виявляється не гірше за альтернативу х з степеню 1, звідки витікає, що у х. Якщо ж альтернатива х буде не гірша за альтернативу у із степенем α, то з степеню (1 -α) виконується перевага у х.

   Таким чином, по своєму сенсу властивість  сильної лінійності нечітких відношень  переваги в найбільшій степені можна  вважати аналогічною властивості  лінійності звичайного відношення.

   З визначення сильної лінійності виходить, що для двох будь-яких альтернатив   із заданої їх множини X виконується хоча б одне з рівностей або Крім того, у разі сильно лінійного відношення переваги R значення відношень і   співпадають між собою для будь-якої пари альтернатив із Х.

   Надалі  користуватимемося переважно двома  типами α-линейности, що мають місце для крайніх значень α :

   - нульова (чи слабка) лінійність;

   - сильна лінійність.

   Визначення 3. Нечітке відношення називається слабо лінійним, якщо його функція приналежності задовольняє умові, відповідно до якої з рівності , слідує, що для будь-якої пари альтернатив .

   Розглянемо  приклади лінійних відношень переваги при різній степені їх лінійності.

   1.   Приведемо матрицю функції приналежності сильно лінійного нечіткого відношення переваги :

   

   2.  Наведемо приклад нечіткого відношення переваги з властивістю лінійності рівня α = 0,55:

   

3. Наведемо приклад слабо лінійного нечіткого відношення переваги:

   

   Властивості лінійності нечітких відношень використовують в задачах ухвалення рішень, наприклад при необхідності раціонального вибору альтернатив з деякої їх множини X [1,169c.].

   1.5. Нечітка підмножина недомінованих альтернатив

   Прикладом одного з досить поширених класів задач служать задачі раціонального вибору альтернатив з деякої множини X, на якій задано деяке нечітке відношення переваги R з функцією приналежності . Такі задачі є досить типовими як для теорії автоматизованого управління, так і для теорії і практики ухвалення рішень. Більше того, задачі подібного роду кожній людині доводиться вирішувати постійно.

   Оскільки  функція приналежності повністю визначає відношення переваги R, надалі, для позначення цього відношення вживатимемо в якості рівноправних як символ R, так і символ

   Розглянемо  один з ефективних підходів до рішення задач подібного класу. Вважатимемо, що, як вже відзначалося раніше, у разі, коли інформація про об'єкт автоматизованого управління або про ситуацію ухвалення рішень описана у формі звичайного відношення переваги, то раціональним рішенням задачі є вибір з множини X підмножини недомінованих альтернатив.

   Застосуємо  цей підхід до задачі ухвалення рішень при нечітко описаному відношенні переваги R на початковій множині альтернатив

   Нехай - нечітке відношення нестрогої переваги на множині X, a - відповідне нечітке відношення строгої переваги . Як було показано раніше, де , де - зворотнє по відношенню до R відношення.

   Визначимо підмножину недомінованих альтернатив в множині (Х, ). Оскільки початкове відношення переваги R описане нечітко, то цілком природно чекати, що і відповідна шукана підмножина недомінованих альтернатив також виявиться нечіткою.

   Процедура знаходження підмножини недомінованих альтернатив спирається на наступні міркування.

   За  визначенням нечіткого відношення строгої переваги , для будь-якої пари альтернатив величина   являє собою ту степінь, з якою альтернатива у домінується іншою альтернативою х. Отже, при деякому фіксованому значенні функцію ,  визначену на базовій множині X, можна інтерпретувати як функцію переваги нечіткої підмножини усіх альтернатив x ∈ X, які строго домінують альтернативу .

   Нехай, наприклад, степінь приналежності деякої альтернативи цієї множини рівна 0,3. Це означає, що альтернатива домінує альтернативу з степеню 0,3. Множина усіх альтернатив х, які не домінуються альтернативою , є доповненням в X введеного нечіткого відношення строгої переваги.

   Відповідно  до визначення доповнення ця нова нечітка множина описується функцією приналежності виду

                                        (5)

   Тому  для виділення в початковій базовій  множині X шуканої підмножини усіх альтернатив, кожна з яких не домінується жодною іншою альтернативою з X, необхідно знайти перетин нечіткої множини виду (5) по всіх у∈X. Цей перетин і називають нечіткою підмножиною недомінованих альтернатив і позначають символом

   Відповідно  до визначення операції перетину нечітких величин отримаємо 

   або, цілком природно,

         (6)

   Визначення. Нехай X є деякою базовою множиною альтернатив, на якій задано нечітке відношення переваги . Тоді нечіткою підмножиною недомінованих альтернатив множини (називається підмножина, яка описується функцією приналежності виду (6).

   Конкретні значення   є тією мірою, з якою альтернатива х не домінується жодній іншій з альтернатив множини X.

   Нехай для деякої фіксованої альтернативи це значення . В цьому випадку альтернатива може домінувати деякими іншими альтернативами з множини X, але з степеню, що не перевищує величини 1 - α. При цьому 

   а відпвідно,

                (7)

   Використовуючи  визначення нечіткого відношення строгої  переваги , можна показати, що 

   при будь-якому де х – довільно вибрана альтернатива.

Для цього  введемо дві допоміжні множини 
 

   Очевидно, що для любого х.

   =

   }= 

   Таким чином, показано виконання умови (7) Відповідно,

              (8)

   Отриманий вираз може розглядатися як спосіб обробки початкової нечіткої інформації, заданої у формі нечіткого  відношення переваги з метою виділення у базовій множині X шуканої підмножини недомінованих альтернатив.

   Оскільки  величина фактично є мірою недомінованості альтернативи х, то очевидно, що раціональним в умовах нечіткої інформації, що розташовується, природно рахувати вибір альтернатив, що мають, по можливості, велику міру приналежності множини , тобто тих альтернатив, які мають значення , по можливості як можна ближче до величини, рівної 

Ці альтернативи, які в точності дають цю величину, тобто елементи множини 

   будемо називати максимальними недомінованими альтернативами множини(X, ).

   1.6. Чітко недоміновані альтернативи і їх властивості

   Розглянемо  завдання раціонального вибору альтернатив  з даної базової множини X, на якій задано нечітке відношення переваги R з функцією приналежності . Будемо вважати, що в цьому завданні множина недомінуючих альтернатив являє собою нормальну підмножина множини X, тобто таке, що його функція приналежності має властивість