Сандар теориясы

САНДАР  ТЕОРИЯСЫ

Сандар  теориясы — математиканың бүтін, рационал және алгебралық сандардың қасиеттерін зерттейтін саласы. Әсіресе оң натурал сандар 1, 2, 3, …, оның қасиеттері мен оларға арифмет. амалдар қолдану Сандар теориясының зерттеу аясында ерекше орын алады. Грекияда б.з.б. 6 ғ-да (Пифагор мектебінде) бүтін сандардың бөлінгіштігі зерттеліп, бүтін сандардың жеке түрлері (мыс., жай сандар, құрама сандар, квадрат сандар) ажыратылды, кемел сандардың құрылымы қарастырылды. Евклид “Негіздерінде” Евклид алгоритміне сүйеніп, екі бүтін санның ең үлкен ортақ бөлгішін табуға арналған жүйелі бөлінгіштік теориясы құрылды. Онда Евклид жай сандардың шексіз көп болатынын дәлелдеді. Диофанд (б.з.б. 3 ғ.) “Арифметика” деген еңбегінде теңдеулердің бүтін санды шешулерін табумен айналысып, Сандар теориясын дамытуға үлкен үлес қосты. Сандар теориясының кейбір мәселелері Қытайда (2 ғ-дан бастап), Үндістанда (7 ғ-дан бастап), Шығыс араб елдерінде (9 ғ-дан бастап) қарастырылды. Еуропада Сандар теориясының дамуы П.Ферма (1601 — 65) зерттеулерінен басталады. Ферма өзінің атақты теоремасын дәлелдеген және бұл теорема салыстыру теориясында үлкен рөл атқарған кіші теорема болды. Л.Эйлер (1707 — 83) аналит. Сандар теориясының негізін қаласа, К.Гаусс жүйелі салыстыру теориясын жасады. 19 ғ-дың ортасында П.Дирихле (1805 — 59) арифмет. прогрессия туралы теоремасын дәлелдеп, өзінің функционалдық қатарын енгізді. Сандар теориясының дамуына ресейлік ғалымдар П.Чебышев(1821 — 94), А.Марков (1856 — 1922), И.Виноградов (1891 — 1983), т.б. үлес қосқан. Қазақстанда Сандар теориясының дамуын арттырудаБ.Оразбаев шәкірттерімен бірге жемісті еңбек етті. Аналит. әдістерді алгебрада қолдануды қажет ететін есептерді, яғни абсолют абельдік өрістердің асимптотик. таралу заңдылығы (Оразбаев), абсолют абельдік өрістер санының натурал қатарда орналасу заңдылығы (С.Кенжебаев,А.Бөленов), Дирихленің L-қатарларының теор.-функционалдық қасиеттері (Р.Тұрғаналиев, т.б.), жазық облыстардағы бүтін нүктелер санының бағасы (С.Әбләлимов), кейбір мультипликативтік функциялардың бағасы (И.Ильясов) зерттелді. Қазақстанда, негізінен, сандардың аналитик. теориясы дамуда. Қазіргі кезде Сандар теориясының шешілмеген мәселелері көп: жай егіз сандар мәселелері, n2+1 түріндегі жай сандардың шексіздігі, шеңбер ішіндегі және гипербола астындағы бүтін нүктелер, p+е сандарының трансценденттігі, т.б.

 

 

ЖАЙ САН — 1-ден үлкен, бірақ 1 мен өзінен басқа сандарға бөлінбейтін, бүтін оң сан (мысалы, 2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, ...). Жай сандардың шексіз көп екендігі (Евклид теоремасы) ежелгі грек математиктеріне де белгілі болған. Жай сан натурал сандарды зерттеу кезінде негізгі ұғым болып есептеледі. Өйткені, кез келген бүтін сан (1-ден басқа) бір ғана түрде жай сандардың көбейтіндісіне жіктелетіндігін (көбейткіштердің тәртібіне назар аударылмайды) бөлінгіш теориясының негізгі теоремасы тұжырымдайды. 1-ден x-қа дейінгі жай сандарды табу үшін Эратосфен елегі(б.з.б. 3 ғасыр) қолданылады. 1-ден x-қа дейінгі жай сандар тізбегін қарастырғанда, орташа есеппен жай сан сирек кездеседі. Натурал сандар қатарының бірде бір жай сан болмайтын өте үлкен аралықтары болады. Дегенмен айырмасы 2-ге тең жай сандар да (егіз сандар деп аталатын) бар (мысады, 10006427 және 10006429). Мұндай егіз сандар жиыны шекті ме не шексіз бе деген сұраққа әзірше жауап табылған жоқ (1987). Натурал сандар қатарында жай сандардың таралуы — сандар теориясының ең қиын мәселесі. Бұл мәселе, x оң санынан аспайтын, жай сандардың санын көрсететін p(x) функциясының асимптоталық сипатын зерттеу ретінде қарастырылады. Евклид теоремасынан x®¥ болғанда p(x)®¥ болатындығы шығады. Л.Эйлер 1737 жылы төмендегідей дзета-функциясын ендірді: Ол s>1 болғанда болатындығын дәлелдеді. Мұнда қосынды барлық натурал сан бойынша, ал көбейтінді барлық жай сан бойынша жүргізіледі. Соңғы теңдік және оның жалпыламасы жай сандардың таралу теориясында маңызды рөл атқарады. жай сандардың таралу мәселесін зерттеуде П.Л. Чебышев, француз математигіЖ.Адамар (1865 — 1963), бельгиялық математик Ш. Ла Валле Пуссен (1866 — 1962) ірі жетістіктерге жетті. Жай сандардың таралу мәселесі элементар әдіспен де, математикалық анализ әдісімен де зерттеледі. 1965 жылға дейінгі ең үлкен жай сан: 211213–1. Бұл санның құрамында 3376 цифр бар. 

 Қытайдың қалдықтар туралы теоремасы атымен бірнеше ұқсас тұжырымдар белгілі. Бұл теорема арифметикалық түрде қытай математигіСунь Цзыдың «Сунь Цзы Суань Цзин» трактатында шамамен б.з. үшінші ғасырда сипатталған.

Егер   натурал сандары өзара жай болса, онда барлық   үшін   болатындай кез келген   үшін кез келген   үшін   санына бөлгенде   қалдық беретіндей   саны табылады. Тіпті егер осындай екі   мен   сандары табылса, онда  .

 

Дәлелдеу  [жасыр ▼]

 бойынша индукцияны пайдаланайық.   үшін тұжырымдама ақиқаттығы айқын.   үшін теорема орындалсын, яғни   үшін  -ге бөлгенде   қалдық беретіндей   саны табылады. Келесідей белгілейік

сосын   сандарын қарастырайық. Осы сандардың кем дегенде біреуі   санына бөлгенде  қалдық беретінін көрсетейік. Қарсы жориық, ондай сан табылмасын. Сандар саны  , ал   санына бөлгендегі барлық әр түрлі қалдықтар саны   санынан аспағандықтан (себебі еш сан   қалдық бере алмайды), онда олардық арасында бірдей қалдық беретін екеуі табылады(Дирихле принципі). Бұл сына   және   сандары болсын, мұндағы  ,   және  . Онда олардың   айырмасы   санына бөлінеді, бұл   және   өзара  санымен жай болғандықтан мүмкін емес, себебі   жұп жұбымен өзара жай сандар (есеп шарты бойынша). Қарама қайшылық.

Сонымен берілген сандар арасында N саны a_k санына бөлгенде _rk қалдық беретіндей табылады. Оның үстіне

 сандарына N санын бөлгенде сәйкесінше :   қалдықтарын береді.

Енді   екендігін дәлелдейік. Шыныменде  , демек  . Барлық  өзара жай болғандықтан   олардың көбейтіндісіне бөлінеді. Дәлелдеу керектігі осы.

 

Бөлінгіштік белгілері Бөлінгіштік белгілері деп, берілген х санының а санына қалдықсыз  бөлінетінін бөлу амалын орындамай  – ақ білуге болатын ережелерді атаймыз. Мысалға есептеу үшін қолайлы, ондық санау жүйесіндегі бөлінгіштік  белгілерін қарастырайық.   2 – ге бөлінгіштік белгісі.   Сан жұп 0, 2, 4, 6, 8 цифрларымен аяқталса ғана 2 – ге бөлінеді.   3 – ке ( 9 – ға ) бөлінгіштік белгісі.   Егер санның цифрларының қосындысы 3 – ке ( 9 – ға) бөлінсе, тек сонда ғана ол сан 3 – ке ( 9-ға ) бөлінеді.   4 – ке бөлінгіштік белгісі.   Егер санның соңғы екі орынды саны 4 – ке бөлінсе, тек сонда ғана сан 4 – ке бөлінеді.   5 – ке бөлінгіштік белгісі.   Егер сан 5 – пен немесе 0 – мен аяқталса, ол сан 5 – ке бөлінеді.   7 – ге бөлінгіштік белгісі.   7 сиқырлы сан деп есептелген . Оған бөлінгіштік белгісі осы күнге дейін нақтылы анықталмаған. Себебі 7 – ге бөлінгіштіктің біраз ұсынылған белгілері көптеген есептеу жұмысын жүргізуді қажет етеді, одан гөрі 7 – нің өзіне бөлу жеңілірек. Мысалға, өткен ғасырдың орта кезінен 7 – ге бөлінгіштіктің мынадай белгісін білеміз. Ол былай есептеледі : берілген санның соңғы цифрын сызып тастап, сол сызылған санды екі еселеп берілген саннан азайтамыз. Осы әдісті ең соңында бір орынды сан қалғанға дейін жалғастырамыз. Егер осы бір орынды сан 7 – ге бөлінсе, онда берілген сан 7 – ге бөлінеді. 61671142 санының 7 – ке бөлінгіштігін тексерейік. 61671142   - 4   6167110   - 0   616711   - 2   61669   - 18   6148   - 16   598   - 16   43   - 6   - 2   Мұнда ең соңғы бір орынды сан – 2 7 – ге бөлінбейді, ендеше берілген   сан 61671142 де 7 – ге бөлінбейді. 8974531264   8   897453118   - 16   89745295   - 10   8974519   - 18   897433   - 6   89737   - 14   8959   - 18   877   - 14   73   - 6   1   Енді 8974531264 санын тексергенде соңғы цифр 1 болып шықты. Ол 7 – ге бөлінбейді, олай болса 8974531264 саны да 7 – ге бөлінбейді.   8 – ГЕ БӨЛІНГІШТІК БЕЛГІСІ.   Егер берілген санның соңғы үш орынды саны 8 – ге бөлінсе, ол сан 8 – ге бөлінеді.   Мысалы, 724648, 648 : 8 = 81, демек, 724648 8 – ге бөлінеді. 4751337, 337 : 8 – бөлінбейді, ендеше 4751337 8 – ге бөлінбейді. т.с.с   11 – ГЕ БӨЛІНГІШТІК БЕЛГІСІ.   Берілген сан 11 – ге бөліну үшін ол санның жұп орындағы цифрларының қосындысы мен тақ орындағы цифрларының қосындысының айырмасы не нөл немесе 11 – ге бөлінетін сан болуы керек.   Мысалы, 345796 тексеріп көрейік . 4 + 7 + 6 = 17,   3 + 5 + 9 = 17,   17 – 17 = 0   Ендеше, бұл сан 11 – ге қалдықсыз бөлінеді. Сол сияқты 92617294 санын тексерсек 2 + 1 + 2 + 4 = 9   9 + 6 + 7 + 9 = 31   31 – 9 = 22   22 : 11 = 2   Ендеше, 92637294 саны 11 – ге бөлінеді. 11 – ге бөлінгіштік белгісін дәлелдейік.   Кез келген көп таңбалы N санында a бірлік , b ондық, с жүздік, d мыңдық т.с.с бар болсын, сонда N = a + 10b + 100с + 1000 d + .... = a + 10( b + 10с + 100d+ ....).   Енді N – нен 11 ( b + 10с + 100 d + ....) (бұл сан 11 – ге бөлінеді) санын азайтамыз.   Сонда шыққан айырма а – b – 10(с + 10d + ...) болады, бұл санды 11 – ге бөлгенде шығатын қалдық бастапқы N саннын 11 – ге бөлгендегі қалдықпен бірдей. Осы қалдыққа 11 – ге бөлінетін 11( с + 10d + ...) санын қоссақ, а – b+с +10 ( d + ...) саны шығады, бұл санды да 11 – ге бөлсек, қалдығы сол N – ді 11 – ге бөлгендегі қалдыққа тең болады. Осы саннан 11( d + ...) ( 11 – ге бөлінетін) санын азайтамыз т.с.с Нәтижесінде а – b + с – d + ....) – (b+d+ ....) саны шығады, бұл санды 11 – ге бөлгенде шығатын қалдықпен тең.   11 – ге бөлгіштің басқа да белгісі бар ол тек аса үлкен емес сандар үшін. Ол әдіс бойынша берілген санды оңнан солға қарай екі орынды сандарға бөлеміз, одан соң әр бөліктегі сандарды мүшелеп қосамыз, осы қосынды 11-ге бөлінсе, онда сан да 11-ге бөлінеді, басқаша болса, бөлінбейді.   Мысалы, 528 санын тексерейік: |5|28|, қосамыз 5 + 28=33 бұл 11-ге бөлінеді, ендеше 528 де 11-ге бөлінеді. Осы бөлінгіштік белгісін дәлелдеу керек. Көп орынды N санын 2-орындыдан бөліп шығамыз, сонда екі орынды, бір орынды сандар аламыз. Оны солдан оңға қарай a, b, c т.б. деп белгілейміз. Сонда, N= a + 100b + 10000c +… = a + 100(b + 100c +…) Енді N санынан 11-ге бөлінетін 99(b + 100c+…) санын азайтамыз. Шыққан а + (b + 100c + …)= a + b +100(c + …) санын 11-ге бөлгендегі қалатын қалдық бастапқы N-ді 11-ге бөлгенде шығатын қалдықпен бірдей болады.Бұл санын 99(c + …), (11-ге бөлінетін сан) санын азайтамыз т. с. с. нәтижесінде 11-ге бөлгендегі қалдығындай болатын а + b + с + ...саны шығады.   13-КЕ БӨЛІНГІШТІК БЕЛГІСІ.   Берілген санды солдан оңға қарай сызықшамен үш орынды сандарға бөлеміз. Бірінші, үшінші, бесінші орындағы бөліктердің қосындысын, содан соң екінші, төртінші, т. с. с. орындағылардың қосындысын тауып, сол қосындылардың айырмасы 13-ке бөлінсе, онда берілген сан да 13-ке бөлінеді.   Мысалы, 91182091 санын тексерейік,911 |820|91, бұдан 911 + 91=1002, 1002 - 820 = 182, 182 13-ке бөлінеді, ендеше, 91182091 саны да 13-ке бөлінеді.   19-ҒА БӨЛІНГІШТІК БЕЛГІСІ   Сан 19-ға бөлінуі үшін ол санның ондықтары мен екі еселенген бірліктерінің қосындысы 19-ға бөлінуі керек.   Мысалы, N= 10х + у, мұндағы х – ондықтар саны, у- бірліктер саны.   Егер х+2у =N΄ 19-ға бөлінсе, N де 19-ға бөлінетінін дәлелдеуіміз керек. Ол үшін N΄-ты 10-ға көбейтіп, одан N-ді азайтамыз, сонда 10 N΄ − N = 10(х+2у) –(10х+у)=19у. Бұдан байқайтынымыз: егер N΄ 19-ға бөлінетін болса, онда N = 10N΄-19у те 19-ға бөлінеді, керісінше, егер N саны 19-ға қалдықсыз бөлінсе, онда N΄ та 19-ға қалдықсыз бөлінеді. 47045881   + 2   4704590   + 18   47063   + 6   4712   + 4   475   + 10   57   + 14   19   25 – КЕ БӨЛІНГІШТІК БЕЛГІСІ.   Сан 25 – ке бөлу үшін , ол 00, 25, 50, 75 сандарының бірімен аяқталуы керек.   Санның соңғы цифры х = хп •10п + .... + х2 • 102 + х1 10+х0 болсын. 100 25 –ке бөлінеді,ендеше 1000, 10000 т.с.с. да 25 – ке бөлінуі үшін х1•10+х0 саны 25 – ке бөлінуі керек екен. Ол тек х1•10+х0 сандары 00, 25, 50, 75 – пен аяқталғанда ғана орындалады.   99 – ҒА, 33 – КЕ, 11 – ГЕ БӨЛІНГІШТІК БЕЛГІСІ.   Сан 99 – ға , 33 – ке, 11 – ге бөлінуі үшін, оның цифрларын оңнан солға қарай екі орыннан бөлгенде шыққан сандардың қосындысы 99- ға , 33 –ке, 11 – ге бөлінеді.   Мысалы, 2΄ 03΄ 73΄ 54 саннан 54 + 73 + 03 + 2 = 132. Ал 132 33 – ке , 11- ге бөлінеді,ендеше 2037354 саны да 33 – ке, 11 – геқалдықсыз бөлінеді.   Сол сияқты 6΄ 91΄ 80΄ 21 үшін 21+80+91+6 = 198, ал бұл 99 – ға бөлінеді. Олай болса, 33 – ке де, 11 – ге де бөлінеді, бұдан 6918021 саны да 99 –ға, 33 – ке, 11 – ге бөлінеді.   101 – ГЕ БӨЛІНГІШТІК БЕЛГІСІ.   Егер берілген санның, оңнан солға қарай есептегенде, екі – екіден бөлінген цифрларының тақ орындағыларының қосындысы мен жұп орындағыларының қосындысы бірінен бірін азайтқанда айырма не 0 – ге, не 101 – ге тең болса, онда бұл сан 101 – ге бөлінеді.   Мысалы. 2΄ 68΄ 45΄63΄83 санында 83+45+2 =130. 63+68 = 130, 130 -130 = 0 , демек 268456383 саны 101 – ге бөлінеді. 999 – ҒА, 333 –  КЕ, 111 – ГЕ, 37 – ГЕ, 27 – ГЕ БӨЛІНГІШТІК  БЕЛГІЛЕРІ.   Берілген сан 999 – ға , 333 – ке, 111 – ге, 37 – ге, 27 – ге бөлінуі үшін оңнан солға қарай үш – үштен санағанда алғашқы үш бөліктің қосындысы, одан кейінгі үш бөліктің қосындысына тең болса және олар 999, 333, 111, 37, 27 – ге бөлінетін болса, ол осы сандарға бөлінеді.   Мысалы, 776223 – ті тексеріп көрейік: 223+776 = 999; 999 = 3 • 333 = 9•111 = 27 • 37, демек, берілген сан 999 – ға да, 333 – ке де, 11 - ге де, 37 – ге де , 27 – ге де бөлінеді.

 

САНДАРДЫҢ ШЫҒУЫ ЖӘНЕ ОНЫҢ ДАМУЫ

    Карл  Гаусс математиканың сан салаларына  сарапқа сала келіп арифметиканы  математиканың патшасы деп бағалаған.  Ал арифметиканың негізгі ұғымы  – сан. Ендеше, сол сан ұғымының  қалай пайда болуын ашу , білу – ғылыми методологиялық үлкен мәселе.

Сан туралы ұғым адамзат мәдениетінің тууымен және оның дамуымен тығыз байланысты. Шынында , егер осы ұғым болмаса , өзіміздің  рухани өміріміз бен практикалық  қызметімізді тиісті дәрежеде көрсете  алмас едік. Есеп – қисап жүргізу , уақыт пен қашықтықты өлшеу, еңбек нәтижесінің қорытындысын есептеу сан ұғымынсыз мүмкін емес.

    Сан  әуел баста заттарды санаудың  қажеттілігінен туған математикалы  ұғымдардың бірі. Кейін ол математикалық  білімнің дауына қарай жетілдірілді. Бұл ұғым өте ерте заманда адамдардың практикалық қызметтерінінен қажеттілігінен келіп туды.

    Жалпы  алғанда сан ұғымы басқа ешқандай  емес тек шындық дүниеден шыққан. Өте ерте заманда пайда болған  сан ұғымы көптеген ғасырлар  бойы жалпыланып ,кеңейе түсті . Сонда сан жайындағы түсініктер  адамзаттың практикалық мұқтаждығына, мәселен , шамаларды өлшеудің қажеттілігіне және математиканың өзінің ішкі мұқтаждығына байланысты кеңеіәп отырғандығы байқалады.Мысалы шамаларды  дәлірек өлшеудің мұқтаждығы оң бөлшек ұғымының тууына себепті болса, теңдеулерді шешу тәжірибелері мен осы санаудағы теориялық зерттеулерге байланысты  теріс сандар пайда болды. Бастапқыда санның жоқ екенін белгілеу үшін қолданылған нөл саны  теріс сандар енгізілгеннен кейін  сан ретінде қарастырылатын болды.

Француз математигі Рене Декарт (1596-1650) 1637 жылы координаталық  түзуді енгізіп теріс және оң сандарға түсінік берді.

                          -3    -2     -1     0     1      2     3

Нөл саны , натурал  сандар және оған қарама-қарсы сандар бүтін сандар жиынын құрайды. Оны Z әріпімен белгілейді. Ал бүтін сандар жиыны және теріс бөлшектер рационал сандар жиынын құрайды. Рационал сандар жиынын Q әріпімен белгілейді. Рационал термині латын тіліндегі «ratio» деген сөзден шыққан. Ол қазақшаға аударғанда «бөлінді», «қатынас» деген мағынаны береді.Яғни бұл жерде  рационал сан бүтін сандардың қатынасы деп түсіндіріледі. Мысалы 7=7\1 ;7=14\2; 7=28\4

Бұлар бөлшек сандар. Жалпы рационал сан ұғымы әртүрлі  шамаларды – ұзындықты, салмақты. ауданды, перимеитрді және тағы сол сияқты өлшеу процесіне байланысты пайда болды.

Нәрселерді  санауда пайдаланылатын сандарды натурал  сандар деп аталады. Натурал сандар қатары 1 санынан басталады.Оның мүшелері шексіз болады.Натурал сандар ұғымының дамуы ерте заманада адамдардың заттар жиынтнғының  санын оларды санамай-ақ , яғни өзара бірмәнді  сәйкестікті тағайындау  негізінде қабылдануымен сипатталады.

      Уақыт өте келе адамдар сандарды  атауды ғана емес, сонымен қатар  оларды белгілеуді де, сондай-ақ  олармен амалдар қолдануды да үйренді. «Натурал сан» терминін тұнғыш рет римдік ғалым А. Боэций (шамамен 480-514 жылдар) қолданған. Натурал сан ұғымы қалыптасқаннан кейін сандар дербес объектлерге айналды.

ХІХ ғасырда  ғалымдардың назары натурал сандармен  есептеулер жұргізуге негіз болған теорияларды құруға және логикалық тұрғыдан негіздеуге аударылды. Натурал сандар ұғымының өте қарапайым және табиғи көрінетіні сондай, ғылымда ұзақ уақыт бойы оны қандай да болсын қарапайым ұғымның терминдерімен анықтау туралы мәселе қойылған жоқ.Бөлшектердің пайда болуы шамаларды өлшеумен пайда болды. Ерте кезде адамдарға сауда – саттық және түрлі есептеу жұмыстарында бөлшектер мен үлестерді есептеу қажет болған. Алғашында математикада бөлшектерді «сынық сандар» деп атаған. Бөлшектер туралы түсініктің дамуында үш түрлі бөлшектер ұғымы қалыптасқан.

1. Бірлік бөлшектер – алымдары 1 болатын бөлшектер.
2. Жүйеленген бөлшектер. Жүйеленген бөлшектің алымы кез келген бүтін сан, бөлімі тек 10 санының немесе 60 санының дәрежелері ғана болған.
3. Жалпы түрдегі бөлшек. Жалпы түрдегі бөлшектің алымы да , бөлімі де кез келген натурал сан болды.

     Бөлшектердің  мұндай әртүрлілігі есептеу және  өлшеу жұмыстарында көптеген  қиындықтар туғызды.Бөлшек ұғымының  дамуы ғылым мен сауда-саттық  жұмыстарында өркендеген елдерде: Мысырда , Вавилонда, Үндістанда және Римде қалыптасты. Ертеде әртүрлі елдер бөлшек сандарды белгілеуде өздерінің түрліше символдарын енгізді. Мысалы, мысырлықтар 1\10-ді -белгісімен, 1\2-ні- - белгісімен және 1\3 –ді -белгісімен көрсеткен. Ежелгі Үндістанда жай бөлшектерді жазуда оның бөлшек сызығын сызбай, алымын үстіне , бөлімін астына жазған. Мысалы, 1\3-ді түріндежазған. Бөлшекті осы түрде жазу тәжік ғалымы әл-Насави (1030 жылдар) ғылыми жұмыстарында орын алған. Ежелден 1\2-ді  жарты, 1\4-ді ширек , 1 +1\2-ді бір жарым және т.с.с, деп атаған. Осылайша «жарты» , «ширек» ұғымдары қалыптасқан.

Бөлшек сызығын  уал-Хасара және итальяндық Леонардо Пизанский өздерінің жазба есептеулерінде пайдаланған. Леонардо Пизанский «бөлшек» деген сөзді енгізді.Бөлшек сызығы ХҮІ ғасырда ғана белгілеуге толық неді.

Ертедегі вавилондықтар  өздерінің ғылыми зерттеулерінде алпыстық бөлшектерді (бөлімі алпыс болатын сан) пайдаланылады. Осыдан қалған бөлшек жүйесінен қазіргі уақыт бірлігіндегі 60-тық жүйе қалыптасқан.

1 мин = 1\60сағ; 1сек = 1\60мин. Бөлшектегі «алым» , «бөлім» атауларын ХІІІ ғасырда  грек математигі Максим Плаунд  енгізген, жалпы түрдегі m\n  бөлшегі  ежелгі грек ғалымы Архимедтің еңбектерінде пайдаланылған. ХХ ғасырдың алғашқы жылдарында үнділер жай бөлшектерге амалдар қолдануды қалыптастырды.

Самарқанд қаласындағы  астрономиялық обсерваторияның  негізін салушы әл-каши бөлшек сандарды жазудың барлық түрлендірулер мен есептеулерін айтарлықтай ықшамдайтын түрін, яғни ондық бөлшек деп аталатын жаңа түрін ашты.

ХҮІІ ғасырдың басында ондық бөлшекті жазуды, айыру  таңбасы ретінде үтір немесе нүкте  қолданыла бастады.

       Ондық бөлшектерді есептеу натурал  сандарды есептеуге ұқсас және ыңғайлы болғандықтан,ғылымдағы,өндірістегі, күнделікті өмірдегі есептеулерге жиі пайдаланылады. Ондық бөлшектер және ондық бөлшектерге амалдар қолдану туралы ортаазиялық ғалым Әл-Каши өзінің «Арифметика кілті» (1437ж) атты кітабында жазды. Әл-Каши ондық бөлшектерді жазуда үтірді пайдаланбаған, бірақ ол үтірдің орнына тік сызық қойған. Ал, индерландиялық математик Стевин Симон (1548-1620) өзінің ондық бөлшек туралы «Ондық» атты (1585) кітабында үтірді пайдаланбай , бөлшектің бүтін бөлігі мен бөлшек бөлігін бір қатарға үтірсіз жазған. Мысалы, 37,48 ондық бөлшегін мына түрде жазған: 37 0 4 1 8 2. Үтірдің орнына бірліктің үстіне нөл жазған. 1, 2, 3, .... цифрларымен ондық таңбалардың ретін белгілеген.

      Өмірде, тұрмыста , кездесетін көптегшен шамалар ( жылдамдық, биіктік, температура , баға, т.б.) көбейіп, азайып өзгеріп отырады. Шамалардың өзгерістерін белгілеу үшін оң сандармен қатар теріс сандар енгізілді. Теріс сандар туралы ең алғашқы ұғым біздің заманымызға дейінгі ІІ ғасырдағы  қытай математиктерінің еңбектерінде кездескен. Оң санды «өсу» өзгерісінде қолданса , теріс санды «кему» ретінде қолданған немесе теріс сандар «қарыз» мағынасында қолданса , оң сандарды қолда бар зат «мүлік» деп түсінген.

      Кейбір шамалардың тура мағынасы,тура бағыты болумен қатар, қарама- қарсы мағынасы ,қарма –қарсы бағыты болады. Шамалардың өзгерісінің сан мәнін жазғанда,оқығанда оның тура мағынасының сан мәнінің алдына «+» таңбасы қойылады. Шаманың қарама-қарсы мағынасының сан мәнінің алдына «-» таңбасы қойылады.    Координаталық түзудегі оң (оңға қарай)  бағытқа қарама-қарсы (солға қарай) бағыт теріс бағыт деп аталып, ол бағытта теріс сандар кескінделеді. Бір-бірінен тек қана таңбаларымен ажыратылатын сандар қарама-қарсы сандар деп аталады.

     Математикаға теріс сандардың  енгізілуімен қатар нөл саны да жаңа мағынаға ие болды. Нөл саны санақ басы болып және қарама-қарсы сандардың қосындысы деп есептелді. Үнділер нөлді «сунья» (қазақша «бос» деген мағынаны білдіреді) деп атаған, ал арабтар «ас-сифр» деп аударған, сондықтан ХҮІІ ғасырға дейін нөл «цифр» деп аталып келген .

«Нөл» қазақшаға  аударғанда «ешқандай» дегенді білдіретін латынның «nullus» деген сөзінен  шыққан.