Шпаргалка по дисциплине "Математика"

4. Полный дифференциал функции нескольких переменных. Частные производные высших порядков

 

 

Частной производной по   от функции   называется предел отношения частного приращения этой функции   по   к приращению  , когда последнее стремится к нулю: 
 .

 
Частной производной по   от функции   называется предел отношения частного приращения этой функции   по   к приращению  , когда последнее стремится к нулю: 
 .

 
Пусть задана функция   . Если аргументу   сообщить приращение  , а аргументу   – приращение  , то функция   получит приращение  , которое называется полным приращением функции и определяется формулой:  .

 
Функция  , полное приращение   которой в данной точке может быть представлено в виде суммы двух слагаемых (выражения, линейного относительно   и  , и величины бесконечно малой высшего порядка относительно  ): 
 , 
где   и   стремятся к нулю, когда   и   стремятся к нулю (т.е. когда  ), называется дифференцируемой в данной точке.

 
Линейная (относительно   и  ) часть полного приращения функции называется полным дифференциалом и обозначается  :  
, 
где   и   – дифференциалы независимых переменных, которые, по определению, равны соответствующим приращениям   и  .

 
Частные производные от частных производных первого порядка называются частными производными второго порядка. Для функции двух переменных   их четыре: 

 

 

Примеры решения задач

Пример 1. Найти полный дифференциал функции  .

Решение.

Полным дифференциалом   функции   называется линейная (относительно   и  ) часть полного приращения функции:  .

Следовательно, для выполнения задания достаточно найти частные производные первого порядка от функции и подставить их в вышеприведенную формулу.

 

 
Здесь и ниже использовалось правило дифференцирования произведения двух функций и правило дифференцирования сложной функции одной переменной.

 

 

 

 
Ответ: 

Билет 5

Экстремум функции двух переменных: необходимое и достаточное условия.

Определение: Если для функции Z=f(x,y), определенных некоторой окрестности точки Мо(Xo,Yo) верно неравенство.

f(Xo,Yo)>f(x,y) то точка Мо называется максимума (минимума) f(Xo,Yo)<f(X,Y)

Теорема: (Необходимые условия экстремума)

Если функция f(X,Y) в точке (Xo,Yo) имеет экстремум, то в этой точке либо обе ее частные производные первого порядка равны нулю

f’x(Xo,Yo)=0, f’y(Xo,Y0)=0

либо хотя бы одна из них существует.

Эту точку (Xo,Yo) будем называть критической точкой.

Теорема (Достаточные условия экстремума)

/ в окрестности критической  точки (Xo,Yo) функция (X,Y) имеет непрерывные частные производные до второго порядка включительно.

Билет 6

Неопределенный интеграл и его свойства.

Опр. Ф-я F(X) называется первообразной для функции f(x) на некотором промежутке, если для всех значений x из этого промежутка выполняется равенство.

F’(x)=f(x) или

dF(x)=f(x)dx

1.2. Свойства неопределенного  интеграла 

 

Свойство 1. Производная от неопределенного интеграла равна

подынтегральной функции ∫( f(x)dx)′= f(x).

Действительно пользуясь определением 1, имеем ∫( f(x)dx)′=(F(x)+C)′= f(x).

Свойство 2. Дифференциал от неопределенного интеграла равен

подынтегральному выражению d ∫( f(x)dx)= f(x)dx .

В самом деле, по определению ∫ f(x)dx=F(x)+C, тогда, вспоминая

определение дифференциала, имеем

∫ d( f(x)dx) = d(F(x)+C)=(F(x)+C)′dx = F′(x)dx= f(x)dx .

Свойство 3. Неопределенный интеграл от дифференциала некоторой

функции равен этой функции плюс произвольная постоянная

∫dF(x)=F(x)+C.

По определению дифференциала функции dF(x) = F′(x)fx , тогда имеем,

∫dF(x)=∫F′(x)dx = ∫ f(x)dx=F(x)+C.

Свойство 4. Неопределенный интеграл от алгебраической суммы двух или

нескольких функций равен алгебраической сумме их интегралов

∫(f (x)+ f (x))dx 1 2 = ∫ f (x)dx 1 +∫ f (x)dx 2 .

Доказательство. По свойству 1 ( ( ( ) ( )) ) ( ) ( ) 1 2 1 2 f x + f x dx ′ = f x + f x ∫ . С другой

стороны ∫( f (x)dx 1 + ( ) ) 2 ′ ∫ f x dx = ∫ ∫ ( ( ) )′+( ( ) )′ = ( )+ ( ) 1 2 1 2 f x dx f x dx f x f x .

Так как производные слева и справа равны, то функции отличаются на

постоянную величину. В этом смысле и следует понимать свойство 4.

Свойство 5. Постоянный множитель можно выносить за знак интеграла, т.е.,

если C = const , то ∫Сf(x)dx= ∫ С f(x)dx.

Доказательство. Найдем производные от левой и правой части

∫( Сf(x)dx)′=Сf(x), ∫ (C f(x)dx)′=C( f(x)dx)′ =Cf(x) ∫ .

Производные слева и справа равны, следовательно, функции стоящие

слева и справа отличаются только на постоянную величину.

Билет 7

Таблица интегралов

Билет 9

Геометрический смысл определенного интеграла

Определённый интеграл ∫abf(x)dx  численно равен площади фигуры, ограниченной осью абсцисс, прямыми x=a  и x=b  и графиком функции y=f(x). 

Формула Ньютона-Лейбница

∫abf(x)dx=F(x)|ba=F(b)−F(a),F′(x)=f(x) 

Метод подстановки для определенного интеграла

∫abf(x)dx=∫αβf[ϕ(t)]ϕ′(t)dt,x=ϕ(t),ϕ(α)=a,ϕ(β)=b 

Интегрирование по частям для определенного интеграла

∫abu(x)dv(x)=u(x)v(x)|ba−∫abv(x)du(x) 

Билет 10

 

Билет 11 Формула Ньютона-Лейбница

∫abf(x)dx=F(x)|ba=F(b)−F(a),F′(x)=f(x) 

 

 

Билет 55.

Центральная предельная теорема. Если случайная величина X представляет, собой сумму очень большого числа взаимно независимых случайных величин, влияние каждой из которых на всю сумму ничтожно мало, то X имеет распределение, близкое к нормальному распределению.

Пример. Пусть производится измерение некоторой физической величины. Любое измерение дает лишь приближенное значение измеряемой величины, так как на результат измерения влияют очень многие независимые случайные факторы (температура, колебания прибора, влажность и др.). Каждый из этих факторов порождает ничтожную "частную ошибку". Однако, поскольку число этих факторов очень велико, их совокупное действие порождает уже заметную «суммарную ошибку».

Рассматривая суммарную ошибку как сумму очень большого числа взаимно независимых частных ошибок, мы вправе заключить, что суммарная ошибка имеет распределение, близкое к нормальному распределению. Опыт подтверждает справедливость такого заключения.

Закон больших чисел устанавливает факт приближения средней арифметической большого числа случайных величин к определённым постоянным. Но при некоторых условиях совокупное действие случайных величин приводит к нормальному закону распределения.Центральная предельная теорема представляет собой группу теорем, посвященных установлению условий, при которых возникает нормальный закон распределения. Среди этих теорем важнейшее место принадлежит теореме Ляпунова.

Теорема Ляпунова. Если  ,  , … ,  –независимые случайные величины, у каждой из которых существует математическое ожидание  , дисперсию  , абсолютный центральный момент третьего порядка  и  , то закон распределения суммы  при  неограниченно приближается к нормальному с математическим ожиданием  и дисперсией  . (Без доказательства).

Замечание 1. Неограниченное приближение закона распределения суммы  к нормальному закону при  означает, что  , где  – функция Лапласа.

Замечание 2. Смысл условия  состоит в том, чтобы в сумме  не было слагаемых, влияние которого на рассеяние  подавляюще велико по сравнению с влиянием всех остальных, а также не должно быть большого числа слагаемых, влияние которых очень мало по сравнению с суммарным влиянием остальных.

Центральная предельная теорема теории вероятностей объясняет, почему нормально распределённые случайные величины широко распространены. Для практики важно следующее

Следствие. Если  ,  , … ,  –независимые одинаково распределённые случайные величины, у каждой из которых существует математическое ожидание  , дисперсию  , абсолютный центральный момент третьего порядка  , то закон распределения суммы  при  неограниченно приближается к нормальному.

Доказательство.Так как  , то выполняются все условия теоремы Ляпунова. Следовательно, закон распределения суммы  при  неограниченно приближается к нормальному.

Замечание 1.Если случайная величина Х представляет собой сумму очень большого числа взаимно независимых случайных величин, влияние каждого из которых на всю сумму ничтожно мало, то Х имеет распределение, близкое к нормальному.

Замечание 2. Скорость сходимости суммы  к нормальному закону при  существенно зависит от типа распределения слагаемых. На основании центрально предельной теоремы можно утверждать, что законы распределения биномиальный, Пуассона и другие, которые будут изучены позднее (распределение Стьюдента, хи-квадрат распределение), при  распределены асимптотически нормально.

Билет 56

фундаментальных понятия: генеральная совокупность и выборка. 
Совокупностью - называется практически счетное множество некоторых объектов или элементов, интересующих исследователя; 
Свойством совокупности называется реальное или воображаемое качество, присущее некоторым всем ее элементам. Свойство может быть случайным или неслучайным. 
Параметром совокупности называется свойство, которое можно квантифицировать в виде константы или переменной величины. 
Простая совокупность характеризуется: 
отдельным свойством (например: все студенты России); 
отдельным параметром в виде константы или переменной (Все студенты женского пола); 
системой непересекающихся (несовместных) свойств, к примеру: Все учителя и ученики школ г. Владивостока. 
Сложная совокупность характеризуется: 
системой, хотя бы частично пересекающихся свойств (Студенты психологического и математических факультетов ДВГУ, окончивших школу с золотой медалью); 
системой параметров независимых и зависимых в совокупности; при комплексном исследовании личности. 
Гомогенной или однородной называется совокупность, все характеристики которой присущи каждому ее элементу; 
Гетерогенной или неоднородной называется совокупность, характеристики которой сосредоточены в отдельных подмножествах элементов. 
Важным параметром является объем совокупности - количество образующих ее элементов. Величина объема зависит от того, как определена сама совокупность, и какие вопросы нас конкретно интересуют. Допустим нас интересует эмоциональное состояние студента 1-го курса в период сдачи конкретного экзамена в сессию. Тогда генеральная совокупность исчерпывается в течении получаса. Если нас интересует эмоциональное состояние всех студентов 1-го курса, то совокупность будет гораздо больше, и еще больше, если взять эмоциональное состояние всех студентов 1-го курса данного вуза и т.д. Понятно, что совокупности большого объема можно исследовать только выборочным путем. 
Выборкой называется некоторая часть генеральной совокупности, то, что непосредственно изучается. 
Выборки классифицируются по репрезентативности, объему, способу отбора и схеме испытаний. 
Репрезентативная - выборка адекватно отображающая генеральную совокупность в качественном и количественном отношениях. Выборка должна адекватно отображать генеральную совокупность, иначе результаты не совпадут с целями исследования. 
Репрезентативность зависит от объема, чем больше объем, тем выборка репрезентативней. По способу отбора. 
Случайная - если элементы отбираются случайным образом. Так как большинство методов математической статистики основывается на понятии случайной выборки, то естественно выборка должна быть случайной. 
Неслучайная выборка: 
механический отбор, когда вся совокупность делится на столько частей, сколько единиц планируется в выборке и затем из каждой части отбирается один элемент; 
типический отбор - совокупность делится на гомогенные части, и из каждой осуществляется случайная выборка; 
серийный отбор - совокупность делят на большое число разновеликих серий, затем делают выборку одной какой-либо серии; 
комбинированный отбор - сочетаются рассматриваемые виды отбора, на разных этапах. 
По схеме испытаний - выборки могут быть независимые и зависимые. По объему выборки делят на малые и большие. К малым относят выборки, в которых число элементов n < 30. Понятие большой выборки не определено, но большой считается выборка в которой число элементов > 200 и средняя выборка удовлетворяет условию 30< n< 200. Это деление условно. 
Малые выборки используются при статистическом контроле известных свойств уже изученных совокупностей. 
Большие выборки используются для установки неизвестных свойств и параметров совокупности.

ГЕНЕРАЛЬНАЯ И ВЫБОРОЧНАЯ СОВОКУПНОСТИ В СОЦИОЛОГИЧЕСКИХ ИССЛЕДОВАНИЯХ

Выборка − это метод исследования, когда из общей изучаемой (генеральной) совокупности однородных единиц отбирается некоторая ее часть (выборочная совокупность) и только эта часть подвергается обследованию.

Процедуры выборки:

1) определение слоев и  групп населения, на которые предполагается  распространить полученные результаты  опроса (генеральная совокупность);

2) определение численности  опрашиваемых, необходимой и достаточной для репрезентации генеральной совокупности

3) определение правила  поиска и отбора респондентов  на последней стадии выбора.

Обычно социологи используют в своих исследованиях случайную выборку. При случайной выборке исследователи осуществляют произвольный отбор объектов исследования с применением либо случайных чисел, либо систематической выборки. Случайные числа используются для обеспечения равного шанса каждому индивидууму в структуре выборки (например, в списках избирателей, почтовых адресов) быть отобранным в качестве члена выборки. Систематическое проведение таких исследований предполагает беспорядочный отбор первого индивидуума из списка, затем последующих в любом из установленных интервалов (например, каждого десятого или двадцатого избирателя). Если выборочная совокупность слишком велика, проводится квотная выборка, предполагающая разбивку ее на страты по полу, возрасту, социальному классу, месту жительства. А затем в каждой страте проводится случайная выборка.

Генеральная и выборочная совокупности. Понятие репрезентативности.

Большинство социологических исследований имеет не сплошной, а выборочный характер: по строгим правилам отбирается определенное количество людей, отражающих по социально-демографическим признакам структуру изучаемого объекта. Такое исследование именуется выборочным. Выборочное обследование представляет способ систематического сбора данных о поведении и установках людей посредством опроса специально подобранной группы респодентов, дающих информацию о себе и о своем мнении. Оно является более экономичным и не менее надежным, чем сплошное обследование, хотя требует изощренной методики и техники. Его основа – выборочная совокупность, которая составляется на базе своей уменьшенной копии – генеральной совокупности.

Генеральная совокупность − совокупность всех изучаемых в ходе социологического исследования объектов.

Генеральной совокупностью считают все население или ту его часть, которую социолог намерен изучить. Генеральная совокупность – множество тех людей, сведения о которых стремится получить социолог в своем исследовании. В зависимости от того, насколько широкой будет тема исследования, настолько же широка будет генеральная совокупность.