Шпаргалка по "Линейной алгебре"

Определители

Определителем второго порядка называется число, записываемое символически в виде

Для системы уравнений  ∆ - это определитель системы.

Если в определителе ∆ на место первого столбца  подставить правые части системы  то получим определитель: ∆_x = |c1  b1| |c2  b2| = c1b2 – c2b1

Если же правые части системы подставить вместо второго столбца определителя ∆, то получим определитель: ∆_y = |a1  c1| |a2  c2| = a1c2 – a2c1

Тогда полученные формулы для x и y принимают вид: x = ∆_x/∆; y = ∆_y/∆

Определителем третьего порядка называется число, которое записывается символически в виде и вычисляется по формуле: диагональ потом треугольники.

Числа a11,a12 ,… называются элементами определителя. Их общее обозначение aij , где i- номер строки, j- номер столбца (i, j =1,2,3), то есть элемент aij находится на пересечении i-ой строки и j-го столбца. Диагональ с элементами а11 а22 а33 называется главной, а диагональ с элементами а31 а22 а13 - побочной.

Правило Саррюса: к определителю приписываются два первых столбца, и элементы, стоящие на одной диагонали, перемножаются, причем произведения элементов, лежащих на диагоналях, параллельных побочной, берутся со знаком “минус”.

Определителем n-го порядка Определитель n -го порядка имеет вид.

Элемент определителя aij находится на пересечении i - й строки и j – го столбца, где i, j изменяются от 1 до n . Элементы a11,a22,a33,...,ann образуют главную диагональ, a1n ,...,an1 - побочную диагональ. Для определителя используется еще один термин: детерминант.

Минор

Минором Mij , соответствующим элементу aij определителя n -го порядка ∆n , называют определитель ∆_n-1 (n-1)-го порядка, который получается из определителя ∆_n путем вычеркивания i -ой строки и j -го столбца,на пересечении которых находится элемент aij .

Алгебраическое  дополнение

Алгебраическим  дополнением Aij элемента aij определителя ∆n называется произведение (-1)^i+j на Mij , т. е. Aij = (-1)^i+j * Mij

Св-ва определителей

1. Если в определителе все строки заменить столбцами, причем каждую строку заменить столбцом с тем же номером, что и у строки, то определитель не изменится.

2. Если поменять местами две строки (столбца), то определитель меняет знак на противоположный. При этом его абсолютная величина не меняется.

3. Если в определителе содержатся два одинаковых столбца или строки, то такой определитель равен нулю.

4. Если все элементы некоторого столбца или строки определителя содержат общий множитель, то его можно вынести за знак определителя.

5. Если все элементы некоторого столбца (строки) в определителе равны нулю, то такой определитель также равен нулю.

6. Если все элементы одной строки (столбца) соответственно пропорциональны элементам другой строки (столбца), то такой определитель равен нулю.

7. Если каждый элемент некоторого столбца (строки) определителя равен сумме двух элементов, то такой определитель равен сумме двух определителей, у первого из которых элементы этого столбца (строки) есть первые слагаемые, а у второго определителя - вторые слагаемые. Элементы, стоящие на остальных местах, во всех трех определителях остаются неизменными.

8. Если к каждому элементу некоторого столбца (строки) определителя прибавить соответствующие элементы другого столбца (строки) умноженные на любое число, то определитель не изменится.

9. Определитель равен сумме произведений элементов некоторого столбца (строки) на соответствующие алгебраические дополнения.

10. Сумма произведений элементов некоторой строки (столбца) на алгебраические дополнения элементов другой строки (столбца) равна нулю.

Матрицы

Прямоугольная таблица, содержащая mХn элементов aij (i -номер строки; j - номер столбца) некоторого множества, называется матрицей.

Элемент aij расположен на пересечении i - ой строки и j - го столбца. Если у матрицы m строк и n столбцов, то говорят, что матрица имеет размерность mXn. Обычное обозначение матрицы имеет вид A=(a_ij)_m,n Если m=n то матрица называется квадратной и обозначается A=(a_ij)ⁿ₁ Число n определяет порядок матрицы и говорят, что это матрица порядка n . Для неквадратных матриц понятие “порядок” неприменимо. Если элементы aij - числа, то матрицу называют числовой. Если элементы матрицы функции, то матрицу называют функциональной. Если элементы матрицы векторы, то матрицу называют векторной. Если i=1, то получается матрица-строка. Если j=1, то получается матрица-столбец. Среди квадратных матриц различают диагональные матрицы, у которых все элементы, кроме стоящих на главной диагонали, равны нулю. Если у диагональной матрицы все элементы равны единице, то такая матрица называется единичной, она обозначается E.

Операции  над матрицами

Сложение Суммой двух матриц (a_ij)_m,n и (b_ij)_m,n одинаковой размерности называют матрицу A+B=(a_ij)_m,n+(b_ij)_m,n==(a_ij+b_ij)_m,n

Св-ва сложения 1)A+B=B+A - переместительный. 2)A+(B+C)=(A+B)+C –сочетательный. 3)Для любых матриц A и B одинаковой размерности существует матрица C той же размерности, такая, что B+C=A, эту матрицу называют разностью матриц A и B: С=A-B.

Произведение  на число Произведением матрицы (a_ij)_m,n на число λ называют матрицу λА=(λa_ij)_m,n, т. е. при умножении матрицы на число необходимо все элементы матрицы умножить на это число.

Св-ва умножения на число 1)λ(А+В)= λА+λВ - распределительное относительно суммы матриц. 2)(α+β)А=αА+βА - распределительное относительно суммы чисел. 3) )(α*β)*А=α*(β*А)= β*(α*А) – сочетательное.

Произведение  матриц  Произведением матрицы А=(a_ij)_m,n на матрицу В=(b_ij)_n,p, взятых в указанном порядке при условии, что число столбцов первой матрицы равно числу строк второй матрицы, называют матрицу C=(c_ik)_m,p, элементы которой определяют по формуле C_ik=Σⁿ_j-1 a_ij b_jk, i=1,m; k=1,p

Элемент матрицы  произведения Cik , находящийся на пересечении i-ой строки и k-го столбца, равен сумме  произведений элементов i-ой строки первой матрицы A на соответствующие элементы k-го столбца матрицы B. Размерность  матрицы C=AxB равна mxp.

Св-ва произведения матриц 1)A(BC)=(AB)C – сочетательное. 2) A(B+C)=AB+AC – распределительное. 3)α(АВ)=(αА)В=А(αВ).

Обратная  матрица

Обратной матрицей по отношению к матрице A порядка n называютматрицу А^-1 порядка n , такую, что АА^-1= А^-1А=E , где E – единичная матрица того же порядка. Обратная матрица А^-1 = 1/∆_А * матрицу алгебраических дополнений матрицы А. Обратная матрица существует если ∆_А<>0

Запись  линейной системы в матричном  виде

Пусть имеется  система 3-х линейных уравнений с  неизвестными x1, x2, x3.

Введя обозначения A=матрица коэффициентов при неизвестных, Х= матрица столбец неизвестных, В= матрица столбец свободных цленов. Запишем систему уравнений в матричной форме АХ=В.

Матрица A называется вырожденной если ∆A=0 и невырожденной если ∆A<>0, решить систему можно если матрица A – невырожденная.

Решение системы с помощью обратной матрицы

Необходимо найти  обратную матрицу и умножить ее на матрицу-столбец свободных членов, в получившейся матрице необходимо сложить элементы в строках и получится новая матрица-столбец из ∆_xn (не забыть 1/∆), после этого остается найти корни системы x_n=∆_xn/∆

Ранг  матрицы

Пусть имеется  матрица A. Выберем в этой матрице R строк и R столбцов, где число R меньше или равно меньшему из чисел m и n . Например, если матрица размерности 3X4, то R не превышает 3. Если матрица 4X2, то R не превышает 2. Определитель R-го порядка, составленный из элементов, стоящих на пересечении выбранных R строк и R столбцов, называется определителем или минором, порожденным данной матрицей.

Рангом  матрицы называют наибольший порядок отличных от нуля определителей (или миноров), порожденных данной матрицей. Если все определители R-го порядка, порожденные данной матрицей, равны нулю, то rang A<R.

Свойства  ранга матрицы:

Ранг матрицы  не изменяется, если: 1) любые два параллельных ряда переставить местами; 2) если все элементы любого ряда умножить на некоторое постоянное число, отличное от нуля; 3) если к элементам любого ряда прибавить элементы другого параллельного ряда, умноженные на постоянное число.

Вычисление  ранга матрицы

1.Метод нулей и единиц Посредством элементарных преобразований из матрицы A может быть получена матрица B, в которой все столбцы (строки) будут содержать либо одни нули, либо нули и одну единицу. Ранг матрицы A будет равен числу единиц матрицы B, так как A ~ B.

2. Метод окаймляющих миноров или определителей. Минор R+1 порядка M_R+1, содержащий в себе все элементы минора M_R , называют окаймляющим минором (или определителем) минора M_R . Если все миноры M_R+1, порожденные данной матрицей, равны нулю, и имеется хотя бы один минор M_R<>0 , то ранг матрицы равен R(r(A)=R).

Условие разрешимости системы (Теорема Кронекера-Капелли)

Для того чтобы  система m линейных уравнений с n неизвестными имела решение (была совместной), необходимо и достаточно, чтобы ранг основной матрицы был равен рангу расширенной матрицы: r(A)=r(A/B)

При решении  системы возможны такие случаи:

1. Если r(A) = числу неизвестных, то система имеет единственное решение, так как ∆<>0. По правилу Крамера находим корни системы

2. Если r<n , система имеет бесчисленное множество решений. В этом случае r неизвестных, например, x1, x2 , x3, ..., x_r , которые называют базисными или основными неизвестными, можно выразить через оставшиеся n-r неизвестных x_r+1;...x_n , которые называют свободными или вспомогательными неизвестными. Придавая последним произвольные значения, получим бесчисленное множество решений системы.

3. Если r(A)<>r(A/B), то система решений не имеет.

4. Если в системе (1) свободные  члены равны нулю: b₁=b₂=.. =b_m=0, то система называется однородной в ней всегда r(A)=r(A/B)

Решение системы методом Гауса

Решается путем обнуления  элементов под основной диагональю матрицы.

 

 

Решение линейных систем по формулам Крамера