Шпаргалка по теории вероятностей

Дискретные СВ назовём  СВ мн-во знач-й кот. конечно и  счетно (х₁,х₂,…,х_n)

Обозн. СВ Х, У, Z, а их значения х,у, z Вер. того, что Х приняло знач. х обозн. Р(Х=х).

Законом распр. ДСВ (Х) наз. соответствие м/д знач. случ. величины и вероятностями, с кот. она принимает  эти знач-я, причем оассм. все возможные  значения этой величины (СВ).записывают в виде таблиц

Х	х1	х2	…	хn
Р	p1	p2	…	pn

х₁<x₂<…<x_n, т.к. это все возможные знач. ДСВ(Х), то соб. Х=х₁, Х=х₂…Х=х_n, то соб. образ. полную группу (сис-му). р₁+р₂+…+р_n=1эта ф-ла прим. для контроля правильности построения закона распр. ∑P_n=1.

Возьмем прямоугольную  систему коорд. По оси х отложим  знач. СВ Х, а по оси у- вер. этих знач. Соседние точки (х_i,p_i) cоед. отрезками, тогда получ. фигуру, кот. наз. полигоном распределения СВ.

 

 

24.Ф-я распр.  вер.СВ. Определ. и св-ва. Ф-я F(х) наз. ф-я распр. СВ Х, если F(х)=р (Х<х) для всех хє(-∞;+∞)

Х<х означ. -∞<X<x, т.е. ф-я распр. поках. вер. попадания СВ Х на интервалм(-∞;х) левее точки х. Св-ва ф-ции распр:

1. 0≤ F(х)≤1. F(х)=Р(Х<х) ≥0
2. F(х)-неубывающая. х₁<x₂, F(х₁)≤ F(х₂)

A={x<x₁} B={x₁≤x<x₂} C={x<x₂} C=A+B AиB- несовм. По теор. слож. им.

Р(С)=P(A)+P(B)= P(X<x₁)+P(x₁≤x<x₂)

P(C)= P(X<x₂)=F(x₂)

P(X<x₁)=F(x₁)

P(x₁≤x<x₂)=F(x₂)- F(x₁)≥0

F(x₂)≥ F(x₁) x₂>x₁

3. Вер. попадания СВ на полуинтервал х=[x₁,x₂] P(x₁≤x<x₂)= F(x₂)-F(x₁)
4. F(-∞)=0 F(+∞)=1 F(-∞)=lim F(x) F(+∞)=lim F(x) Док-во F(x)=P(X<x), F(-∞)=P(x<-∞)=P(Æ)=0, F(+∞)=P(x<+∞)= P(-∞<x<+∞)=P(Ω)=1.                             5. F(x)-непрерывна слева, lim_x→x0-0F(x)=F(x₀)

 

 

25.Ф-ция распределения  ДСВ

х       х₁              х₂   … х_n

р       р₁             р₂  … р_n

x₁        x₂               x_n

Ф-ция р ДСВ =F(x)=P(X<X)= Σ_xi<x P(X=X_i), суммир. ведется по всем х _i< x

1)(-∞,х₁]эХ 0,x≤x₁

2)х₁< x ≤ x₂ F(x)= p₁,x₁<x≤x₂

p₁+p₂, x₂<x≤x₃

1,x>x_n

 

26.Мат. ожид. Св и его св-ва

Дискретная случайная  величина Х задана рядом распределения

х  х₁  х₂   … х_n

р  р₁  р₂  … р_n

Мат ожидание М(х) СВ Х  дискретного типа наз. Сумма произведений случ. величин.

М(х)=Х₁Р₁+Х₂Р₂+…+Х_nP_n , х<М(х) ≤x_n

Мат. ожид. это характеристика положения случ. величины.

Св-ва мат. ожид.:1)C=const  M(c)=C 2) M(cx)=C•M(X),где С=const 3)мат.ожид су3ммы двух случ. величин равно сумме их мат.ожид.  М(х+у)=М(х)+М(у)и М(х-у)=М(х)-М(у)

4)Две случ.велич. Х и У наз.  независимыми, если закон распредел  одной из них не зависит  от того, какое значение принимает другая величина. Несколько СВ наз взаимно-независимыми, если закон распредел. любой из них не зависит от того , какие возможные значения приняли некоторые велич из оставшихся. М(ХУ)=М(Х)М(У), если Х,У независимые . М(Х₁Х₂…Хn)= М(Х₁ )М(Х₂ )…М(Хn)

 

27 Вероятностный смысл мат.ожид.

  Пусть было произведено n опытов в результате которых СВ  Х приняло значение:

     Х₁ – m₁ раз

Х₂ – m₂ раз 

     X_k – m_k раз                        

n= m_{1 +} m_{2 +…+}m_k

X= Х₁m_{1 +} Х₂m_{2 +…+}  X_k m_k /n = Х₁m₁/n ₊ Х₂m₂/n _+…+  X_k m_k/n

Обознач. m₁/n=w₁ (отношение частоты событий). Если значительно увелич. число опытов, то w_i≈p_i  Тогда Х= Х₁ w₁+Х₂ w₂+…+ X_k w_к и Х= Х₁ р₁+Х₂ р₂+…+ X_k р_к =М(Х)   Х≈М(Х)

Х-СВ, среднее арифмет.  М(Х)- вел. не случайная, это постоянное число

28 ДИСПЕРСИЯ

Если  мат. ожидание-характеристика положения СВ, то дисперсия-характеристика разброса отклонения СВ от её мат. ожидания.

СВ Х-М(Х) наз. отклонением СВ Х от её мат. ожидания.

ТЕОРЕМА: Мат. ожидание отклонения равно 0.

ДОК-ВО: М(Х-М(Х))=М(Х)--       М(М(Х))=М(Х)--М(Х)=0, ч.т.д.

Дисперсией  D(Х) СВ Х наз. мат. ожидание квадрата отклонения

D(Х)=М(Х-М(Х))²

ТЕОРЕМА: D(Х)=М(Х²)-(М(Х))²

ДОК-ВО:             D(Х)=М(Х²-2ХМ(Х)+(М(Х))²)=М(Х²)-2М(Х)М(Х)+М(М(Х))²=М(Х²)-2(М(Х))²+(М(Х))²=М(Х²)-(М(Х))²

Св-ва дисперсии:

• D(C)=0, где С=const
• Постоянный множитель выносится за знак дисперсии, предварительно возведя его в квадрат

         D(СХ)=С²D(Х)

• Если Х и У независ. СВ, то

D(Х±У)=D(Х)+D(У)

Х₁,Х₂,Х₃,…,Х_п – независ. величины

D(Х₁+Х₂+Х₃+…+Х_п)=D(Х₁)+D(Х₂)+…+D(Х_п)

Замечание: D(Х)≥0

СР. КВАДРАТИЧ. ОТКЛОНЕНИЕ

Положительное значение √D(Х)=σ(Х)

Если СВ Х измерена в некот. единицах, то мера разброса D(Х) будет измерена в единицах в квадрате, а мера разброса σ(Х) будет измеряться в тех же единицах, что и СВ Х.

Замечание1. Св-ва мат. ожидания и дисперсии верны также и для непрерывных СВ.

Замечание2. Если СВ Х принимает бесконечное чётное множество значений

 

Х	Х1	Х2	…	Хп
Р	Р1	Р2	…	Рп

                        _∞

тогда  М(Х)=∑ х_ір_і  ,причём если

                              ^і=1

ряд сходится абсолютно, то мат. ожидание у СВ имеется, в противном случае мат. ожидание у данной СВ отсутствует

D(Х)=М(Х-М(Х))²

           _∞

D(Х)=∑ (Х_і-М(Х))²Р_і  ---- ряд

          ^і=1

сходится абсолютно.

 

 

29 БИНОМИНАЛЬНЫЙ ЗАКОН  РАСПРЕДЕЛЕНИЯ ДСВ Х.

Если СВ Х принимает значения Х=0,1,2,…,m,…,n     с вероятностью 

                         _m

P_п(m)=С_nр^mq^{n –m} , то говорят,что СВ Х распределена по биноминальному закону.

Схема Бернулли повторных  независимых испытаний с вероятностью р=р(А) и  q=1-p

Рассмотрим формулу  Бинома Ньютона:

                      _{0                    1                                  m}

(p+q)ⁿ=C_np⁰qⁿ+C_np¹q^n-1+…+ C_n

                                _n

p^mq^n-m+…+C_npⁿ

Составим ряд распределения  биноминального закона:

 

Х	0	1	…
Р	qn	1 Cnpqn-1	….
Х	m	…	n
Р	m Cnpmqn-m	…	pn

Числовые характеристики биноминального закона.

1. М(Х)=np
2. D(X)=npq
3. σ(X)=√npq

Док-во:

1. Х—число появлений события А в n опытах как сумму n независимых СВ:

Х=Х₁+Х₂+…+Х_n  , где Х_і—число появлений события А в і-ом опыте. Х_і={0;1}

Хі	0	1
Р	q	p

 

М(Х)=0*q+1*p=p

                                                                      _n

М(Х)=М(Х₁+Х₂+…+Х_n)=∑М(Х_і)=

                                                                     ^і=1

р+р+р+...+р(n раз)=np

 

2. D(Х)=М(Х²)-(М(Х))²

Хі2	02	12
Р	q	p

 

М(Х_і²)=0²*q+1²*p=p

М(Х²)=np

D(Х_і)=М(Х²_і)-(М(Х_і))²

D(Х_і)=р-р²=p(1-p)=pq

D(Х)=D(Х_і+...+Х_n)=D(Х₁)+D(Х₂)+

                       _{n                n}

…+D(Х_n)=∑D(Х_і)=∑pq=npq

                             ^{і=1              і=1}

3. σ(Х)=√D(Х)=√npq

М(Х)=np

D(Х)=npq

σ(Х)=√npq

                        ч.т.д.

 

 

30 ЗАКОН ПУАССОНА.

Пусть СВ Х принимает  значения:

Х=0,1,2,…,m,…

P(X=m)=P_n(m)=(e^-λ λ^m)/m!

Р-вероятность появления  события А в одном из n независимых испытаний, когда n достаточно велико, а р-мало. λ=nр

Запишем ряд распределения СВ Х, который будет называться законом Пуассона.

Х	0	1	2
Р	e-λ	e-λ/1!	e-λ λ2/2!
Х	…	m	…
Р	…	e-λ λm/m!	…

  _∞

∑p_і= e^-λ + e^-λ/1! + e^-λ λ²/2!+...+

^і=1

e^-λ λ^m/m!+...= e^-λ (1+λ/1!+ λ²/2!+...+ λ^m/m!+…)

Выражение в скобках  представдяет собой  ряд Маклорена для функции  

e^x=1+х/1!+х²/2!+… , при х= λ

1+ λ/1!+ λ2/2!+…+ λm/m!

_∞

∑ λ^m/m!= e^λ

     ^m=0

∑p_і= e^-λ * e^λ

Определим числовые характеристики закона Пуассона: М(Х)=λ;  D(Х)=λ; σ(Х)=√λ

Доказательства:

                _{∞                                        ∞}

1. М(Х)= ∑  (me^-λ λ^m)/m!= e^-λ∑ λ^m/

                           ^{m=0                                    m=1}

                        _∞

/(m-1)!= e^-λλ∑ λ^m-1/(m-1)!=e^-λ λ* e^λ

                           ^m=1

=λ

 

М(Х)=λ  , ч.т.д.

 

2. D(Х)=М(Х²)-(М(Х))²=

 

  _{∞                                            ∞}

= ∑  (m²e^-λ λ^m)/m!= e^-λ∑ mλ^m/(m-1)!=

   ^{m=0                                      m=1}

           _∞

= ∑ e^-λ∑ ((m-1)+1)λ^m/ (m-1)!=

               ^m=1

                ^∞

= e^-λ∑ ((m-1)λ^m/(m-1)!+λ^m/(m-1)!)=

              ^m=1

         _∞                                             ^∞

= e^-λ∑ (m-1)λ^m/(m-1)!+ e^-λ∑ λ^m/

          ^{m=1                                        v=1}

                              _∞

/(m-1)!= e^-λ∑ λ^m-2 λ²/(m-2)!+

                      ^m=2

       _{∞                                     ∞}

+  e^-λ∑ λ^m/(m-1)!= e^-λλ²∑ λ^m-2/(m-

              ^{m=1                                 m=2}

                              _∞

2)!+ e^-λλ∑ λ^m-1/(m-1)!= e^-λ λ²* e^λ+

            ^m=1

+ e^-λ λ* e^λ= λ²+ λ

М(Х²) = λ²+ λ

D(Х)=М(Х²)-(М(Х))²= λ²+ λ- λ²= λ

D(X)=M(X)= λ

   3.  σ(Х)=√ D(Х)=√λ  , ч.т.д.

Замечание: закон Пуассона зависит от одного параметра λ; биноминальный закон зависит от n,p.

B(n;p)

 

 

 

31. M(x) , D(x) СВ, распределённых по закону Пуассона

M(x)=