Шпаргалка по теории вероятностей

D(x)=M(x²)-(M(x))²

M(x²)=

D(x)=M(x²)-(M(x))²= - =             (+см. п. 30)

 В законе Пуассона  мат. Ожидание равно дисперсии  M(x)=D(x)=λ

Закон Пуассона зависит  от одного параметра λ, биномиальный закон зависит от  n , p

 

 

 

 

32.)плотность  распределения вероятностей непрерывных  СВ. Её свойства.

 Пусть рассматривается  непр. СВ Х ф-ии распр-я  F(x), которая непрерывна и диф-на в рассматриваемой области (вся ось OX). Рассмотрим отрезок  x+∆x

P(x<X< x+∆x)=F(x+∆x)-F(x)=P(x<X< x+∆x)/ ∆x= ,

f(x)=F`(x)  (1)плотность распределения вероятностей  непр. СВ Х

Вер-ть попадания НСВ на интервал теорема:

Док-во:P(a<X<b)= F(b)-F(a), где F(x)- ф-я распределения СВ Х.

f(x)=F`(x)  - ф-я распр-я F(x) является первообразной для плотности распределения f(x), поэтому =F(b)-F(a)= =P(a<X<b)

Теорема 2: если известна плотность распределения f(x) НСВ Х, то ф-ия распределения F(x)=    (2)

Док-во: F(x)=P(X<x)=P(-∞<X<x)=

Основные свойства плотности распределения:

1. f(x) определена на (-∞;+∞)

доказательство следует  из того, что f(x)=F`(x) , а ф-ия распределения F(x) неубывающая,=>её производная F`(x)>0

2. Условия нормировки:   (3)  доказательство следует из формулы (2)

 

 

 

33) Равномерное  распределение. Числовые характеристики  и функция распределения.

Пусть НСВ Х имеет  плотность распределения f(x),

1. Мат. Ожидание M(X)=    (1);  2. Дисперсия D(x)=    (2)

также дисперсию можно  находить по ф-ле: D(x)=M(x²)-(M(x))²            D(x)=    (3)

при этом все несобств. Интегралы предполаг-ся абсолютно  сходящимися. В противном случае числовых хар-к у раких СВ не существует.

 

Равномерное распределение:

Непр. СВ Х наз-ся распределённой по равеномерному з-ну, если плотность её  распределения имеет вид:

f(x)={ 0, x<a;

           c=const, a<=x<=b

           0, x>b

                =1    c(b-a)=1     c=1/(b-a)

 

f(x)={ 0, x<a;

           1/(b-a), a<=x<=b

           0, x>b

M(x)=

D(x)=

M(x)= ;   D(x)=(b-a)²/12;  ;  F(x)= ,  

1) x    F(x)=0;  2) x    F(x)=(x-a)/(b-a);  3) x    F(x)=1

F(x)={ 0, x<a;

            x-a/(b-a), a<=x<=b

            1, x>b

 

34 Показательное распределение

Непрер.СВ наз.распределенной по показательному доходу,если ее плотность  имеет вид

0, x<0

f(x)=         l*e^-lx,x>=0          l>0

 

½x=U  dU=dx                ½

M(x)=lòe^-lxxdx=_aò^bUdV=UV½^b_a-_aò^bVdU=½e^-lxdx=dV V=- e^-lx /l ½=l(-x^-lx/lú₀^+¥ -1/l₀ò^+¥ e^-lxdx)=-x/ e^lxú₀^+¥- e^-lx/lú₀^+¥

-x/ e^lxú₀^+¥ =lim x/e^lx+0=-lim 1/xe^lx=0

-e^-lx/lú₀^+¥ = -1/l(lim 1/e^lx-e⁰)=1/l

M(x)=1/l

D(x)=M(x²)-(M(x))²=l₀ò^+¥x² e^-lxdx-1/l²=1/l²

s(x)=1/lD(x)=1/l²M(x)=1/l

F(x)=_-¥ò^x=f(t)dt

1. xÎ(-¥;0), F(x)=0
2. xÎ[0;+¥), F(x)=l₀ò^x e^-ltdt= -e^-ltú₀^l= -e^-lx+1=1- e^-lx

                 0,x<0

F(x)=

                 1- e^-lx,x>=0

 

 

 

 

35.Нормальный  закон распределения.

НСВ X наз.распред-ой по норм. з-ну если её плотность имеет вид

f(x)=1/(sкорень 2p) * e(степень(-(x-a)²/2s²)

s>0, a-параметры

a=M(x)=1/(s корень 2p) _-¥ò^+¥ x e(степень(-(x-a)²/2s²)=Å

x-a/s=t

x=a+st

x=-¥

x=+¥

dx=sdt

t=-¥

t=+¥

Å=1/(s корень 2p)s_-¥ò^+¥(a+st)=e^-t2/2dt=1/ (корень 2p)a_-¥ò^+¥ e^-t2/2dt+s/ (корень 2p)_-¥ò^+¥ te^-t2/2dt=ÅÅ

1. _-¥ò^+¥ e^-t2/2dt= (корень 2p)-интеграл Пуассона
2. _-¥ò^+¥ te^-t2/2dt=0

ÅÅ=1/( корень 2p)a(корень 2p)+0=a

D(x)= 1/(s корень 2p)*_-¥ò^+¥(x-a)² e(степень(-(x-a)²/2s²)dx

(x-a)/s=t

D(x)=s²

Уникальность норм.з-на распределения в том, что он явл.наиб.изуч.з-ом распредел. СВ.

 

 

36.Нормальная  кривая

Гр-к плотности распределения  норм.з-на

f(x)=1/(sкорень 2p) *  e(степень(-(x-a)²/2s²)

1. ОДЗ:xÎ(-¥;+¥)
2. Непр.xÎR

Lim f(x)=lim 1/(sкорень 2p) * e(степень(-(x-a)²/2s²)=0

3. Исслед.на экстремумы

f¢¢(x)= 1/(sкорень 2p)*e(степень((x-a)²/2s²)(-2(x-a)/2s²)=-1/s(кубич.корень(2p))* e(степень(-(x-a)²/2s²))*(x-a)

f¢¢(x)	+                         -
f¢(x)	A                                      x

 

x>a, f¢¢(x)<0

x<a, f¢¢(x)>0

x=a t. max f¢_max(a)=1/(sкорень 2p)

4. f¢¢¢(x)= 1/s(кубич.корень(2p))* e(степень(-(x-a)²/2s²))*(1-((x-a)²/s²)

f¢¢¢(x)=0

1-((x-a)²/s²)=0

(x-a)²=s²

x-a=+-s             x-a=s     x-a=-s

x=a+-s

x₁=a-s        критич.точки

x₂=a+s

f¢¢¢(x)	+                       -                           +
f¢(x)	a-s                 a+s

 

X=a+-s

f(x)=1/( корень 2pe)

5. Гр-к ф-ии f(x) симметричен отн-но прямой x=a т.к. разность x-a входит в ф-лу (x-a)²

 

 

   f(x)

                                                                         

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Кривая Гаусса нормальная кривая

a=0

s=1

f(x)=e^-x2/2

Влияние a и s на ф-лу Гаусса

1) зафиксируем s=const a параметр а будем изменять

при этом кривая а не меняет формы, а будет смещаться по ости OX

3. зафиксируем a=const a параметр s будем изменять

f_max=1/(s корень 2p)

s увелич. f_max уменьш. И вершина кривой становится более пологой

s уменьш-наоборот

s-параметр масштаба

а-параметр сдвига

 

  

 

 

 

42.Закон больших  чисел в формуле Бернулли.

Рассматр. серия послед.независ.испытаний  Бернулли,в каждом из которых событие  А (успех) происходит с вероят-тью р. Пусть произведено n независимых испытаний,событие А в котором произошло m раз, тогда m-частота, число появления успеха

m/n относит.частота

при неограниченном увеличении числа независимых опытов n относит.частота сходится по вероят-ти р появлен.события А.

Р([m/n]<E)>=1-pq/nE²                

Lim(P[m/n]<E)>=1

Частота m появления события А в n испытаниях Бернулли есть СВ, распредел. по биномиальному закону.

Ее числовые характеристики:  X=m

M(x)=M(m)=np,   D(x)=D(x)=npq

m/n=СВ распределена по биномиальному закону, числи m=const, значит

D(m/n)=1/n²    D(m)=npq/n² =pq/n        

M(m/n)=1/n     M(m)=np/n=p

Рассмотрим P([m/n-p]<E)>=1-D(x)/E² =1-pq/nE²

Lim P([m/n-p]<E)=1

  

43.Понятие о  центральной предельной теореме  Липунова.

Если рассматривается  последовательность независимых случ.величин  имеющих

M(x_i)=a      D(x_i)=б²       M(x_i-a)³)=m 

Тогда при неограниченном увеличении числа n x₁+x₂+x₃+…+x_n-стремится к нормальному распределению.

 

44. Генеральная  совокупность. Выборка.

Стат. сов-тью наз. любую сов-ть объектов, объединенных по какому-то признаку. Различают генер. И выборочную сов-ть.

Выборкой назыв. любая сов-ть случайно отобранных объектов.

Генер.сов-тью назыв. сов-ть из которой произведена выборка.

Объемом сов-ти назыв. число объектов этой сов-ти.

Выборка назыв.повторной если объект перед отбором следующего объекта возвращается в генер. сов-ть. Если не возвращается – выборка назыв. бесповторной.

 

 

 

45.Основные  хар-ки генеральной и выборочной  совокупностей.

Пусть генеральная совокупность имеет распределение

			….
			….

-частоты.  -объём генеральной совокупности.

-объём выборки. Генеральная средняя . Выборочная средняя . . Генеральная дисперсия , . Выборочная дисперсия . Генеральная доля(отношение числа объекта e совокупности , обладающей данным признаком к числу всех объектов) - . Выборочная доля - .

 

 

46. Оценка параметров  распределения. Несмещённость, состоятельность,  эффективность оценок. Точечные и интервальные оценки.

Оценкой параметра называется любая функция от значений выборки , т.е. статистика. Оценка является несмещённой, если Если для любого то оценка называется состоятельной. Оценкой качества несмещенной оценки является ее дисперсия. Несмещенная оценка называется эффективной, если ее дисперсия является наименьшей среди дисперсий всех возможных оценок параметра , вычисленных по одному и тому же объему выборки п. Оценки называются точечными, так как они оценивают одно численное значение параметра (точку). Точечная оценка параметра   дает лишь некоторое приближенное значение . Чтобы получить представление о точности и надежности оценки, используют интервальную оценку параметра.

Интервальной  оценкой параметра  называется интервал (α, β), который с заданной вероятностью γ накрывает неизвестное значение параметра . Такой интервал (α, β) называется доверительным интервалом, а вероятность γ — доверительной вероятностью, или уровнем надежности. Обычно доверительный интервал симметричен относительно оценки , тогда он определяется формулой

и имеет вид т.е. неравенства выполняется с вероятностью γ. Наибольшее отклонение Δ выборочного значения параметра от его истинного значения называется предельной ошибкой выборки.

 

 

 

47. Оценка генеральных  характеристик по выборке.

Рассмотрим повторную  выборку  значений генеральной совокупности X. При этом случайные величины будут независимыми. Пусть MX= α, DX = δ² генеральные средняя и дисперсия совокупности. В качестве оценок для α и δ рассмотрим среднюю арифметическую выборки и выборочную дисперсию .

Выясним свойства этих оценок: . Значит, является несмещённой оценкой для α. Т.к. по закону больших чисел при , то оценка является состоятельной. Можно доказать, что оценка является также эффективной, причём . Математическое ожидание выборочной дисперсии равно . Таким образом, оценка является смещённой. На практике, чтобы избавиться от этого недостатка, для оценки неизвестной дисперсии генеральной совокупности пользуются исправленной несмещенной оценкой . Тем не менее, из закона больших чисел следует, что как оценка , так и являются состоятельными оценками для .Дисперсия , где N -- объем генеральной совокупности. Дисперсия в случае повторной выборки равна , а в случае бесповторной выборки , где .

 

 

 

48.Интервальной  оценкой параметра называется интервал (a;b), который с заданной вероятностью g накрывает неизвестное значение параметра (интервальная оценка позволяет установить точность и надежность оценок) Интервал(a;b) называется доверительным интервалом(интервал, который покрывает неизвестный параметр с заданной вероятностью g), а вероятность g - доверительной вероятностью

если интервал симметричен  относительно оценки : он имеет вид . Q* тем точнее определяет параметр Q, чем меньше , т. е.

 если d>0 и <d, то чем меньше d, тем оценка точнее. d(уровень значимости)- характеризует точность оценки.

 

 

49. Доверительный  интервал для М(х)в случае нормально  распред.ген.совокупности

Пусть CВ Х распределена нормально т. е. ген. с-ть – нормально распределенная CВ с переменными: и . Для нормальной СВ Х с переменными a и s имеет место ф-ла вер-ти отклонения нормальной СВ: .

В нашем случае: , e=D>0, s(х)= , СВ Х= . Тогда получаем . Зададим доверительную вероятность g, тогда . Это вероятность того, что выборочная характеристика отличается от ген средней по абсолют величине меньше чем на D, тогда имеем: → t_y= . Рассмотрим D= - точность оценки(предельная ош выборки). Получим интервал: на этом интервале с надежностью(доверит вероятностью) g находится неизвестная вероятная средняя Примечание: если s₀ неизвестна, ее заменяют приближенно исправленной стат дисперсией »S

(Если отбор бесповторный, то мера точности D имеет вид: D= )

 

 

 

50.Сред ош  в-ки – величина , где - сред квадрат отклонение средней выборки , а - среднее квадрат отклонение ген с-ти; n – объем выборки.(для бесповтор. )

Предел ош вы-ки (D)– наибольшее отклонение выборочной средней от генеральной средней , которое возможно с данной доверительной вероятностью a. D=mt, где m - сред ош в-ки, а t находится из равенства F(t)=a по заданной вероятности a. (используя ф-лу сред.ош. выборки: D= t )(для бесп. )