Шпаргалка по "Высшей математике"

Автор работы: Пользователь скрыл имя, 15 Декабря 2013 в 18:03, шпаргалка

Описание работы

Работа содержит ответы на вопросы для экзамена по "Высшей математике".

Скачать архив (118.71 Кб) Сколько стоит заказать работу?

Файлы: 1 файл

ответы по вышке.doc

³⁰^{Асимптоты
графика функций}

^{при
исследовании графика
функции на бесконечность,
т.е. при}^x^®⁺^¥^{и x}^®^-^¥^{, а так же вблизи
точек разрыва часто
оказывается, что график
сколь угодно близко
приближается к той
или иной прямой, т.е.
асимптоте.}

^{Прямая
х=х0 – вертикальная
асимптота графика
функции}^{y=f(x), если хотя бы
один из пределов} ^или^равен^± ^¥^{.
Нахождение вертикальных
асимптот: 1) точки разрыва
и граничные точки на
области определения
2) вычисляем односторонний
предел при х стремящимся
к этим точкам.}

^Прямая ^{y=a – горизонтальная
асимптота графика y=f(x),
при х}^®±¥^{, если}^.

^Прямая ^{y=kx+b называется
наклонной асимптотой
к графику y=f(x) при х}^®±¥^{, если саму функцию
y=f(x) можно представить
в виде f(x)=kx+b+}^a^{(x), где}^.

^{Схема
нахождения: вычисляем} ^{, если этот предел
не существует или равен
бесконечности, то функция
не имеет наклонной
асимптоты. Вычисляем} ^{, если его нет
или он бесконечен, то
асимптоты нет.}

³¹^{Схема
исследования функции
и исследование её графика}

^{1. Область
определения функции,
промежутки непрерывности,
точки р}^{азрыва, вертикальные
асимптоты}

^{2. точки
пересечения с
осями.}

^{3. чётность/нечётность}

^{4. периодичность}

^{5. промежутки
монотонности и
экстремумы}

^{6. Выпуклости,
точки перегиба}

^{7. наклонные
асимптоты}

³²^{Формула
Тейлора}

^{Пусть
функция}^{y=f(x) определена
в некоторой окрестности
точки х0 и имеет в этой
точке производные (n+1)
порядка. Тогда для любого
х в (x0-}^d^;x0+^d^{) найдется такое} ^x^(кси)^Î^{(х0;х), такая что
справедлива формула:}

^{- многочлен
Тейлора, остаточный
член в формуле
Лагранжа.}

^{Формула
Маклорена: называют
формулу Тейлора
при х0=0.}

³³^{.функция
нескольких переменных.}

^{Предположим,
что задано множество} ^{D упорядоченных
пар чисел. Если каждой
паре из множества D
по некоторому правилу
сопоставить единственную
переменную z}^Î^{Z, то говорят, что
на множестве D задана
функция z=f(x;y).}

³⁴^{Предел
функции двух переменных.}

^{Введём
понятие дельта окрестности
точки}^{M0(x0;y0). M(x;y)}^Î^U^d^(M0),^.

^{Определение:
пусть функция} ^{Z=f(x;y) определена
в некоторой окрестности
точки М0, за исключением
быть может самой точки
М0. число А называется
пределом функции z=f(x;y)
при х}^®^{х0, у}^®^{у0. M(x;y)}^®^M0(x0,y0).

^{Если
для любого E>0 существует} ^d^{>0, такое что для
всех х}^¹^{х0, у}^¹^{у0 и удовлетворяет} ^{=> |f(x,y)-A|<E}

^Тео^{рема: Пусть функция
f(M) и g(M) определены на
одном и том же множестве
D и имеют следующий
предел}^{, а}^{, тогда функции
g(M)}^±^{f(M);
g(M)*f(M); g(M)/f(M), при f(M)}^¹^{0,
так же имеют пределы,
которые соответственно
равны A}^±^{B,
A*B, A/B.}

^{Функция} ^{z=f(M) называется
бесконечно малой при
M}^®^{M0. Если}^{, то тогда функция
может быть представлена
в виде: Z(M)=A+}^a^(M)

^н^е^п^р^е^р^ы^в^н^о^с^т^ь ^ф^у^н^к^ц^и^и^2-^х ^п^е^р^е^м^е^н^н^ы^х

^{Определение:
Пусть функция
определена в некоторой
окрес}^{тности точки М0.
функция f(M) называется
непрерывной в точке
М0, если существует
предел функции в этой
точке и он равен значению
функции в этой точке}

^{Определение:
функция, непрерывная
в каждой точке
некоторой области
называется непр}^{ерывной на всей
этой области.}

^{Определение:
Точки в которых
нарушается непрерывность
называются точками
разрыва.}

^{Функция,} ^{z=f(x,y) называется
непрерывной в точке
М0, если бесконечно
малому приращению аргумента
соответствует бесконечно
малое приращение функции.}

^{36, 37}^{Частные
производные}

^{Рассмотрим
функцию}^{z=f(M) в некоторой
окрестности точки М,
придадим переменной
х в М некоторое приращение,
зафиксировав при этом
у. От точки М перейдём
к точке М1: М(x;у)}^®^М1(х+^D^{х;у), тогда соответствующее
приращение функции} ^D^{xZ=∫f( х+}^D^{х;у)-f(x;y) называется
частным приращением
по х в точке М.}

^{Если
существует}^{, то говорят о
том, что существует
частная производная} ^{, соответственно
частная производная
по y:}^.

^Е^{сли Zx’ определена
в окрестности точки
М и существует производная
этой функции по переменной
х, то это производная
второго порядка.}

^{Если
существует частная
производная по у,
то её называют смешанной} ^{производной
второго порядка}^.

^{Теорема:
Если существуют смешанные
производные второго
порядка}^{Zxy’’ и Zyx’’, в некоторой
окрестности точки М,
и непрерывны в самой
точке М, то они равны
между собой в этой точке.}

^{Замечание:}

^{38Понятие
дифференцируемости}

^Пусть ^{Z=f(M) определена
в некоторой окрестности
точки М.}

^{Определение}^{: функция Z=f(M) называется
дифференцируемой в
точке М (х;у), если её
полное приращение может
быть представлено в
виде:}^D^Z=A^D^x+B^D^y+^a⁽^D^x;^D^y)^D^x+^b⁽^D^x;^D^y)^D^{y, где А и В – const,} ^a^и^b^{-бесконечно малые
функции.}

^{Теорема
о связи между
дифференцируемостью
и непрерывностью}^{: Пусть Z=f(M) дифференцируема
в точке М (х;у), тогда
она непрерывна в этой
точке.}

^{Док-во:
так как функция} ^{Z дифференцируема
в точке М, то её полное
приращение м.б. представлено
в виде:}^D^Z=A^D^x+B^D^y+^a⁽^D^x;^D^y)^D^x+^b⁽^D^x;^D^y)^D^{y. Найдём предел} ^D^{Z при}^D^{x и}^D^{y стремящихся к
нулю. Результат ноль,
следовательно функция
в точке М непрерывна (по
второму определению
непрерывности)}

³⁹^{. Теорема}^{необходимое
условие дифференцируемости}^{:
Если Z=f(M) дифференцируема
в точке М(х;у), то она
имеет в этой точке частные
производные, причем} ^{. Док-во: т.к. функция
дифференцируема в точке
М, то её приращение
может быть представлено
в виде}^D^Z=A^D^x+B^D^y+^a⁽^D^x;^D^y)^D^x+^b⁽^D^x;^D^y)^D^{y.
Предположим, что} ^D^{y=0,
тогда}^D^Zх=A^D^x+^a⁽^D^x;0)^D^{x.
Разделим на}^D^{x
и перейдём к пределу
при}^D^x^®^{0,
тогда:}^{. Zx’=A, Zy’=B.}

^{Теорема} ^{достаточное
условие дифференцируемости}^{: если Z=f(M) имеет
частные производные
в окрестности точки
М и эти производные
непрерывны в самой
точке М. то функция
дифференцируема в этой
точке.}

^{Следствие:
из непрерывности
частных производных
следует непрерывность
самой функции.}

⁴⁰^{Производные
сложных функций}

^Пусть ^{Z=f(x;y) каждая из переменных
в свою очередь является
функцией от переменной
t: x=x(t), y=y(t). Тогда функция
Z=f(x(t);y(t)) является сложной
функцией с независимым
аргументом t, а х и у
– промежуточные переменные.}

^{Теорема:
если функции} ^{x=x(t) y=y(t) дифференцируемы
в точке t, а Z=f(x;y) дифференцируема
в точке М(х;у), то функция
Z=f(x(t);y(t)) дифференцируема
в точке t и производная
вычисляется:} ^.

⁴¹^{Дифференциал
функции}

^Если ^{Z=f(M) дифференцируема
в точке М (х;у), то её
приращение может быть
представлено в виде} ^D^Z=A^D^{x +B}^D^y+^a⁽^D^x;^D^y)^D^x+^b⁽^D^x;^D^y)^D^y.

^{Определение: (}^{dz) дифференциалом
дифференцируемой функции
Z в точке М называется
линейная относительно
в}^D^{x и}^D^{у часть полного
приращения функции
в точке М, т.е. dZ=A}^D^x+B^D^y.

^{В правой
части}^D^Z=A^D^{x +B}^D^y+^a⁽^D^x;^D^y)^D^x+^b⁽^D^x;^D^y)^D^{y третье и четвертое
слагаемые являются
бесконечно малыми функциями,
по этому можно записать
приближённое равенство:} ^D^Z^»^{dZ, что используется
при приближённом вычислении.}

^{Дифференциал
второго порядка:}

⁴²^{Производная
по направлению и градиент}

^{рассмотрим
функцию}^{Z=f(M) в точке М(х;у),
функция определена
в окрестности этой
точки. Единичные вектор
l={cos}^a^;cos^b^{}, где}^a^и^b^{- углы между вектором
и осями. Для характеристики
скорости изменения
функции в точке М в
направлении вектора
l вводится понятие производной
по направлению.}

^{Через
точку М(х;у) проводим
прямую}^{L , параллельную
вектору l, на прямой
возьмём точку М1 так.
Чтобы направление вектора
MM1 и вектора l совпадали. |MM1|=}^D^l,^D^l=^ÖD^x2+^D^{y2. значит Z получит
полное приращение} ^D^Z=f(x+^D^x;y+^D^{y)-f(x;y). Предел отношения} ^D^{Z к}^D^{l при стремлении} ^D^{l к нулю называется
производной функции
Z в точке М по направлению
вектора l.}^.

^{Определение:
Градиентом функции} ^{Z=f(M) в точке М(х;у)
называется вектор,
координаты которого
равны частным производным
в точке М. gradZ={Zx’(M);Zy’(M)}.}

^{Замечание:
используя обозначение
градиента производная
по направлению может
быть записана как:} ^{. Градиент показывает
направление наибыстрейшего
роста функции в данной
точке.}

⁴³^{Экстремум
функции двух переменных}

^Пусть ^{Z=f(M) определена
в некоторой окрестности
точки M0(x0;y0).}

^{Определение:
Функция}^{Z=f(x;y), имеет в точке
М0 локальный максимум/минимум,
если существует такая
окрестность точки М0.
в которой для каждой
точки М из этой окрестности
выполняется неравенство:
f(M)}^£^{f(M0)- максимум / f(M)}^³^{f(M0)- минимум.}

^{Из
определения следует,
что если}^{Z имеет экстремум
в точке М0, то полное
приращение может быть
записано:}^D^{Z=f(M)-f(M0),}^D^Z^£^{0- для максимума
и}^D^Z^³^{0- для минимума.}

^{Теорема
необходимое условие
для локального экстремума:
Если}^{Z=f(x;y), имеет экстремум
в точке М0, и в этой точке
существуют частные
производные первого
порядка, то они равны
нулю.}

^{Док-во:
зафиксируем одну
из переменных у=у0, тогда} ^{Z-функция одной
переменной(зависит
только от х) и она имеет
производную в точке
х0 и экстремум в точке
х0, тогда по необходимому
условию экстремума
для функции одной переменной:} ^j^{’(x0)=0 => fx’(x0;y0)=0.}

^{Теорема
достаточное условие
локального экстремума:
Пусть в точке
М0 возможного экстремума
и некоторой её
окрестности функция} ^{Z=f(x;y) имеет частные
производные второго
порядка. Обозначим:} ^{Составим матрицу:} ^{, обозначим} ^D⁼^{, тогда:}

^Если ^D^{>0, то точка М0 –
является точкой локального
экстремума,}

^Если ^D^{<0. то в точке М0
– экстремума нет,}

^Если ^D^{>0, A>0, М0 – точка
минимума,}

^Если ^D^{>0, A<0, М0 – точка
максимума.}

⁴⁴^{Условный
экстремум}

^усло^{вным экстремумом
функции Z=f(x;y) называется
экстремум этой функции
при условии, что х и
у связаны уравнением} ^j^{(х;у)=0 – уравнением
связи.}

^{Если
одна переменная может
быть однозначно выражена
через другую, то} ^{y=g(x) подставляем
в функцию Z, и обычным
способом находим экстремум
функции одной переменной.
Если это не возможно,
то в общем случае задача
на отыскание условного
экстремума состоит
в исследовании на обычный
экстремум вспомогательной
функции u, где u(x;y)=f(x;y)-}^lj^{(x;y), где}^l^{- неизвестный параметр =const.}

^{Теорема
необходимое условие
условного экстремума:
Чтобы точка М0
была точкой условного
экстремума необходимо
чтобы в ней
выполнялось}^:^{, где функция
u – функция Лагранжа,} ^l^{-
множитель Лагранжа.}

⁴⁵^{Минимум
и максимум функции
двух переменных}

^{Чтобы
найти мин. и макс.
функции в замкнутой
области необходимо: 1)
найти точку возможного
экстремума. Принадлежащей
данной области, вычислить
значение функции} ^{Z; 2) найти условные
экстремумы на границах
области, вычислить
в них значение функции; 3)
вычислить значение
функции в вершинах,
если область их имеет.}

⁴⁶^{Неопределённый
интеграл}

^{Определение:
Если функция} ^{F(x) – первообразная
для f(x) на промежутке (a;b),
то множество функций
F(x)+C – неопределённый
интеграл от f(x).}

^∫^{f(x)dx=F(x)+C, где f(x) –
подынтегральная функция,
f(x)dx – подынтегральное
выражение, dx – переменная
интегррования.}

^48. ^{Основные
свойства неопределённого
интеграла}^:

^{1) Производная
от неопределенного
интеграла = подынтегральной
функции.}

^{2) Дифференциал
от неопределённог}^{о интеграла = подынтегральному
выражению.}

^{3) Постоянный
множитель м.б.
вынесен из под
знака интерала.}

^{4) Интеграл
от алгебраической
суммы/разности функций
= алгебраической
сумме/разности интегралов.
Справедливо для
любого конечного
количества слогаемых.}

⁴^{7 Таблица
основных интегралов}

Информация о работе Шпаргалка по "Высшей математике"