Шпаргалка по "Высшей математике"

 

^{49 Метод подстановки}

^{Методом подстановки (заменой  переменной) называется метод, при котором  введение новой переменной позволяет свести исходный интеграл к  табличному.}

^{Теорема: Пусть функция  x=j(t) определена и дифференцируема на некотором множестве Т, и пусть Х-множество значений этой функции. На множестве Х определена функция y=f(x), тогда если на Х функция f(x) имеет первообразную, то на Т справедлива формула:}

 

^{50 Метод интегрирования по частям}

^{Теорема: Пусть функции  U(x) и V(x) определены и дифференцируемы, на множестве Х и пусть функция U’(x)*V(x) имеет первообразную на этом промежутке, тогда на Х функция U(x)*V’(x) так же имеет первообразную и справедлива формула: . Док-во: [U(x)V(x)]’=U’(x)V(x)+U(x)V’(x) => U(x)V’(x)=-U’(x)V(x)+[U(x)V(x)]’, интегрируя обе части получаем:}

 

^{51 Определённый интеграл (определение, геометрический смысл)}

^{Пусть y=f(x), определена на отрезке [a;b]:}

^{Разобьём этот отрезок на n произвольных частей точками a=x0<x1<x2<…<x_i-1<x_i<…<xn=b, причём отрезки не обязательно равные. На каждом отрезке выберем произвольную точку xiÎ[ x_i-1;x_i], найдём жначение функции f в точке xi. Обозначим Dxi растояние между точками xi и xi-1. найдём соответствующее произведение: f(xi)Dxi. Составим сумму этих произведений:}

^{Сумма такого сида называется интегральной суммой функции y=f(x) на отрезке [a;b]. Обозначим в качестве .}

^{Определние: если существует конечный предел интегральной суммы при l®0, то этот предел называется определёенным интегралом от функции y=f(x) по отрезку [a;b] и обозначается: .}

^{Теорема Коши: Если функция  y=f(x) непрерывна на отрезке [a;b], то определённый интеграл существует.}

^{Геометрический  смысл: площадь криволинейной  трапеции, ограниченной с верху функцией y=f(x), с низу осью Ох, и по бокам прямыми х=а, х=b.}

 

^{55 Формула Ньютона-Лейбница.}

^{Если  функция y=f(x) непрерывна на [a;b]  и F(x) – какая либо первообразная функции на [a;b], т.е. F’(x)=f(x), то имеет место формула:}

^{Док-во: рассмотрим разность F(b)-F(a)=F(xn)-F(x0)=[F(x n)-F(x n-1)]+[F(x n-1)-F(x n-2)]+…+[F(x2)-F(x1)]+[F(x1)-F(x0)]. Разложим каждую скобку по формуле Лагранжа: F’(xn)(xn-x n-1)+ F’(x n-1)(x n-1- x n-2)+…+ F’(x2)(x2-x1)+ F’(x1)(x1-x0)=f(xn)Dxn+ f(xn-1)Dxn-1+…+ f(x2)Dx2+ f(x1)Dx1= - интегральная сумма.}

^{По  теореме Коши т.к. функция непрерывна, то определённый интеграл существует. Так  .}

 

^{52 Основные свойства определённого интеграла}

^{1) ; 2) ; 3) ;}

^{4) ;}

^{5) .}

^{53 Теорема о среднем: если функция y=f(x) непрерывна на отрезке [a;b], то . Док-во: =по формуле Ньютона-Лейбница, разложим по формуле Лагранжа= F’(c)(b-a)=f(c)(b-a).}

 

^{54 Интеграл с переменным верхним пределом}

^{Рассмотрим  интеграл . В данном интеграле нижний предел=const, а верхний предел – переменная. Величина этого интеграла является функцией зависящей от верхнего предела х, обозначим её как Ф(х) и этот интеграл назовём Интегралом с переменным верхним пределом.}

^{Теорема Барроу: Производная от непрерывной функции по переменному верхнему пределу существует и равна подынтегральной функции в точке, равной верхнему пределу, т.е. .}

 

^{56 Не собственный Интеграл с бесконечными пределами интегрирования}

^{Определение: пусть функция y=f(x) определена на промежутке [a;¥) интегрируема по любому промежутку внутри этого интервала, т.е. существует . Тогда если существует предел , то он называется несобственным интегралом первого рода.}

^{Замечание: если предел существует и конечен, то несобственный интеграл – сходящийся, если предел не существует или равен бесконечности, то интеграл – расходящийся.}