Системный анализ и теория систем

МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ РФ

ФИЛИАЛ ФЕДЕРАЛЬНОГО ГОСУДАРСТВЕННОГО

БЮДЖЕТНОГО ОБРАЗОВАТЕЛЬНОГО УЧРЕЖДЕНИЯ

ВЫСШЕГО ПРОФЕССИОНАЛЬНОГО ОБРАЗОВАНИЯ

«ТЮМЕНСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ»

В Г. НОВЫЙ УРЕНГОЙ

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

КОНТРОЛЬНАЯ РАБОТА

По дисциплине: Основы математического моделирования социально-экономических процессов.

На тему: «Системный анализ и теория систем»

 

 

 

 

 

        

 

                                                                                   

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

2014 г.

1. Теоретическая часть.

Оценка сложных систем. Шкалы разных типов (номинального, рангового, интервального, отношений, разностей). Условия и примеры их применения.

Основные типы шкал измерения.

Разработка и эксплуатация информации, телекоммуникаций, энергетики, транспорта и других сложных систем выявляет проблемы, решить которые можно лишь на основании комплексной оценки различных по своей природе факторов, разнородных связей, внешних условий и т.д. В связи с этим в системном анализе выделяют раздел «теории эффективности», связанный с определением качества систем и процессов, их реализующих.

Теория эффективности – научное направление, предметом изучения которого являются вопросы количественной оценки качественных характеристик и эффективности функционирования сложных систем. В общем случае оценка сложных систем может производиться для разных целей. Во-первых, для оптимизации – выбора наилучшего алгоритма из нескольких, реализующих один закон функционирования системы. Во-вторых, для идентификации – определения системы, качество которой наиболее соответствует реальному объекту в заданных условиях. В-третьих, для принятия решений при управлении системами. Общим во всех подобных задачах является подход, основанный на том, что понятие «оценка» и «оценивание» рассматриваются раздельно и оцениваются в несколько этапов. Под оценкой понимают результат, полученный в ходе процесса, который определил качество оценивания. Принято считать, что с термином «оценка» сопоставляется понятие «истинность», а с термином «оценивание» - «правильность». Другими словами, истинная оценка может быть получена только при правильном процессе оценивания. Это положение определяет место теории эффективности в задачах системного анализа.

Выделяют четыре этапа оценивания сложных систем.

Этап 1. Определение цели оценивания. В системном анализе выделяют два типа целей.  Качественной называют цель, достижение которой выражается в номинальной шкале или в шкале порядка. Количественной называют цель, достижение которой выражается в количественных шкалах. Определение цели должно осуществляться относительно системы, в которой рассматривается система, являющаяся элементом (подсистемой).

Этап 2. Измерение свойств систем, признанных существенными для целей оценивания. Для этого выбираются соответствующие шкалы измерений свойств и всем исследуемым свойствам систем присваивается определенное значение на этих шкалах.

Этап 3. Обоснование предпочтений критериев качества и критериев эффективности функционирования систем на основе измеренных на выбранных шкалах свойств.

Этап 4. Собственно оценивание. Все исследуемые системы, рассматриваемые как альтернативы, сравниваются по сформулированным критериям и в зависимости от целей оценивания ранжируются, выбираются, оптимизируются и т.д.

Понятие шкалы.

В основе оценки лежит процесс сопоставления значений качественных или количественных характеристик исследуемой системы значениям соответствующих шкал. Исследование характеристик привело к выводу о том, что все возможные шкалы принадлежат к одному из нескольких типов, определяемых перечнем допустимых операций на этих шкалах. Формально шкалой называется кортеж из трех элементов <X, ϕ, Y>, где Х - реальный объект, Y - шкала,               ϕ - гомоморфное отображение X на Y.

В современной теории измерений определено:

1) X={x1, х2,…xi,…, хn, Rx} - эмпирическая система с отношением, включающая множество свойств xi, на которых в соответствии с целями измерения задано некоторое отношение Rx. В процессе измерения необходимо каждому свойству   хi Є X поставить в соответствие признак или число, его характеризующее. Если, например, целью измерения является выбор, то элементы хi рассматриваются как альтернативы, а отношение Rx позволяет сравнивать эти альтернативы;

2) Y={ϕ(x1),…, ϕ(хn), Ry} знаковая система с отношением, являющаяся отображением эмпирической системы в виде некоторой образной или числовой системы, соответствующей измеряемой эмпирической системе;

3) ϕ Є Ф - гомоморфное отображение X на Y, устанавливающее соответствие между X и Y так, что {ϕ(x1),…, ϕ(хn) }Є Ry только тогда, когда  (х1,..., хn,) Є Rx .

Тип шкалы определяется по Ф = {ϕ1,…, ϕm }, множеству допустимых преобразований xi → yi.

В соответствии с приведенными определениями, охватывающими как количественные, так и качественные шкалы, измерение эмпирической системы X с отношением Rx состоит в определении знаковой системы Y с отношением Ry, соответствующей измеряемой системе. Предпочтения Rx на множестве Х×Х в результате измерения переводятся в знаковые (в том числе и количественные) соотношения Ry на множестве Y×Y.

Шкалы номинального типа.

Самой слабой качественной шкалой является номинальная (шкала наименований, классификационная шкала), по которой объектам xi или их неразличимым группам дается некоторый признак. Основным свойством этих шкал является сохранение неизменными отношений равенства между элементами эмпирической системы в эквивалентных шкалах.

Шкалы номинального типа задаются множеством взаимно однозначных допустимых преобразований шкальных значений.

Название «номинальный» объясняется тем, что такой признак дает лишь ничем не связанные имена объектам. Эти значения для разных объектов либо совпадают, либо различаются; никакие более тонкие соотношения между значениями не зафиксированы. Шкалы номинального типа допускают только различение объектов на основе проверки выполнения отношения равенства на множестве этих элементов.

Номинальный тип шкал соответствует простейшему виду измерений, при котором шкальные значения используются лишь как имена объектов, поэтому шкалы номинального типа часто называют также шкалами наименований.

Примерами измерений в номинальном типе шкал могут служить номера автомашин, телефонов, коды городов, лиц, объектов и т. п. Единственная цель таких измерений - выявление различий между объектами разных классов. Если каждый класс состоит из одного объекта, шкала наименований используется для различения объектов.

На рис.1 изображено измерение в номинальной шкале объектов, представляющих три множества элементов А, В, С. Здесь эмпирическую систему представляют четыре элемента: а Є A, b Є В, {с, d} Є С. Знаковая система представлена цифровой шкалой наименований, включающей элементы 1, 2,..., n и сохраняющей отношение равенства. Гомоморфное отображение φ ставит в соответствие каждому элементу из эмпирической системы определенный элемент знаковой системы.

Следует обратить внимание на две особенности номинальных шкал.

Во-первых, элементам c и d поставлено в соответствие одно и то же значение шкалы измерения (см. рис.1). Это означает, что при измерении эти элементы не различаются.

Во-вторых, при измерении в шкале наименований символы 1, 2, 3,..., n, используемые в качестве шкальных значений, являются не числами, а цифрами, служащими лишь для обозначения и различия объектов. Так, цифра 2 не является в два раза или на единицу больше цифры 1 в отличие от чисел 2 и 1.

Рис. 1. Измерение объектов в номинальной шкале

Всякая обработка результатов измерения в номинальной шкале должна учитывать данные особенности. В противном случае могут быть сделаны ошибочные выводы по оценке систем, не соответствующие действительности.

Шкалы порядка.

Шкала называется ранговой (шкалой порядка), если множество Ф состоит из всех монотонно возрастающих допустимых преобразований шкальных значений.

Монотонно возрастающим называется такое преобразование φ(х), которое удовлетворяет условию: если х1 > х2, то и φ(х1) > φ (х2) для любых шкальных значений х1 > х2 из области определения φ(х). Порядковый тип шкал допускает не только различие объектов, как номинальный тип, но и используется для упорядочения объектов по измеряемым свойствам. Измерение в шкале порядка может применяться, например, в следующих ситуациях:

• необходимо упорядочить объекты во времени или пространстве. Это ситуация, когда интересуются не сравнением степени выраженности какого-либо их качества, а лишь взаимным пространственным или временным расположением объектов;

• нужно упорядочить объекты в соответствии с каким-либо качеством, но при этом не требуется производить его точное измерение;

• какое-либо качество в принципе измеримо, но в настоящий момент не может быть измерено по причинам практического или теоретического характера.

Примеры шкалы порядка может служить шкала твердости минералов, предложенная в 1811 г. немецким ученым Ф. Моосом и до сих пор распространенная в полевой геологической работе. Другими примерами шкал порядка могут служить шкалы силы ветра, силы землетрясения, сортности товаров в торговле, социологические шкалы и т.п.

Любая шкала, полученная из шкалы порядка S с помощью произвольного монотонно возрастающего преобразования шкальных значений, будет также точной шкалой порядка для исходной эмпирической системы с отношениями.

Несколько более «сильными», чем порядковые шкалы, являются шкалы гиперпорядка. Допустимыми для этих шкал являются гипермонотонные преобразования, то есть преобразования φ(х), такие, что для любых х1, х2, х3 и х4

φ(х1) φ (х2) < φ(х3) φ (х4),

только когда х1, х2, х3 и х4 принадлежит области определения φ(х) и                             х1 - х2 < х3 - х4.

При измерении в шкалах гиперпорядка сохраняется упорядочение разностей численных оценок.

Шкалы интервалов.

Одним из наиболее важных типов шкал является тип интервалов. Этот тип содержит шкалы, единственные с точностью до множества положительных линейных допустимых преобразований вида φ(х) = ах + b, где х Є Y шкальные значения из области определения Y; а > 0; b - любое значение.

Основным свойством этих шкал является сохранение неизменными отношений интервалов в эквивалентных шкалах:

(х1 – х2)/(х3 – х4) = (ϕ(х1) – ϕ(х2))/(ϕ(х3) – ϕ(х4)) = const

Отсюда и происходит название данного типа шкал. Примером шкал интервалов могут служить шкалы температур. Переход от одной шкалы к эквивалентной, например, от шкалы Цельсия к шкале Фаренгейта, задается линейным преобразованием шкальных значений: t°F = 1,8 t°С + 32.

Другим примером измерения в интервальной шкале может служить признак «дата совершения события», поскольку для измерения времени в конкретной шкале необходимо фиксировать масштаб и начало отсчета. Григорианский и мусульманский календари - две конкретизации шкал интервалов.

Таким образом, при переходе к эквивалентным шкалам с помощью линейных преобразований в шкалах интервалов происходит изменение как начала отсчета (параметр b), так и масштаба измерений (параметр а).

Шкалы интервалов так же, как номинальная и порядковая, сохраняют различие и упорядочение измеряемых объектов. Однако кроме этого они сохраняют и отношение расстояний между парами объектов. Запись (х1 – х2)/(х3 – х4) = К означает, что расстояние между х1 и х2 в K раз больше расстояния между х3 и х4 и в любой эквивалентной шкале это значение (отношение разностей численных оценок) сохранится. При этом отношения самих оценок не сохраняются.

В социологических исследованиях в шкалах интервалов обычно измеряют временные и пространственные характеристики объектов. Например, даты событий, стаж, возраст, время выполнения заданий, разницу в отметках на графической шкале и т.д. Однако прямое отождествление замеренных переменных с изучаемым свойством не столь просто.

В качестве другого примера рассмотрим испытание умственных способностей, при котором измеряется время, требуемое для решения какой-нибудь задачи. Хотя физическое время измеряется в шкале интервалов, время, используемое как мера умственных способностей, принадлежит шкале порядка. Для того чтобы построить более совершенную шкалу, необходимо исследовать более богатую структуру этого свойства.

Типичная ошибка: свойства, измеряемые в шкале интервалов, принимаются в качестве показателей для других свойств, монотонно связанных с данными.

Применяемые для измерения связанных свойств исходные шкалы интервалов становятся всего лишь шкалами порядка. Игнорирование этого факта приводит к неверным результатам.

Шкалы отношений.

Шкалой отношений (подобия) называется шкала, если Ф состоит из преобразований подобия ϕ(х) = ах, а > 0, где х Є Y- шкальные значения из области определения Y; а - действительные числа.

Нетрудно убедиться, что в шкалах отношений остаются неизменными отношения численных оценок объектов. Действительно, пусть в шкале объектам а1 и а2 соответствуют шкальные значения х1 и х2, а в другой   ϕ(х1) = ах1 и ϕ(х2) = ах2, где а > 0 – произвольное действительное число. Тогда имеем: