Системный анализ и теория систем

 х1/х2 = ϕ(х1)/ ϕ(х2) = ах1/ах2

Данное соотношение объясняет название шкал отношений. Примерами измерений в шкалах отношений являются измерения массы и длины объектов. Известно, что при установлении массы используется большое разнообразие численных оценок. Так, производя измерение в килограммах, получаем одно численное значение, при измерении в фунтах - другое и т.д. Однако можно заметить, что в какой бы системе единиц ни производилось измерение массы, отношение масс любых объектов одинаково и при переходе от одной числовой системы к другой, эквивалентной, не меняется. Этим же свойством обладает и измерение расстояний и длин предметов.

Как видно из рассмотренных примеров, шкалы отношений отражают отношения свойств объектов, то есть во сколько раз свойство одного объекта превосходит это же свойство другого объекта.

Шкалы отношений образуют подмножество шкал интервалов фиксированием нулевого значения параметра b: b = 0. Такая фиксация означает задание нулевой точки начала отсчета шкальных значений для всех шкал отношений. Переход от одной шкалы отношений к другой, эквивалентной ей шкале осуществляется с помощью преобразований подобия (растяжения), т.е. изменением масштаба измерений. Шкалы отношений, являясь частным случаем шкал интервалов, при выборе нулевой точки отсчета сохраняют не только отношения свойств объектов, но и отношения расстояний между парами объектов.

Шкалы разностей.

Шкалы разностей определяются как шкалы, единственные с точностью до преобразований сдвига φ(х) = х + b, где х Є Y - шкальные значения из области определения Y; b - вещественные числа. Это означает, что при переходе от одной числовой системы к другой меняется лишь начало отсчета.

Шкалы разностей применяются в тех случаях, когда необходимо измерить, насколько один объект превосходит по определенному свойству другой объект. В шкалах разностей неизменными остаются разности численных оценок свойств. Действительно, если х1 и х2 – оценки объектов а1 и а2 в одной шкале, а φ(х1) = х1 + b и φ(х2) = х2 + b – в другой шкале, то имеем:

 φ(х1) - φ(х2) = (х1 + b) – (х2 + b) = х1 - х2 .

Примеры измерений в шкалах разностей могут служить измерения прироста продукции предприятий (в абсолютных единицах) в текущем году по сравнению с прошлым, увеличение численности учреждений, количество приобретенной техники за год и т. д.

Другим примером измерения в шкале разностей является летоисчисление (в годах). Переход от одного летоисчисления к другому осуществляется изменением начала отсчета.

Как и шкалы отношений, шкалы разностей являются частным случаем шкал интервалов, получаемых фиксированием параметра а: (а = 1), то есть выбором единицы масштаба измерений. Точка отсчета в шкалах разностей может быть произвольной. Шкалы разностей, как и шкалы интервалов, сохраняют отношения интервалов между оценками пар объектов, но, в отличие от шкалы отношений, не сохраняют отношения оценок свойств объектов.

Абсолютные шкалы.

Абсолютными называют шкалы, в которых единственными допустимыми преобразованиями Ф являются тождественные преобразования: φ(х) = {е},               где е(х) = х.

Это означает, что существует только одно отображение эмпирических объектов в числовую систему. Отсюда и название шкалы, так как единственность измерения понимается в буквальном абсолютном смысле.

Абсолютные шкалы применяются, например, для измерения количества объектов, предметов, событий, решений и т.п. В качестве шкальных значений при измерении количества объектов используются натуральные числа, когда объекты представлены целыми единицами, и вещественные числа, если кроме целых единиц присутствуют и части объектов.

Абсолютные шкалы являются частным случаем всех ранее рассмотренных типов шкал, поэтому сохраняют любые соотношения между числами оценками измеряемых свойств объектов: различие, порядок, отношение интервалов, отношение и разность значений и т.д.

Кроме указанных существуют промежуточные типы шкал, например, степенная шкала φ(х) = ахb; а > 0, b > 0, а ≠ 1, b ≠ 1, и ее разновидность логарифмическая шкала φ(х) = хb; b > 0, b ≠ 1.

Изобразим для наглядности соотношения между основными типами шкал в виде иерархической структуры основных шкал (рис.2). Здесь стрелки указывают включение совокупностей допустимых преобразований более «сильных» в менее «сильные» типы шкал. При этом шкала тем «сильнее», чем меньше свободы в выборе φ(х).

Некоторые шкалы являются изоморфными, то есть равносильными. Например, равносильны шкала интервалов и степенная шкала. Логарифмическая шкала равносильна шкале разностей и шкале отношений.

 

   

2. Практическая  часть.

Задача: семья среднего достатка из трех человек решила съездить отдохнуть в страну Х. Семья нашла 3 разных туристических агентства, предлагающих путевки в эту страну на разных условиях. На семейном совете было выделено шесть основных критериев, предъявляемых к турпутевке и агентству. Задача заключается в выборе одного из туристических агентств.

Турагентство А: предоставляется путевка на 8 дней. Отдых в 5* отеле. Стоимость путевки на 1 человека 7000 рублей. В стоимость входит проживание и трехразовое питание. Отель находится недалеко от моря, но нет четко организованного графика группового осмотра достопримечательностей.

Турагентство В: путевка на 8 дней. Отдых в 5* отеле. Стоимость путевки 1.000 рублей на человека в день. В стоимость входит проживание и завтраки. Четко налажен организованный осмотр достопримечательностей. Отель находится далеко от моря, но он с хорошо озелененной и обустроенной территорией. В отеле также предоставляются услуги по лечебно-профилактическим процедурам сердечно-сосудистой и дыхательной систем.

Турагентство С: путевка на 10 дней. Отдых в санатории, предоставляются всевозможные лечебно-профилактические процедуры. Стоимость путевки 1100 рублей на человека в день. В стоимость входит проживание и трехразовое питание. Хорошо организован досуг и программа осмотра достопримечательностей. Санаторий находится недалеко от моря, близко пальмовая роща.

Критерии оценки:

1. стоимость путевки: не слишком высокая, должна включать проживание и трехразовое питание;
2. продолжительность путешествия: около недели (8-10 дней);
3. возможность укрепить здоровье: наличие лечебно-профилактических процедур для дыхательной системы;
4. досуг: хорошо организованная программа осмотра достопримечательностей;
5. проживание: в номере со всеми удобствами;
6. местоположение: отель (санаторий) должен находится недалеко от моря, иметь привлекательный вид, живописную природу в окрестности.

Рис.3 Декомпозиция задачи в иерархию

 

Составляем матрицу для сравнения относительной важности критериев на втором уровне по отношению к общей цели на первом уровне.

Таблица 1

Матрица парных сравнений для уровня 2

Общее удовлетворение турагентством	Стоимость путевки	Длительность	Оздоровительная программа	Досуг	Проживание	Окрестности
Стоимость путевки	1	5	3	3	4	9
Длительность	1/5	1	1/7	1/7	3	5
Оздоровительная программа	1/3	7	1	3	5	5
Досуг	1/3	7	1/3	1	6	7
Проживание	1/4	1/3	1/5	1/6	1	3
Окрестности	1/9	1/5	1/5	1/7	1/3	1

 

 

Таблица 2 

Матрица парных сравнений для уровня 3

Стоимость	А        В     С	Длительность	А      В        С
А В С	1        5       7 1/5     1       5 1/7    1/5     1	А В С	1       1         3 1       1         3 1/3   1/3       1
Оздоровительная программа	А        В     С	Досуг	А      В        С
А В С	1       1/7    1/7 7        1      1/3 7        3       1	А В С	1      1/5    1/7 5       1      1/3 7       3       1
Проживание	А        В      С	Окрестности	А      В        С
А В С	1        1        3 1        1        3 1/3    1/3      1	А В С	1       3        1 1/3    1      1/6 1       6       1

 

Для матриц парных сравнений второго и третьего уровней иерархии вычисляем векторы приоритетов, собственные значения λmax, индексы согласованности ИС и отношения согласованности ОС (результаты в таблицах 3 и 4). Столбец со значениями ai получен путем умножения элементов i-той строки друг на друга и извлечения из полученного произведения корня шестой степени. Слагаемые для значения λmax получены путем сложения элементов i-того столбца и умножения полученной суммы на соответствующий i-тый вектор приоритетов.

 

Таблица 3

Решения и согласованность для второго уровня иерархии

Общее удовлетворение турагентством	Стоимость путевки	Длительность	Оздоровительная программа	Досуг	Проживание	Окрестности	ai	Вектор приоритетов	Слагаемые для λmax
Стоимость путевки	1	5	3	3	4	9	3,427	0,385	0,858
Длительность	1/5	1	1/7	1/7	3	5	0,628	0,070	1,437
Оздоровительная программа	1/3	7	1	3	5	5	2,365	0,266	1,297
Досуг	1/3	7	1/3	1	6	7	1,788	0,201	1,498
Проживание	1/4	1/3	1/5	1/6	1	3	0,450	0,051	0,986
Окрестности	1/9	1/5	1/5	1/7	1/3	1	0,244	0,027	0,810
						Сумма:	8,902	λmax=	6,886

 

Таблица 4

Решения и согласованность для третьего уровня иерархии

Стоимость	А    В    С	ai	Вектор приоритетов	Вектор приоритетов	Длительность	А     В   С	ai	Вектор приоритетов	Слагаемые для λmax
А В С	1     5     7 1/5  1     5 1/7  1/5  1	3,27 1 0,305	0,715 0,218 0,067	0,960 1,350 0,871	А В С	1      1    3 1      1    3 1/3  1/3  1	1,442 1,442 0,480	0,429 0,429 0,143	1,001 1,001 1,001
	ИС=0,0905 ОС=0,156	4,576	λmax =	3,181		ИС=0,0015 ОС=0,003	3,365	λmax =	3,003
Оздоровительная программа	А    В    С	ai	Вектор приоритетов	Слагаемые для λmax	Досуг	А    В    С	ai	Вектор приоритетов	Слагаемые для λmax
А В С	1   1/7  1/7 7    1    1/3 7    3     1	0,273 1,326 2,759	0,063 0,304 0,633	0,945 1,259 0,934	А В С	1   1/5  1/7 5    1    1/3 7    3     1	0,306 1,186 2,759	0,072 0,279 0,649	0,936 1,172 0,958
	ИС=0,069 ОС=0,119	4,358	λmax =	3,138		ИС=0,033 ОС=0,057	4,251	λmax =	3,066
Проживание	А    В  С	ai	Вектор приоритетов	Слагаемые для λmax	Окрестности	А   В   С	ai	Вектор приоритетов	Слагаемые для λmax
А В С	1     1   3   1     1   3 1/3  1/3  1	1,442 1,442 0,480	0,429 0,429 0,143	1,001 1,001 1,001	А В С	1   3    1 1/3  1  1/6   1   6    1	1,442 0,382 1,817	0,396 0,105 0,499	0,924 1,050 1,081
	ИС=0,0015 ОС=0,003	3,365	λmax =	3,003		ИС=0,028 ОС=0,048	3,641	λmax =	3,055