Системы линейных уравнений и методы их решения

 

МИНОБРНАУКИ РОССИИ

Филиал

федерального государственного бюджетного образовательного учреждения

высшего профессионального образования

«Российский государственный гуманитарный университет»

  в г. Георгиевске Ставропольского  края

(Филиал РГГУ в г. Георгиевске)

 

                                                                                      Направление подготовки 

080100 «Экономика»

 

 

 

 

Зыбарева Алёна Сергеевна 

Системы линейных уравнений  и методы их решения.

Контрольная работа по Линейной алгебре.

Студентки 2 курса заочного отделения

 

 

ПРОВЕРИЛ:

________________

________________

 

 

 

                                                 г. Георгиевск  2013

 

Содержание

 

 

Введение

 

Системы линейных уравнений – это  математический аппарат, который имеет  широкое применение в задачах  экономики. Методы Крамера, обратной матрицы (матричный метод) и итерационный метод Жордана-Гаусса (метод последовательного исключения неизвестных) являются одними из основных методов нахождения решений систем линейных уравнений. Данная работа содержит раскрытие вопроса решения систем линейных алгебраических уравнений, способы получения результата и применение систем для решения экономических задач.

В работе  приведены определения таких понятий, как система линейных уравнений, общее и частное решения, совместность и несовместность систем, однородные и неоднородные системы, рассмотрены различные методы решения систем уравнений. 

система линейное уравнение

 

1. Основные понятия и теоремы систем линейных уравнений

 

В самом общем случае система линейных уравнений имеет следующий вид:

                          

где х₁, х₂, …, х_n - неизвестные, значения которых подлежат нахождению. В общем случае число неизвестных не обязательно должно быть равно числу уравнений самой системы. Числа а₁₁, а₁₂, …, а_mn называются коэффициентами системы, а b₁, b₂, …, b_m - её свободными членами. Для удобства коэффициенты системы а_ij (i = 1, 2,., m; j = 1, 2,.,n) и свободные члены b_i (i=1, 2,.,m) снабжены индексами. Первый индекс коэффициентов а_ij соответствует номеру уравнения, а второй индекс - номеру неизвестной х_i, при которой коэффициент поставлен. Индекс свободного члена b_i соответствует номеру уравнения, в которое входит b_i.

Дадим определения некоторых понятий, необходимых при изучении системы уравнений. Решением системы линейных уравнений называется такой набор (с₁,…,с_n) элементов из  P, что при подстановке в систему х₁ = с₁, … , х_п = с_n  получаются верные равенства:

a₁₁ с₁ + … + a_1n с_n = b₁,  a₂₁ с₁ + … + a_2n с_n = b₂, …

Система уравнений называется совместной, если она имеет хотя бы одно решение, и несовместной, если не имеет решений. Совместная система уравнений называется определенной, если она имеет одно единственное решение, и неопределенной, если она имеет по крайней мере два различных решения.

Две системы уравнений называются равносильными или эквивалентными, если они имеют одно и тоже множество решений.

Наша задача будет заключаться в нахождении решений системы. При этом могут возникнуть три ситуации:

1. Система может иметь единственное решение.
2. Система может иметь бесконечное множество решений.
3. И третий случай, когда система вообще не имеет решения.

1.1 Критерий совместности общей системы линейных уравнений

Как уже было отмечено, под общей системой линейных уравнений мы понимаем систему, в которой число неизвестных необязательно совпадает с числом уравнений.

Пусть дана общая система линейных уравнений и требуется установить признак существования решения этой системы, т.е. условия, при которых система является совместной.

Из коэффициентов при неизвестных и свободных членов системы составим матрицу

 a₁₁ a₁₂ … a_1n

a₂₁ a₂₂ … a_2n

A = ……………………

a_m1 a_m2 … a_mn

которую назовем основной матрицей системы, и матрицу

 a₁₁ a₁₂ … a_1n b₁

a₂₁ a₂₂ … a_2n b₂

B = ……………………… ……,

a_m1 a_m2 … a_mn b_m

 

которую назовем расширенной матрицей системы.

Теорема (Теорема Кронекера - Капелли) Для того чтобы система линейных неоднородных уравнений была совместной, необходимо и достаточно, чтобы ранг расширенной матрицы системы был равен рангу ее основной матрицы.

Доказательство. Необходимость.

Пусть система совместна и c₁, c₂,., с_п - некоторое ее решение. Тогда имеют место равенства:

 а₁₁с₁ + а₁₂с₂ + …+ а_1nс_n = b₁;

а₂₁с₁ + а₂₂с₂ + …+ а_2nс_n = b₂;

. ……………………………………

а_m1с₁ + а_m2с₂ + …+ а_mnс_n = b_m

 

из которых следует, что последний столбец расширенной матрицы есть линейная комбинация остальных ее столбцов с коэффициентами с₁, с₂,., с_п. Согласно предложению, последний столбец матрицы В может быть вычеркнут без изменения ее ранга. При этом мы из матрицы В получим матрицу А. Таким образом, если c_i, c_z,., с_n- решение системы уравнении, то rang А = rang В.

Достаточность. Пусть теперь rang A = rang В. Покажем, что при этом система уравнений совместна. Рассмотрим r базисных столбцов матрицы А. Очевидно, что они будут базисными столбцами и матрицы В. Согласно теореме о базисных строках и столбцах, последний столбец матрицы В можно представить как линейную комбинацию базисных столбцов, а следовательно, как линейную комбинацию всех столбцов матрицы А, т.е.

b₁ = а₁₁с₁ + а₁₂с₂ + …+ а_1nс_n;

b₂ = а₂₁с₁ + а₂₂с₂ + …+ а_2nс_n;

. …………………………………

b_m = а_m1с₁ + а_m2с₂ + …+ а_mnс_n,

 

где c₁, c₂,., с_п - коэффициенты линейных комбинаций. Таким образом, системе удовлетворяют значения x₁ = c₁,., х_п = с_п, следовательно, она совместна. Теорема доказана.

1.2 Однородная система п линейных уравнений с n неизвестными

Линейное уравнение называется однородным, если его свободный член равен нулю. Система линейных уравнений называется однородной, если все входящие в нее уравнения являются линейными однородными уравнениями.

Однородная система n линейных уравнений с n неизвестными имеет вид:

 

 а₁₁х₁ + а₁₂х₂ + …+ а_1nх_n = 0;

а₂₁х₁ + а₂₂х₂ + …+ а_2nх_n = 0;

…………………………………

а_n1х₁ + а_n2х₂ + …+ а_nnх_n = 0.

 

Непосредственной проверкой убеждаемся в том, что однородная система линейных уравнений имеет нулевое решение: х₁ = 0, х₂ = 0,., х_п = 0.

Таким образом, однородная система линейных уравнений всегда совместна. Поэтому важно выяснить, при каких условиях она является определенной. Покажем, что однородная система п линейных уравнений с п неизвестными имеет ненулевые решения тогда и только тогда, когда определитель ее равен нулю.

В самом деле, пусть D = 0. Так как однородная система уравнений является частным случаем неоднородной системы, то к ней применимо правило Крамера. Но для однородной системы все Dx_i = 0, так как каждый из этих определителей содержит столбец из нулей (b_i = 0). Поэтому система, равносильная системе, будет иметь вид Dx₁= 0, Dx₂=0; Dx_n= 0

Из этой системы следует, что однородная система имеет единственное нулевое решение, если Δ 0; если же D = 0, то из условий следует, что она имеет бесчисленное множество решений.

Теорема. Для заданной однородной системы уравнений , для которой , где - число неизвестных, существует линейно независимых решений и любое решение системы представляется в виде линейной комбинации этих решений.

Максимальное число линейно независимых решений однородной системы называется фундаментальной системой решений этой системы уравнений.

- фундаментальная система решений однородной системы уравнений (Ф.С. Р.). Она содержит решений и получается с общего решения, если свободным переменным придавать последовательно значения: . Полученная таким образом фундаментальная система называется нормированной.

Обратим внимание, что решение однородных систем осуществляется теми же методами, что и неоднородных.

1.3 Структура общих решений однородной и неоднородной системы уравнений

Теорема 1. Общие решения однородной системы уравнений

, где , - число неизвестных, представляется в виде:

 

,

 

где - свободные постоянные, , - фундаментальная система решений.

Теорема 2. Общие решения неоднородной системы уравнений

 представляется в виде:

 

,

где - некоторое частное решение неоднородной системы, - общее решение соответствующей однородной системы.

2. Основные методы решения систем линейных уравнений

2.1.Элементарные преобразования над системами линейных уравнений.

      Будем делать над  системами линейных уравнений  элементарные преобразования трёх типов.

      Будем говорить, что  СЛУ S¢ получается из системы S элементарным преобразованием I-го типа (S S¢ ), если i-е уравнение системы S¢ получается прибавлением к i-му уравнению системы S    j-го уравнения системы S, умноженного на коэффициент с Î Р  (j¹ i). А все остальные уравнения системы S¢ совпадают с соответствующими уравнениями системы S. Элементарному преобразованию I-го типа системы линейных уравнений соответствует ЭП-I соответствующей расширенной матрицы, у которой при ЭП-I  к i-й строке прибавляется  j-я строка с коэффициентом с. Таким образом, все строки расширенной матрицы для СЛУ S¢, кроме i-й, совпадают с соответствующими строками расширенной матрицы для СЛУ S, а i-я строка имеет вид

(a_i1+ca_j1, a_i2+ca_j2,…, a_in+ca_jn,| b_i+cb_j).

      При элементарном преобразовании II-го типа в системе S меняются местами i-е и  j-е уравнения, а в соответствующей расширенной матрице меняются местами  i-я и  j-я строки.

     При элементарном  преобразовании III-го типа в системе S    i-е уравнение умножается на коэффициент сÎ Р, с ¹ 0, а в соответствующей расширенной матрице  i-я строка умножается на с.

Теорема. Любую матрицу размером m´n

A =

c помощью ЭП можно привести к ступенчатому виду:

= ,

где число ненулевых строк равно r, r³ 0, и все элементы  ¹ 0, i = 1,…,r.

Доказательство индукцией по m.

    При m = 1 утверждение очевидно и ничего доказывать не надо.

Пусть для m – 1 утверждение верно. Докажем его для m. Пусть в 1-м столбце все элементы нулевые, во 2-м столбце все элементы нулевые и т.д. Пусть 1-й столбец, где встретится элемент, неравный нулю, имеет номер k₁ , k₁³ 1. Строку, где находится этот ненулевой элемент, поменяем местами с 1-й строкой. Элемент, который окажется на месте с номером (1, k₁), обозначим  , элемент, который окажется на месте с номером (1, j), обозначим , а элемент на произвольном (i, j)-м месте (i ³ 2) будем обозначать . Теперь с помощью ЭП-I сделаем нули под ненулевым элементом . Для этого от каждой строки с номером j, j ³ 2, отнимем 1-ю строку с коэффициентом . После этого получим матрицу вида

.

Для подматрицы с m-1 строками

можно считать, что утверждение  верно по предположению индукции. Отсюда и следует доказательство теоремы.

Число  r  ненулевых строк матрицы (число ступенек)  называется рангом матрицы A и обозначается rgA. Корректность определения ранга (независимость от способа приведения A к ступенчатому виду) будет доказана позже.

2.2 Матричный метод решения систем линейных уравнений

Матрицы дают возможность кратко записать систему линейных уравнений. Пусть дана система из 3-х уравнений с тремя неизвестными:

 

 

Рассмотрим матрицу системы

 

 

и матрицы столбцы неизвестных и свободных членов

 

 

Найдем произведение

 

 

т.е. в результате произведения мы получаем левые части уравнений данной системы. Тогда пользуясь определением равенства матриц данную систему можно записать в виде

или короче A∙X=B.

Здесь матрицы A и B известны, а матрица X неизвестна. Её и нужно найти, т.к. её элементы являются решением данной системы. Это уравнение называют матричным уравнением.

Пусть определитель матрицы отличен от нуля |A| ≠ 0. Тогда матричное уравнение решается следующим образом. Умножим обе части уравнения слева на матрицу A-1, обратную матрице A: . Поскольку A-1A = E и E∙X = X, то получаем решение матричного уравнения в виде X = A-1B.

Заметим, что поскольку обратную матрицу можно найти только для квадратных матриц, то матричным методом можно решать только те системы, в которых число уравнений совпадает с числом неизвестных. Однако, матричная запись системы возможна и в случае, когда число уравнений не равно числу неизвестных, тогда матрица A не будет квадратной и поэтому нельзя найти решение системы в виде X = A-1B.

2.3 Метод Крамера

Рассмотрим систему 3-х линейных уравнений с тремя неизвестными:

Определитель третьего порядка, соответствующий матрице системы, т.е. составленный из коэффициентов при неизвестных,

 

называется определителем системы.

Составим ещё три определителя следующим образом: заменим в определителе D последовательно 1, 2 и 3 столбцы столбцом свободных членов

 

 

Тогда можно доказать следующий результат.

Теорема (правило Крамера). Если определитель системы Δ ≠ 0, то рассматриваемая система имеет одно и только одно решение, причём

        Доказательство. Итак, рассмотрим систему 3-х уравнений с тремя неизвестными. Умножим 1-ое уравнение системы на алгебраическое дополнение A₁₁ элемента a₁₁, 2-ое уравнение - на A₂₁ и 3-е - на A₃₁:

 

 

Сложим эти уравнения:

Рассмотрим каждую из скобок и правую часть этого уравнения. По теореме о разложении определителя по элементам 1-го столбца