Системы линейных уравнений и методы их решения

 

.

Далее рассмотрим коэффициенты при x2:

Аналогично можно показать, что и .

Наконец несложно заметить, что

 

Таким образом, получаем равенство: .

Следовательно,

Аналогично выводятся равенства и , откуда и следует утверждение теоремы.

Таким образом, заметим, что если определитель системы Δ ≠ 0, то система имеет единственное решение и обратно. Если же определитель системы равен нулю, то система либо имеет бесконечное множество решений, либо не имеет решений, т.е. несовместна.

2.4 Метод Гаусса

Метод Гаусса основывается на следующей теореме: элементарным преобразованиям строк расширенной матрицы системы отвечает превращение этой системы в эквивалентную.

С помощью элементарных преобразований строки расширенной матрицы, а также перемены местами столбцов, что отвечает перепозначенню переменной, матрица сводится к ступенчатой (или трапециевидной) форме. Этой матрице ставится в соответствие система, эквивалентная исходной. Это прямой ход метода Гаусса. Решение полученной системы осуществляется снизу вверх (обратный ход метода Гаусcа).

Более детально этот процесс выглядит так: матрица в результате элементарных преобразований принимает такой вид:

 

.

 

Тогда возможны несколько случаев:

1. Хотя б одно с чисел отличное от нуля, тогда і система несовместная.

2. Числа , тогда

а) , система совместная, имеет единственное решение;

б) , система совместная, имеет бесконечное множество решений.

В случае совместимости системы, ставим последней матрице в соответствие систему уравнений вида

 

 

Эту систему переписываем, оставляя базисные переменные слева, свободные - справа

 

 

Именно эту систему решаем, начиная снизу вверх.

В результате получаем или единственное решение, или множество решений, которые записываются в виде общего решения.

Метод Гаусса представляет собой метод последовательного исключения переменной. Вычислительная процедура гауссових исключений может быть формализирована с помощью простых правил.

Назовем переменную, которая исключалась, разрешающей, коэффициент при ней - разрешающим элементом, строку и столбец матрицы, в которой размещен разрешающий элемент - разрешающими.

Перечисление элементов расширенной матрицы при выполнении элементарных преобразований выполняется по таким правилам:

1) элементы разрешающей строки и всех вышерасположенных строк остаются неизменными;

2) элементы разрешающего столбца, которые расположены ниже разрешающего элемента, обращаются в нуль;

3) все другие элементы матрицы вычисляются по правилу прямоугольника: преобразовываемый элемент равняется разности произведений элементов главной и побочной диагонали.

 

 

Тут - разрешающий элемент, - преобразуемый элемент. Обозначим - элемент, который получен вычислением по правилу прямоугольника. Тогда

 

.

 

Модификацией метода Гаусса является метод полного исключения или метод Жордана - Гаусса.

Метод полного исключения (метод Жордана-Гаусса) заключается в том, что в результате преобразований расширенной матрицы в ней выделяется диагональная подматрица и тогда решение исходной системы выписывается просто.

Метод полного исключения работает за такими правилами:

1) назначается разрешающий элемент; им будет коэффициент при неизвестной, которая исключается;

2) элементы разрешающей строки остаются неизменными;

3) все элементы разрешающего столбца (кроме разрешающего элемента) заменяются нулями и остаются такими до конца преобразований;

4) все другие элементы матрицы пересчитываются по правилу прямоугольника.

Метод полного исключения может быть использован для обращения матрицы (известен также под названием метод элементарных превращений).

Для данной матрицы -го порядка строится прямоугольная матрица размера , к которой применяется преобразование по алгоритму полного исключения, в результате чего матрица сводится к виду , где . Это всегда возможно, если матрица невырожденная.

Заключение

 

Данная работа раскрыла вопрос решения систем уравнений, а также определила, как на практике использовать знания для решения задач различного типа.

В работе были полностью раскрыты значения тех понятий, которые приводились во вступлении, а именно система линейных уравнений, общее и частное решения, совместность и несовместность систем, однородные и неоднородные системы, рассмотрены различные методы решения систем уравнений.

 

Список источников

 

1. Апатенок Р.Ф. и др. Элементы линейной алгебры и аналитической геометрии. - Минск: Вышейш. шк., 1986. - 272 с.
2. Данко П.Е. и др. Высшая математика в упражнениях и задачах. Ч.I. - М.: Высш. шк., 1986. - 304 с.
3. Апатенок Р.Ф. и др. Сборник задач по линейной алгебре и аналитической геометрии. - Минск. Вышейш. шк., 1990. - 286 с.
4. Барковский В.В., Барковская Н.В. Математика для экономистов. Высшая математика. - К.: Национальная академия управления, 1999. - 399 с.
5. Попов А.М - лекции по линейной алгебре

Размещено на Allbest.ru